1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 50
Текст из файла (страница 50)
1. Надежность восстанавливаемой системы. Рассмотрим следующую схему Марьяновича (3). Пусть имеется система с элементами, подверженными случайным отказам. Каждый отказавший элемент немедленно начинают восстанавливать. Длительность восстановления — случайная величина с функцией распределения В (х) и конечным математическим ожиданием т. При й отказавших элементах вероятность того, что аа время Ж откажет еще один элемент, составляет Л„й.
Последовательность (Ц) предполагается ограниченной. Стационарные вероятности состояний системы имеют вид р» Х ... Хд,т Х, ... )ч,т, й~~0. 4=» Здесь р, — вероятность того, что в данный момент времени в неисправном состоянии находится й элементов. Рассмотрим, следуя Т. П. Марьяновичу, следующий пример. Система состоит из п + л» + г элементов, из которых и «основных» т составляют нагруженный и г — ненагруженный резерв.
З К4. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ 265 Вышедшие из строя основные элементы заменяются элементами пз нагруженного резерва, а те — элементами из ненагруженного Резерва, Элементы, находящиеся в «основномз ре;киме либо в на- груженном резерве, выходят из строя с интенсивностью Х; эле- менты, находящиеся в ненагруженном резерве, в этом состоянии не выходят пз строя. В данном примере Х(п+ л«), 1с<г, Х(п+ т+ г — й), й)г; „=„1,( (.+.)Т)АР„й~г+ 1, РА = —, () т) (л + т) + (я + т — 1)...
(и + т + г — й+ 1) р„ 2~ й — г( и+и. )(Озффициент готовности вычисляется по формуле 3В+3' Кг = 2й РА. А=« В качестве частного случая из фомул Марьяновича следует и известная формула Эигсета для распределения числа исправных станков (1.4.15) при произвольном распределении времени восстановления станка; в этой формуле, записанной для показательного распределения времени обслуживания, нужно заменить интенсивность восстановления обратной величиной к среднему времени восстановления. Пусть Т, и Т, — среднее время пребывания системы в исправном и неисправном состояниях.
Если система находится в установившемся режиме, то моменты перехода из исправного в неисправное состояние образуют стационарный поток однородных событий с интенсивностью и -(т. + Т1)-' = Х-+.Р:«. Второе уравнение получается также из зргоднческих соображений: т,~(т. + т,) = к,. Отсюда Т. = Кг/(Л.+,р.+,), т =(1 — кг)l()' +.Р + ) ° 2. Восстанавливаемая система с переменной скоростью восстановления. Пусть, в отличие от схемы Марьяновича, В(х) интерпретируется как величина работы по восстановлению элемента, скорость же восстановления, т. е. скорость убывания остаточной величины работы, равна а« ) 0 при й отказавших элементах. 266 ГЛ.
5. ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ Пусть т(г) †чис неисправных элементов в момент й Испольауем случайную замену времени з= ~по(о)Й4 о и обозначим то(г)=т(8). В новом времени восстановление будет протекать с единичной скоростью, а Хд нужно заменить на дд = )д/ад. Таким образом, о ое*( ~ = о1 — — „', о,'... о.', ')(2 —,', с ...
о;,о) 3 оо 1 д,о=о' Для исходного процесса оо * рд =1ипР(т(г) = е) = — "~ ~' О-о оо =о Эту формулу можно проверить непосредственно по системе уравнений для стационарных вероятностей. Интересно отметить ее аргодическую интерпретацию: если доли з-времени, проводимого процессом в состояниях Й, равны рд, то для времени о они про* о порциональпы рд/год. 3. Неполнодостуиная система обслуживания. В телефонной связи в качестве одного из вариантов коммутации используется следующая схема. Абоненты, посылающие телефонные вызовы, разделены на две группы, соединительные линии — на три множества Х,„Х„, Х,„— так, что к Л, могут подключаться только абоненты первой группы, к Х, — только второй группы, к ܄— абоненты обеих групп при условии, что все линии «своего» подмножества заняты.
Аналогичная аадача воаиикает в теории надежности. Изложим результат В. Н. Ярошенко (1). Система состоит из двух подсистем с параметрами потоков неисправностей ) о и )оо и функциями распределения длительностей восстановления ХХ,(х) и ХХ,(х); обозначим то= ~хИХХ~(х), о ( = 1, 2. К первой подсистеме прикреплены и, рабочих, ко второй и, рабочих; п,л рабочих могут обслуживать как первую, так и вторую подсистему. Рабочий третьей группы подключается к 1-й подсистеме только в том случае, когда все рабочие из числа и, ааияты (1 = 1, 2). Обозначим через г"'о(хо ..., хб у„ ..., уо) вероятность сложного события, состоящего в том, что в первой подсистеме аанято 1 рабочих, во второй подсистеме ) рабочих и время до окончания длящихся в данный момент восстановлений о 5,4. БОлее сложные системы с пОтеРями 267 не превосходит хо ..., уо соответственно.
Если в момент 1 имело место означенное событие, то за время от 1 до 1+ й облуживанпе в первой подсистеме может начаться только в том случае, если 1-с и, пли 1 ~ и, и и, + и„— 1 — шах (О, ) — ио) ) О. (1) Точно так же во второй подсистеме условием возможности начала обслуживания будет 1~по или ) >по и и,+и„— ) — шах(О, 1 — иД) О. (2) ( )бозначим 1, если выполнено условие (1), й1(1,)) = О в противном случае; 1, если выполнено условие (2), О в противном случае. Для отрицательных значений хотя бы одного из аргументов определим Л~(1, )) как нуль.
Стационарное распределение имеет вид у „(х1,..., х;; у„..., у;) = оо оу )1)оо ' 1 и 1-1 1-1 = —,; П ~ З1(и)(иП ~ 8,(и) ЕПй1(;,О)Пйо(;,))Р„, =6 у 1'=О 1'=О о о ак <и,+иве О (-и+иск 11з условий (1) и (2), определяющих функции Л,(1, )), следует, что 1-1 1-1 П Л (1', О) = Л (1 — 1, О); Д Л, (1, ) ') = Л (1, ) — 1)," И=о 1'=О гт1(1 — 1, О)Л,(1, )' — 1)= Л,(1, у — 1). Подставив зти значения в предыдущую формулу и устремив все хооу, к бесконечности, получим выражение для вероятности того, что 1 рабочих обслуживают первую подсистему, а ) рабочих — вторую подсистему: р т )ор т )1 а, (ц ) — 1) ~оо.
Постоянная г„определяется из условия нормировки. 4. Необходимое и достаточное условие разрешимости уравнений состояний системы в постоянных. Во всех примерах, приведенных выше, мы сталкивались с одним и тем же обстоятельством: стацеонарные вероятности состояний системы определялпсь интенсивностью потока и средней длительностью обслуживания. Интересно выяснить, для каких систем вообще справедливо гл. я нгимвнвник волив овщих мвтодов то свойство, что стационарные вероятности инвариантны относительно вида функции распределения длительности обслуживания, коль скоро фиксирована средняя длительность обслуживания.
Для некоторой общей схемы этот вопрос выяснен И. Н. Коваленко (4), Формулировка полученного аналитического результата может быть дана в терминах теории надежности. Представим себе сложное устройство, состоящее из г групп элементов, которые могут выходить из строя. Если какой-нибудь элемент вышел из строя, то его сразу же начинают восстанавливать.
Функция распределения В;(х) времени восстановления может зависеть от номера группы 3, к которой принадлежит восстанавливаемый элемент. Общее число элементов конечно. Закон выхода из строя мы зададим следующим образом. Пусть в некоторый момент г вне строя находится й, элементов первой группы, й, второй, ..., й, элементов г-й группы. Тогда вероятность того, что за время от г до с+ й выйдет из строя еще один элемент из )-й группы, имеет вид Х;(йе 1с„..., к,)а+ о(тг); дза или большее число элементов могут выйти из строя за это время ллшь с вероятностью порядка о(Ь). Таким образом, в общем случае на надежность элементов какой-либо группы может влиять то, сколько элементов данной и других групп находятся в нерабочем состоянии.
Если всего элементов конечное число, то легко доказать существование и эргодичность стационарного распределения процесса ч(г)=Ь,(г), ч,(г), ..., ч,(г)), где ч,(г) — число элементов у-й группы, которые в момент г находятся в неисправном состоянии. Обовначим р (йт йг э й ) 1(ш р (у (г) (ус1 йг йэ)) г о Теорема. Для того чтобы все. р(йо йь ..., й,) не гависели от функционального вида В,(х), В,(х), ..., В,(х), коль скоро фиксированы т; = ) хс(Вг(х), 4(г(г, в необходимо и достаточно, чтобы для любого Х, любого упорядоченного набора натуральных чисел (тпо~%~ ° ° .ю пМФ где все т, ~г, и любой перестановки этого набора (т~, т~, ..., т~к) В Еа БОЛЕЕ СЛОЖНЬГЕ СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ выполнялось равенство е /а-Г а-Г а — 1 й .„(е ., е ь.., е ...,) э=! н=г н=г т=г - П ~.,„(Е 6..., "Е'б.......,'Е'б, ) а) Если вто условие выполнено, то Р(йю йэ, ...Ь,) определяются по формуле 1 р("1 .
Ь)= Гй ь~ Х~(О„О, ...,0)Х,(1,0...0) ь1' з~ ''' ... ь,(й,— 1,0, ...,о)ь,(й„о, ..., о)ь,(й„1,о...,о) ~9(йг йз 1 О, ° ° .,О)Х (й,й„о,... 0) '' Х (йг й ° ° °,й — й — 1)р(0,0,, О) (4) Условие теоремы, имеющее столь громоздкий аналитический впд, объяснить очень просто. Его смысл состоит в том, что в любой ситуации вероятность того, что в интервале (1 — Ь, Ф) выйдет пз строя некоторый элемент 1-й группы, а в интервале (г, с+Ь) — некоторый элемент 1-й группы, с точностью до о(Ь') та же, что и вероятность выхода из строя в интервале (à — Ь, 1) элемента ий группы и в интервале (Г, $+ Ь) — элемента 1-й группы.
Предлагаем читателю убедиться в том, что постановки пп. 1 — 3 включаются в рассмотренную схему в виде частных случаев. Приведем доказательство сформулированной выше теоремы, впервые полученное И. Н. Коваленко (4), (5) и независимо от него Кйнигом. Необходимость. Предположим, что р(йо йп °" й*) при некоторых фиксированных Ю,(йп й„..., й,)) и (т) не зависят от вида законов распределения (В;(х)), коль скоро фиксированы математические ожидания ) В, (х) Нх = тгп 1 ~ () ( (в. о Зададим (В;(я)) в следующем виде: В,(я)=1 — ехр( — х/ТГ), уча Г; В (х)= 1 — )Гехр( — Рх/тд, 0< дс1, х>0. (5) ДРугими словами, длительности восстановления ~, элементов всех групп, кроме Г'-й, распределены по показательным законам, а Ч~ представляет собой смесь показательной и вырожденной случайных величин: с некоторой вероятностью длительность восстановления равна нулю; если же она оказалась положительной, то ее Условное распределение — показательное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
