1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 41
Текст из файла (страница 41)
е. равны вероятностям Р<(О). В самом деле, одно такое решение непременно СУЩествует: это преобразование Лапласа — Стилтьеса распределений Р<(х); мы докажем, что в окрестности точки г О определитель системы (8) не обращается в нуль (если исключить саму ~очку г = О); из этого будет следовать единственность решения в окрестности нуля, а затем по принципу аналитического продолжения это решение единственным образом аналитически продолжается на всю правую полуплоскость. 2[4 гл, я полгмхвковскик модкли систкм овслгживлния Итак, необходимо установить, что в некоторой окрестности точки г = О определитель »Е1 — Л (1 — ч[» (3)) — Х 611 ° " 8„1 Л (8) = »Е„— Л(1 — "[»(2))- Х 82) пе обращается в нуль. При 8 = О он равен нулю: сумма элемен- тов каждого столбца равна нулю.
Далее, ге,— 1[1 — »[»(  — Х дм ... т 1»»з Л (8) = [Е1 + Л»[» (8)1 1,„... »Е„— Л И вЂ” »[ (г)! — ~', а„г 12»»» 2Е Л [1»[» (2)[ гг ч11 т З»»1 8 „... ń— 1[1 — Ф(г)] — Х Ч . 8»»в + [Е, + Л»]»'(8)] + ° Ф 2 Подставив г = О, получим ~21 1» 2 Л' (О) = [Е, + Л»]»' (О)! + 82»» Х 8Ы вЂ” ~ЧЭ„11 1»»-1 + [Е + Л»[»'(О)1 + ° ° нли, если обозначить в этом разложении коэффициент при [Е»+ Л»8'(О)) через Л», Р1:Рг: ° ° °: Ри= Л11 [ — Лг): ° ° «' ( 1) Лв» Л' (О) = ~~э~ [Е» + Л»]»' (О)] Ло Вспомним систему уравнений, из которой определяются рк »» р1 Д, А» = ~~г~ р;д,», [(1(п, .г~~ ~р1 = [.
(О) 1»»-1 1Ж 1 1 Так как процесс [(1) — эргодический, то зта система имеет единственное решение. Но тогда из первых л уравнений втой системы можно отбросить одно уравнение таким образом, что оставшаяся система будет обладать тем же единственным решением. Следовательно, $ аа система м!сн 215 й, — определитель матрицы, которая получится в результате окнзания 1-го столбца и последней строки в матрице рассмагг и тркваемой системы п уравнений. Непосредственно по виду с одной стороны, и Ле с другой стороны, можно заключить, ы - я а для всех 1, ааключенных между 1 и я, Л, = ( — 1) Л~, либо и+1 1 для всех таких 1 А = ( — 1) Лг. Но тогда Ь» = юрь где ю— некоторый множитель пропорциональности, не равный нулю.
Заметим, что ХЕр;=Е, ХР1=1, 1- ' ' ' ея * и получим й (О) (Е+ ),~р'(0) ) =,Е(1 Следовательно, при достаточно малых г Ф 0 определитель не обращается в нуль, что и требовалось доказать. Для полного решения задачи необходимо определить постоянные а„ 1 ~ 1 < и. Ради простоты выкладок ограничимся случаем л - 2. Рассмотрение аадачи для произвольного я принципиально ничем не отличается и может быть осуществлено по той же схеме.
Прн и = 2 определитель Л(г) имеет вид (8Е А (1 — т (8)) д гт Я (г) =~ вЕ -Х(1-$(г)) Ч Поскольку Ф,(г) аналитична при Вез ) О, то в выражении агЕ1 гзт Ф и т 3 а Е гŠ— ) (1 — "г(г)) — Ч ат 10 () гЕ, — Х(1 Ч'(г)) ттт гак, где знаменатель обращается в нуль, числитель также дол- жен быть равным нулю. Заметим, что Л(0) О, Л'(0) = — 'аЕ(1 — р)(0, Л(+ оо) + оо. Ра Значит, найдется такое положительное г„ при котором Л, О.
Отсюда получаем условие а,Е, (г,Ег — ) ~1 — $(го)) — Ем) ааЕгйи. 216 гл. 4. Полумавковскне модели систем ОвслуживАння Таким образом, получено одно соотношение между ад и аа. Другое соотношение можно вывести из вероятностных соображе- ний. Действительно, Фа(О)+ Фа(0) = Еа(а'"') + Еа(аа) = 1, так что если записать 'Е, — )а (1 — 1а (')! — Чда АдЕд !' ада 1 а (11) Фа (з) аЕд — ) (1 — ф (8)! — Зда За !' Š— Е(1 — дг()! — д н найти проделы выражений (10) и (11) приз — О, то получим Фд (0) = ра [Ь (1 — р) д)а, Еа + ааЕ„ Ф, (О) = р.
[Е(1 — р) ) а,Е, + ааЕ„ откуда а,Е, + ааЕа = Е(1 — р) . Из этих двух полученных уравнений определяем а, н а,: д Е(1 — р) Е ( Е + (1- Р( П)' ада Е (1 — р) а Еа(ааЕ +) (1 — ""'(аа)!) Если подставить полученные выражения в формулы (10), ('11), то получим окончательные выражения для Ф,(з) и Ф,(з), ь 4.6. Смешанные системы обслуживании 1. Смешанная система с постоянной скоростью обслуживания. Читатель уже знаком с постановкой задачи, в которой требоьанкя могут становиться в очередь в том случае, когда общее число требований, находящихся в очереди, не больше чем вд; каждое требование, прибывшее в момент, когда в очереди уже находится т требований, не ожидает обслуживания и теряется.
Представляет интерес также общая постановка, в которой требование может остаться в очереди или потеряться с вероятностью, произвольным образом зависящей от длины очереди. Данная задача до конца рассмотрена В. Н. Ярошенко в предположении, что имеется один обслуживающий прибор, поток требований — простейший, а длительность обслуживания имеет произвольное распределение с конечным математическим ожиданием. Приведем здесь результат, полученный В.
Н. Ярошенко [11. Введем обозначения: г ЬЛ СМКШАННЫК СИСТКМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ Ь (1) = (ч (т), $ (1)), ~Ъ = П Р (т (Г) = О), е- ОВ срь (х) = 11пт Р (т(Ц = й, $ (1) с х), Фь(в) = ~ е-'"йрь(х). го Пусть Л, В(х), ~р(е) имеют тот же смысл, что и в рассмотренных ранее системах. 2. Условие эргодкчноети. Предположим, что существует Ь = Пт Ьь. (1) Основной интерес представляет случай, когда ЛЬт ( 1.
(2) Однако для эргодичпости процесса достаточно более общее условие Лт11га Ьь С1. (3) Данный случай полностью охватывается следующей теоремой. Теорема. Если выполнено условие (3), случайный проиесс Ь(т) облаоает гргодическим распределением. Указанное распределение является единственным ограниченнь м абсолютно непрерывным решением системы дифференоиильных уравнений суп (х) ЛЬ~<р~ (х) + ЛЬь 1 варь ь (х) <ря (О) <рь+г (0) В (х) и ~ 2е (4) дарг (х) — ЛЬ,%г (х) = ср, (0) — ср, (0) В (х) — ЛЬьсргВ (х), ЛЬгсрг= <р,(0), при дополнительных условиях д~. (О) = О, и ~ '1, рг+ Х р.( ) =1 (5) (6) Для доказательства установим вначале существование эргодического распределения вложенной цепи Маркова т„— числа требований в системе после окончания обслуживания и-го требования.
܄— вероятность того, что требование присоединяется к очереди, если в момент поступления этого требования в системе находилось Ь требований (включая то требование, которое в этот момент обслуживалось прибором); т(1) — число требований в системе в момент т; $(т) — время с момента ь до того момента времени, когда требование, находящееся на обслуживании в момент 1, покинет систему; гл, о, полтмавковскив модвли систкм овслгживлнпя Пусть т„д =о~1. Тогда вплоть до момента окончания обслуживания, начавшегося в состоянии д, в спстеме будет не менее д требований, а следовательно, вероятность поступления требования в интервале (», д+ Ш) не больше чем И1д(р, где Б, = зддр (Ьь Ь;+„..
), Отсюда М (т„— т„д ) т„д = д) ( 2,Ьд ) В (д) одд — 1, д ) 1. о При условии (3) найдется такое У, что ХтБ; ~ 1 — е, д > Ж, а следовательно, ХтБ~ ~ 1 — е. Таким образом, М(т„— т, д~т„д= д)( — е, д-вдР, В то же время, очевндпо, для любого д М (то то-д ~ то-д = д) «» )дт~ Цепь Маркова (г„) — нспрнводиыап непериодическая, так как при д~1 Р (т„= д — 1 ~ т„д = д) ~) )Р е д."дВ (х) ) О, о Р(ч„= д ~ т„д = д)) ХЬд ) хе ход)В(х))О. о Итак, выполнены все условия теоремы из з 3.1, п.
2; следовательно, Ь ) — эргодическая цепь Маркова. Пусть Тд — среднее время от момента окончания обслуживания, связанного с состоянием т„= д, до окончания следующего обслуживания. Имеем Т, ~ 1/Х + т равномерно относительно й Итак, средняя длина цикла регенерирующего процесса, описывающего поведение системы, конечна. Теперь утверждение теоремы следует из теоремы Смита. Применив к системе (4) преобразование Лапласа, с учетом условия (5) получим (е — БЬо) Фо(г) + ХЬо-дФ~ д'(е) = др„(0) — дрозд(0) др(е), и > 2о (Т) (е — ХЬд) Ф, (е) = дрд(О) — ~рд(0) др(е) — ) Ьодродр(е) (8) Положим г = ХЬ„, и = 1, 2,... Тогда последние формулы дают <р„(0) — др„+д (О) др (БЬ„) = ЬЬо — дФп-д (ХЬо), и «) 2о р,(О) — р,(О) р(йьд)=)Ьорор(),Ьд).
Таким образом, зная ~р„п Ф,.— о можно определить др„+д(0)„ а затем, подставив полученное выраженле в правую часть (7), $4.8. смешАнньте системы ОвслтживАния 219 д~чнм Ф„(8) для всех 8, Ке(а) ) О. Поскольку р,'(о) = ль,р, следовательно, 3 Ф () =(.— ль,)-'ль,,р ~1 1 — р (ль,) Ф(ь) гс можно последовательно определить все Ф„(г) (я=2, 3, ...), как обычно; постоянная <р, определяется нормирующим условвеи (б) ° Если Ф.(г) уже определены, то легко найти распределение очереди. Действительно, СО ,1'ШР('(1)= )=) 1р.()=Ф.(О), >1, 11ш Р (т (1) = О) ~р Э~с Вероятность того, что произвольное требование будет потеряно, можно определить по формуле полной вероятности, зная, что вероятность потери при условии, что в системе находится и требований, равна (1 — Ь„), а вероятность условия есть Ф„(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
