1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 61
Текст из файла (страница 61)
При фиксированных ), )', й, г' имеем $(~+ О) = (А) = г))о (з',х,ю), где ю — такое же, как и выше, В этот же момент посылается выходной сигнал )()), (з', х, ю'), где г = = $ (г+ О), ю — независимая от предыдущего равномерная в (О, 1) случайная величина. Заметим, что сигналы могут быть пустыми. Заметим также, что ))з, )())) — функции со значениями (у„у,), где р, — число, )А) у, — элемент конечного множества, определяющий, в частности, алрес (адреса) посылки данного сигнала. Решомируя, можно сказать, что элементарный агрегат осуществляет вероятностно-автоматное преобразование и способен также к задержке сигналов на время, определяемое его состоянием. Идентификация эчементарного агрегата включает задание функций )р, ~() с индексами.
Если эти функции всегда принадлежат конечному множеству, то в описание данного агрегата можно вместе этого включить код соответствующей процедуры. Если, функции )))з,)р)) и вторые компоненты функции $е, ф; линейны, )Ы ор то идентификация упрощается: достаточно задать коэффициенты, определяющие зти функции.
Во многих задачах к линейному случаю приводит замена е), е) некоторыми их функциями из заданного конечного множества. Тогда идентификация элементарного агрегата включает вероятности перехода, коэффициенты линейных функций и коды процедур получения случайных чисел с заданными распределениями. Такой подход принят в пакете при , «л. модклиговлнин систкм мхссового овслтжпвлния ч«б кладных программ АМОС (агрегатное моделирование систем), разработанном В. Г.
Крнвуцей 1Ц. б. Интерпретация элементов систем массового обслуживания. Обслужнва|ощкй прибор системы (в том числе приоритетной без прерывания) с постоянной скоростью обслуживания можно иптерпретирозать двумя способами в зависимости от того, задается лн время обслуживания внешним сигналом нли реализуется в самом приборе. В первом случае элемент принимает сигнал (», х) (где « — тип требования, л — время его обслуживания) и через время х после этого сигнала выдает сигнал (/(«), т).
Предполагается, что по сигналу определяется прибор, на который поступает требование; сигнал служит также отчетом для накопления статистики. Во втором случае входной сигнал имеет вид», или, что то же, (й О). По этому сигналу реализуется случайная величина ц~'~ =<р" (ю); в остальном — то же, что и выше, с заменой х на Ч"'. Источник требований интерпретируется элементом предыдущего типа с обратной связью: выходной сигнал идет, помимо адреса, куда поступает требование, на вход элемента. В результате получаем источник, вырабатывающий разнотипные требования в моменты переходов полумарковского процесса.
Конечно, программная реализация источника требований делается более просто: обратная связь излишня. Обслуживающий прибор с переменной скоростью и возможным прерыванием обслуживания интерпретируется элементом, наделенным теми же функциями, что и выше, со следующей их модификацией. Состояние («, г) элемента показывает тип обслуживания» и остаточную работу з, которую нужно выполнить для окончания этого обслуживания, Величина з убывает во времени со скоростью и; > О. Входной сигнал (Й, х) означает поступлоние нового требования. Обозначим («, г) состояние элемента в момент à — О, где г — момент поступления указанного сигнала. Тогда имеем два требования — «старое» и «новоею В зависимости от пары (», й) определяется «судьба» обоих требований. Если обслуживание не прерьгвается, состояние элемента не изменяется, а сигнал (Й, х) направляется по определенному адресу, при необходимости приобретая признак й В противном случае новое требование остается, состояние элемента будет (й,л) и в тот же момент посылается сигнал («, г) по адресу, соответствуюгцему другому прибору, устройству для ожидания или накопителю потерянных требований.
Место для ожидания — элемент памяти, содержащий информацию вида (», х), где» вЂ” качественный, х — количественный. признак требования. По сигналу извне содержащаяся в элементе информация отправляется по указанному адресу, зависящему от», после чего может заменяться новой информацией, содержагцейся в сигнале,или сохраняться в прежнем виде. 516 ГЛ. 6. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ Требование — объект, характеризующийся в общем случае вектором (6, х), где ! — тип требования, х — величина работы, необходимой для его обслуживания.
Таким образом, состояние прибора есть состояние находящегося в нем требования. Имеющиеся в данный момент требования можно описать элементамп, по почти всегда удобнее кодировать требование состоянием того элемента (прибора, места для ожидания), где оно находится. «Нетерпеливое» требование с ограниченным временем ожидания характеризуется вектором (», х„х»), где х, — необходимое остаточное время обслуживания (или величина работы), х,— остаточное допустимое время ожидания. Для описания такого требования достаточно взять два элемента, характеризующиеся, помпмо основных, дополнительными переменными х6 и х» соответственно. «Судьба» требования определяется тем, какая из этих переменных раньше другой обратится в нуль.
Схематизация других видов ограничений вполне аналогична. й 6.5. Расчет поправок к характеристикам систем 1. Вступительные замечания. При расчетах, связанных с системами обслуживания, часто приходится анализировать характеристики систем с различными особенностями, незначительно отличающихся от систем, для которых соответствующие характеристики известны (например, для них существуют аналитические формулы или численные оценки), Естественно поставить вопрос о расчете поправок вместо моделирования всей системы заново.
Рассмотрим типичные примеры. Пример 1. Резервированная система состоит из т элемептов и одного восстановительного канала. Длительность восстановления распределена по произвольному закону, время безотказной работы имеет плотность р(х), имеющую произвольный вид при О(х~ х, и равную се ы при х) х,. В таком случае р(х)=Хе '"+((с — А)е ~+(р(х) — се '*)Е(х, — х)), (1) где Е(х)=0 при х< 0, Е(х)=1 при х) О. Формула (1) выражает тот факт, что реальное распределение представляет собой возмущение показательного распределения с параметром А.
Невозмущенная система — система с марковским входящим потоком: при й неисправных элементах вероятность добавления к ним еще одного неисправного за время ог равна (т — й)А 6»6 независимо от предыдущего. Для этой системы существует аналитическая теория как для стационарных характеристик, так и для таких, как среднее время пребывания в множестве состояний. П р и м е р 2.
Система М)6!т(О с ненадежными обслуживающими приборами может рассматриваться как возмущение хорошо изученной системы М!6!т(0. Ф ев. глсчвт попглвок к хлглктзгистнклм систем 217 Р, (А) у) = в(р) (Р+(А!у) — Р-(А!р) ), где е(у)>0, Р*(А!у) — вероятностные меры при любом уюХ, для которого з(р)) О. Задача состоит в оценке величины а = ) ((х) я (дх) — ) ) (х) я, (Ых), (2) где )(х) — заданная функция; предполагается, что оба интеграла в правой части (2) конечны. Предположим без ограничения общности, что ~(0)=0, Рл((0))=0.
Обозначим Р'"'(АЬ)=~а. А; И,„--О, О<й< д,=О), и пусть Р," (А~у) — аналогичная характеристика (с,„) вместо (ю ($.). Тогда при ОФА я(А) = я(О),Я Рою(А~ О). (3) Выражение Р'ю (А !О) представляет собой интеграл (по некоторому множеству) выражения, которое символически можно за- писать Р = Р (г(х, ~ О) Р ( г(х, ~ х, )... Р (г)х„1 х, ) . Имеем и-1 Рв (Р + Р и Рп + ~ч~~~ Рв-а-тр Рь л-0 Подобных примеров можно привести очень много. Во всех этих примерах существует определенный невозмущенный режим системы оослуживання, время от времени прерываемый возмущениями. 2. Постановка задачи.
Рассмотрим однородную цепь Маркова (~„) на измеримом пространстве (Х, еэ), ОюХ вЂ” отмеченное состояние. Переходную функцию ($„) обозначим Р (А ~ у) = = РД„енА~ $,, = р), А юсэ, предполагая, что она как функция у измерима. Предположим, что в состояние 0 последовательность (=,) возвращается с вероятностью 1, среднее время возвращения Т конечно и выполняется условие апериодичностн. Обозначим через я(А) зргодическое распределение ($ ). Это распределение подлежпг оценке. Рассмотрим также цепь Маркова ($,.) с переходной функцией Р„(А!р) н известным зргодическим распределением я,(А).
Пусть Р,(А!у)=Р(А1у) — Ро(А!у). Положим з 6,5. РАсчет попРАвок к ЕАРАктеРистикАм систем 319 1..)) )о,)о)ю) Е )))*) "')о ) )-)и~ — "Х))ь)~, о) где (:-1) — цепь Маркова с переходной функцией Р (Е„ее А ~ ~, 1 =у) =Р(А)р), я~2, и определенными выше распределениями «, н «„т =го)п(ье $ =О). Итак, о «=1 В зтоп формуле положим /(х) = 1 при х ~ О, /(О) = О. Тогда получим равенство по(О) — л (О) = — (1 — ко (0)) + 2 ( 1 1 о' ~ М ~ о "о (О) / я (О) — я,(О)'1 (ЗО («) о(") (, я (О) / $ о(«) Отсюда о а — 2/оМ(Ое («ьо) т)/с До)) + 2М Ое(«зо) ~ /(«е„)/с(ь«о) г (12) «=1 где / = ~/(х) но(о/х), Пусть Ь = ) е (х) но (дх). Тогда из (12) получим 2)а(В Х )))1 ) — ),)) (13) при с(х) = е(х)/б.
Замечание. Можно предложить метод вычисления поправок, несколько отличный от описанного. Случайная величина $, РеализУетса, как и выше. Вместо фо ..., ~„РеализУготсЯ Две последовательности «1+, ..., $++ и $,,..., $,: — цепи Маркова с переходной функцией Р(А!у) и начальными распределениями РВ" ~А)$о р) -Р-(А)р) (14) 2н,(о)М(ео(1,) „/о(4,)) ( ) о( ) 1+2М(зе(й ) о/а(4 )) ' (11) Итак, получена поправка а к интегралу ~/(х)к,(,)х) мене я, на я в виде математического ожидания функции случайных величин, что позволяет рассчитывать ее методом МонтеКарло. Если / и ()/(т ограничены, а е(х) ~ е, то зта поправка имеет порядок е при е — О. В таком случае 320 РЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
