1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Длительность восстановления— случайная величина Ч2. Как подсчитать вероятности состоянийг Полож~м Ч„если Ч2( Ч1, Ч= Ч, + Ч„если Ч, ) Ч1. Тогда Ч будет длительностью занятия прибора. Обозначим т=МЧ. В атом условии вероятность занятости й приборов найдем пи формулам Севастьянова ( 1=0 д ол. БОлее слон|ные спстеыъ| с потГРядддд 275 Теперь условная вероятность того, что из й занятых приборов д обслуживают требования, а й — д восстанавливаются, равна Сдад(1 — а)а '„ где ( 'в('|о Чд)) а— дтч ппп (ц„дд,) — время, на протяжении которого прибор обслуживает требование. Если д1„цд н ддд заданы своими распределениями, нетрудно найти интегральное выражение для а п т, что полностью решает задачу.
Данный пример рассмотрен Т. П. Марьяновичем 11) . 6. Задача о резервировании с перераспределением нагрузки. Проиллюстрируем на примере возможность вывода яви|ах формул в случае, когда распределение, связанное с поступлением требовании,— общего вида. Пусть имеются дза злеме~та с ресурсом падежпостп, имеющим функцию распределения Л(х).
Если в данный момент оба злемента исправны, то ресурс надев|ности уменыпается со скоростью 1 и имеет смысл остаточного времени исправной работы; если один зломент находится в состоянии отказа, то ресурс надежности другого исчерпывается со скоростью а) О. Посстановление злсментов производится незавпснмо; время восстановления имеет функцию распределения В(х).
Рассд|отрд|хд случаддный п1|оцесс С(г) =(Рд(1),ддд(д) ~ Е1(д) $ (д) ) о гце дч(1) — ипдш;втор отказового состояния |что злемепта, $,(д)— ресурс его надсжностп прн т,(!)==О и время до ого восстановлении при т, (г) = 1. Данный процесс — кусо шо-линейный марковский процесс. Его дополнительные компоненты, будучи положптельпыми, убыва|от с единичной скоростью в любом случае, кроме случая Р,(1)=О, т,;(|)=1. П последнем счучае $,(д) убывает со скоростью а, ьо-д(1) -- со скоростью 1.
При достижении компонентой $,(1) пулевого значения состояние Р,(8) изменяется, и новое зна |ение фд(д) — слу |айная величина с распределением Л(х) плп В(х) — в зависимости от попого значения Р,(1). Пусть д;д(х, у) = Р(тд = д. Ро = — 7, "д(х, ьо( у), где (д„т,, со оьд) — случайный вектор, соответствующий устаповпвп|емуся режиму процесса Ь(1). Обычным методом устанавливается система уравнений дх дд д ~о=о дд йд. о дх .. -о до ~ до и' дядо~ д"'до~ дх дд дд о=о од ~Р— о дх ~М-о дд + ддд~ гл. о. пжмжнкник волкк окщнх мктодов 276 ЗРо1 ЗР а Зуо1( Зуоа ~ дз дз дх (х=о ду !о=о дГ., Зуоо ~ + — „"~ В(у)=О, зу ~и=о з~о1 о о + а —" ~ В (у) = О.
Введем обозначения Ао (х) = ) А(Г) о(Г, В*(х) = ~ В (Г) АГ и попытаемся удовлетворить данной системе уравнений, по- ложив Р„(х, у) = аАо (х) А о (у), Р„(х, у) = Р„(у, х) = рВо (х) А*(у), Р„(х, у) = тВо (х) В*(у), где а, р, 7 — константы. Короче говори, мы предполагаем, что при фиксированных ч,(а), та(а) «остаточные» величины независимы и распределены как величина перескока в схеме процесса восстановления. Подстановка в первое уравнение системы приводит к ра- венству (р — а) (А(х)А*(у)+ Ао(х)А(у) ) = О.
Положим со= у. Тогда второе уравнение, как и симметричное ему третье, сводится к равенству 7 — асо = О. Положив 7 =аи, получим, что и четвертое уравнение сводится к тождеству. Использовав условие нормировки, получим $/а = та + 2т,т, + ат'„ где то ) А(х) ох, т, = ) В(х) ох. о о Стационарные вероятности укрупненных состояний а а Роо = ито Рао = Рог = сотота Ры = ~ата. Второй способ вывода основан на зргодических соображениях.
Пусть о(о)=-а, если т,(а)+та(о)~-1, и о(г) =1 — в противном случае; введем замену времени з = ~ а (и) оои и положим о 5 гл. эРГОдическне теоРемы Ф Ф ,в(г)=~(5). В г-временл случайные процессы (т, (г), $5(г)) и (г,*(г), ~,"(г)) независимы. Обозначим Р;(х) = Р(т,*(г) = у', $,".(г)( ~ х), имея в виду стационарное распределение.
Тогда Ро (х) — Ро (О)+ — Р', (О)А(х) =О, Рг (х) Р, (О)+ Р, (О) В(х) — О, так как в 5-времени скорость восстановленкя равна 1/а. Решение последней системы уравнений имеет внд Р, (х) = А*(х)!(то + ат5), Р, (х) = аВе (х)/(т + ат,). Отсюда Р'„= Р, (оо) = Т5ЯТ + ат,), Р, = Р, (оо) = аТДто + ат,).
СтаЦеокаРное РаспРеДеление (т' ,(г), тг* (г)) имеет виД Роо —— 2! * Ф 5 5 = тз! (то + атг)'~ Р55 = Рог= атотв(то + атз)' Рм=а'т1/(то + ат5) . Переход к 8-времени осуществляется по формулам 51 Ров = арво( (аров + Рю + Рю + Рм) = то/(то + 2тотг + ат5) Р„= Р„= от,/(то + 2т,, + ау ), Ры = ат~г/(То + 2тотг + ат,). Теперь достаточно заметить, что Р (х у) = РпМ(х)/Р'(' )) И(у)/Р (' )). Н шриз5ер, Р (х, у) = Л* (х) Ав (у)Щ + 2т,тг + от~5).
1!нтеиспвность р потока отказов системы, понимаемых как попадание в состояние (1, 1), определяется формулой 55 = (Ргг (х оо) + Ри (о" х)) ~х=о = 2ат5/(Тв + 2тотг + атг). Среднее время Т, исправного и Т, неисправного состояния системы определяются формулами Т.=р !55 Т =(1 — Рм)тр. в 5.5. Эргодическне теоремы 1. Теорема Севастьянова. Среди зргодических теорем, применяемых в теории массового обслуживания, одной из наиболее плодотворных является следующая теорема Севастьянова (1). Т е о р е м а. Пусть $ (5) — однородный марковский процесс в измеримом пространстве (Х, чо), где 5б — класс борелевских процессов с измеримой по х переходной функцией Р„(5,Л), х — начальное состояние, 5 > О, А ы 6; Х„, и ~ 1,— выделенные ком- Гл.
о. пгименение БОлее Овщих методов 278 пактные множества из Я, ьр — вероятностная мера на (Х, Я), для которых выполняются следующие свойства: 11пь 1п1 Пш Р, (т, Х„) = 1. ьЬ Х 2. Р,(Тьо А)«р„ьр(А), хжХ„, А сХ, (1) (2) для некоторых Т„и р„«0. 3. Для любого начального распределения Р, найдутся такие 1, = 1о(п) и К=Кьо что Пщ зпр (Р($(т)с=А) — Кць(А)1(0. л .Хо Тогда существует зргодическое распределение н = (л(А), А ыЯ) процесса $(Г): зпр !Рв(1, А) — л(А)/ — ь-Оо хвнХ, (й) Отметим основные моменты доказательства. Полностью будет доказан важнейший факт, а именно, сближение при 1 — распределений процесса, соответствующих различным начальным распределениям. Эта часть доказательства основана на методе моментов обновления, разработанном А.
А. Боровковым 121. Пусть ьу — любая вероятностная мера на (Х, Я). Обозначим Р,~(ь, А) =1 Рв(1, А) ь)ь(ах); То — такое число, что при всех 1~ «То Ро(ь, Х,)«Х, О<) <1, Х,— любое Х., для которого 1п111шР„(ь', Хо) «1.. (Существование То следует иэ (1) и изв г меримости переходной функции.) Предположим, что РД(0) ~ А) = ьро(А), А ыб, и положим Хт = ть (ь(ьо) = Тт + Т, Т = Т„. Тогда РФ (11,А)>Р о(ТЕ,, Хо) 1п1 Р.(Т,А))Ор(А), Лые (5) "-'хо где О=)р, р =р„, или, что то же, Рт (ты А) = Оьр (Л) + (1 — О) ьр, (А), (6) где ь(ьь — некоторая вероятностная мера. Равенство (6) можно интерпретировать следующим образом. Производится случайное испытание с вероятностью успеха О.
В случае успеха э(ьь) имеет распределение ьр, в случае неудачи — ь(ьь. Если испытание успешно, скажем, что 1ь есть момент обновления. В случае неудачи ту же конструкцию можно применить к ь(ьь вместо ьу, со сдвигом во времени на ть. Тогда получим 1о = (т+ Те, + Т; этот моменг может оказаться моментом Обнонлення с вероятностью О. Описанный процесс можно продолжить до бесконечности. с аь.
знгодичкскнк ткогкмы 279 В результате получаем Р„. (1, А) =ВР, (1 — 1„А)+(1 Е)ВР,(Г 1„Л)+ „, ... + (1 — Е)" 'ВР,(1 — 1ю Л)+(1 Е)" В„(Г, Л), где ()(1, А) — некоторое распределение вероятностей. Пусть теперь ~Р— любая вероятностная мера на (Х, 8). Очевидно, последовательность (Ц можно выбрать общей для начальных распределений ф и ф Тогда равенство (7) будет нноть место н для Рт(1 А) с заменой ф на ф, откуда ~ Ре (1, А) — Ре (г, А) ~ ~ (1 — Е), а следовательно, з р/ Ре(г, Л) — Ре (г, Л) ~— (8) Введем в пространстве зя' вероятностных мер на (Х, Я) расстояние, называемое расстоянием ио вариаиии сК(ср, зф) = 1 $ср(сКх) — чР(йх)( = 2знр(ср(Л) — ~ф(А)(.
(9) х АЕЯ Ро (» + Т„, А) = Ре (Тю А) — н (А) ь->ю в силу (8). Теперь из (11) получаем я(А) = ~Р„(г, А)н(дх), (12) т е. н есть стацноиарное распределение процесса $(1). Соотношение (4) следует из того, что Р (1 А)-н(Л)=Р„(1, А) — Р (1, А), н остаетсн снова применить (8). Тогда нл превратится в полное метрическое пространство. Из условий (1 — 3) следует, что для данного х, найдется последовательность (Т„) такая, что Н(Р„(Тв, ), и( )) -~ О, (10) ь-»- где (н(А)) — вероятностная мера на (Х, Я). Обозначим через ф, меру, сосредоточенную в х„$ (Л) = Р„(1, Л). Тогда Рт (1 + Тю А) = ) Р„(Г, А) РЕ (Тю Ах) = = ~Р,(1, А)н(дх)+ ~Р„(1, А) ~Ре,(Тю дх) — н(дх)~. (11) Последнее слагаемое бесконечно мало вследствие (1О). С другой стороны, 280 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
