1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Гоедонно, П. Н. Кооаденно 22б гл. о. полтмагковскик модклп систвм овслюкивония 1 Ро= ао Роо Ро = — а„Л ~Р о .~- 1 ло„~ = л~, ~7о + "", л) ~~о;о.„, О(й(т — 1, (27) Система (27) имеет треугольный вид и, стало быть, позволяет однозначно выразить ло о 1((й(т, через ло, Так как коэффициенты уравнения от т ис зависят, то имеем лооп = ло ело О~ (й (т. (28) Как мы виделн ранее, той же системе уравнений удовчетворяют л,. Итак, (ои лов" = — лю О(й(т.
(29) л Получен интересный вывод: распределение вложенной цепы Маркова для системы И~С~1!т пропорционально на соответствующем отрезке соответствующему распределению дтя системы ЛХ!С~1. Одиако последнее определяется производящей функцией (1 — р) ы — о) Ф ЛИ вЂ” о)) ч!л (1 — гй — о Имеем л (3) = ~~Э~ лоз"о о=о откуда 5. Система М ) С ~ 1 ( т. В данном примере мы ве стансы прослея пвать, к чему сводятся общие формулы данного параграфа: самое интересное — связь характеристик системы И! С ~1 ~ т с характеристиками системы й1~С~1, имеющими те же Л, В(х).
Пусть [ло~ ~) — распределение вложепкой цепи Маркова для ограииченвой очереди, (л,) — то-же для системы с неограниченвой очередью (если последнее распределение суопествует). Имеем я 4.ю смк)ИАнныв снсткыы ОБслужи ВАния 227 Отсюда т вл) Если правую часть атой формулы обозначить ло'(в), то получим ~ л)), )вь= л) ) (в)/л)т'(1), (31) гак как, очевидно, ~~) л), = 1. 'Ю )т) а=о Формула (31) сохраняет смысл и прк р ) 1, несмотря на то, что (30) уже не будет, как прп р (1, производящей функцией распределения вероятностей.
Стационарные вероятности состояний р), ) =1ппР(ч(г) = й), )- где ч(г) — число требований в системе в момент ц как легко видеть, определяются соотношениями Р,', ) = рл,', ' ~ е 1)))г = рл,'"о/Х; (32) о Р ' = рло™ ( ) е — 1)В(1) г)1 + 3 (а-т)) ' о 1-' + р,~ л) ~~ А ., в-ыВ(1) й, 1(й(т; (33) в )' т-1 о )с в т ')' т — ) + р~ )"') (1 — ~ — '"' .— )В)Ш)т. )34) ) — 1 а ) — )) )т) 1.
Здесь р — интенсивность выходящего потока, равная Х(1 — р е1!' В тоже времяпрп р(1л~) =лфл,+ ... +л ), 0()(т. )т) Наконец, т-1 т=-1 ) )с а = А(Ла + ° ° ° + Лт) т (Р1+ ° ° ° + Рт). 1 228 гл. г. полумАРкозские модели систгм Овслуя(ИВАния Подстановка последних соотношений в (34) приводит к равенству х=(1 — х) р— (т) где х = рт+г.
По математическому закону стационарной очереди р) = и). Окончательно получаем х=(1 — х)(р — 1+рг/(р +...+р )). Корень данного уравнения поло)кителен, так как р, = 1 — р, а следовательно, р — 1+ рг((рг+... + р,.) =(р ч, + рт+г+ ° ° )Х М (р, +... + р„,) '. Отсюда (гг) Ро — (' — Р) ()'о+ " + Рт) Рг+ Р(го+ < Дт) Из (32), (33) теперь получаем < ) () — *) () — р), ра )г + т Р + )- <„> (1 — )Р, ))о+ "э Рт Прп р > 1 формулы (32) — (34) также однозначно определяют рг, хотя в атом случае стационарного распределения (р)) цля (т) системы М) С) 1 не существует.
5 4.7. Системы с ограничениями 1. Различные виды ограничений. В Я 1,8 и 1.9 были рассмотрены две постановки на обслуживание с ограничениями: система с ограниченным временем ожидания начала обслуживания н система, характеризующаяся ограниченным временем пребывания (т. е. ожидания плюс обслуживания) требований в системе. Мы получим неъ(едленное обобщение каждоп пз зтпх постановок, если полон(им, что время ожидания (соответственно время пребывания) ограничено не обязательно постоянной т, а некоторой случайной велнчпнон с функцией распределения А(х). Затем можно рассмотреть следующую постановку задачи.
Предположим, что прпбор обладает некоторой зоной действия, так что он может обслуживать требования только тогда, когда они находятся н этой зоне. Через зону требования движутся с постоянной скоростью, например, равной '1. Когда требование начало обслуживаться, то скорость его становится равной я. Легко впдетгч что при (г = О получается обслуживание с ограни- » «.7.
систкмы с огглничвниями 229 ванным временем ожидания (требование «приостанавливается» го ок -о окончания обслуживания), при а = $ мы имеем обслуживавие с ограниченным временем пребывания в системе. 2. Схематизация ограничений. При обслуживании требований в поРЯДке поступлениЯ УДаетсЯ весьма компактно описать многие возможные виды ограничений, введя процесс у(г) — время от во»»энта «до момента оовобождения системы от всех требований, поступивших до момента» (з случае, если они уже покинули систему до момента», полагаем ((»)= 0). Пусть требования образу»от простейший поток с параметром Х.
Обозначим через ве,ппшну скачка у(г) в момент поступления требования, заставшего процесс в состоянии р; обозначим В„(х) = Р(цэ«х), очн«ая, что В„(х) — функция распределения при любом у и измери»м по у при любом х. Итак, предположим, что виртуальное время ол«ндания описывается однородным марковским процессом у (г), переходы которого за время и» описываются стохастическим дифференциальным уравнением дт («) = — з(яп "((г) а«+ дно,дН(г), «де ц„, — независимые для различных (д, г) случайные вели.швы с распределением В„(х), т«(») — процесс Пуассона с параметром Х. Интерпретируем В„(х) = 1 — В„(х) при различных схемах ограничений.
Во всех случаях предполагается, что необходимое время обслуживания требования — случайная величина ц с функцией распределения В(х). С Время ожидания начала обслуживания ограничено случайной величиной ю с функцией распределения Н(х). Имеем бэ (х) = Р (») ) х, ю > р) = В (х) Й (у). 2. Время пребывания требования в системе ограничено случайной величиной ю с функцией распределения Н(х). В этом случае бэ(х) = Р(т~~)х, ю)х+ у) = В(х)Й(х+ у).
3. Величина ш+ с«ш', где ш — время ожидания требования, "' — время обслуживания, ограничена случайной величиной ю с ФУнкцией распределения Н(х). Имеем 6„(х) = Р («) ) х, ю ) у + ах) В (х) Н (у + их). З. Существование вргодического распределения. Обозначим р(г, х) = Р($(г)«х), Е(х) = Ишр(г, х).
теорема. Если общее время пребывания требования в систгмв ограничено постоянной Т, то процесс $(г) обладает эргоди"гсним распределением, 2ОО Гл. 4. полумлгковскнк модели снствм онслужггвянггя Д о к а з а т е л ь с т в о почти тривиально. Действительно, при данном условии Р (й (г) ~ Т) = (. Следовательно, если за время от г до ~+ Т в систему не поступит нп одного требования, то необходимо будет ((~+ Т)= О. Тэгг нак веронтность отсутствия новых требований в интервале (Г, 1+ Т) равна е 'т, то выполняется оценка Р(у(г -)- Т) = О)у(~) = х)= е-гх, Ос х(Т.
Последнее означает, что математическое ожидание числа восстановлений регенернрующего процесса ((Г) в единицу времеви не меньше Хе "т) О. Это возможно только в том случае, когда математическое ожидание длительности интервала меягду восстановлениями процесса конечно. Очевидно также, что указанная длительность обладает плотностью. Стало быть, применив теорему Смита, можно сделать вывод о сущесэвоэанигг эргоднческого распределения.
Более тонкий признак существования эргодического распределения, подмеченный Л. Г. Афанасьевой Щ мы приведем в несколько измененной форме. Теорема. Ясли при у ~ у, В„(х) ~ М(х), а при. у ( у, для некотороео с ) О В,(х) ~ М(сх), где М(х) — функция распределения со свойством Х ) ('г — МР ( х) ] агх ( г, э то процесс ((Г) обладает эреодическим распределением.
Доказательство. Обоаиачим через т„(у ~ у„) математическое ожидание продолжнтеггьностп времени, которое протекает с того момента, когда т(Г)= у, до первого момента, когда этот процесс примет значение у,. Из оценки Р„(х) ~ М(х) следует,что где Т„ — величина, определяемая аналогично т„, но для однолнненпогг системы с ожиданием при простейшем потоке с параметром й п законе распределения М(х) для длительности обслуживания требования. Выведем уравнение для Т,.
Если ((8) = у, то с вероятностью (1 — И)+ о(6) будет ((г+ Й) = у — й я с вероятностью ХЬ+ О ьь системы с ОГРАппченнями 237 -Ь о(й) ((7+й)= у+ Ч+ о(Ь), где ц — случайная величина с функцией распределения М(х). Это рассуждение прпводпт к Соогвошевпю ТО = Ь + (1 — А)О) Т„„+ )Ь ~ Т,(И ( О что эквивалентно следующему равенству: (ТО ТО А) + ХТО О Х ~ Тте 6М(х) + о (й) О Ъ'стремив й к нулю, придем к уравнению ат„ — "+ ХТ„= Х ~ ТО+ йМ(х), ОР О которое представляет собой интегро-дифференциальное уравневве типа свертки на полуоси (см. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
