1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Итак, вероятность потери произвольного требования определяется выражением СО 1 — ь,р, Х ь„Ф„(о). в Т Представляет интерес также определение характеристик времеви ожидания произвольного требования. Если требование поступило в момент времени, когда число требований в системе было равно п, и если это требование осталось в очереди, то его время ожидания до начала обслуживания складывается из времеви $(1) до окончания обслуживания, которое уже началось, и времени обслуживания остальных и — 1 требований.
Ввиду независямости указанных времен преобразование Лапласа — Стилтьеса условного распределения времени ожидания требования, поступившего при я находящихся в системе требованиях и оставшегося в очереди, имеет вид Ф„(о) и- )в 1() ф„(о) Отсюда легко вычислить преобразование Лапласа — Стилтьеса безусловного распределенпя времени ожидания. Смешанная система с переменной скоростью обслужива- В А. Ивницкий решил ряд задач, относящихся к одноликейлым системам с потоками случайной интенсивности и пере- ГЛ.
4. ПОЛУМАУКОВСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ ОВСЛУЖИВИИПЯ пенной скоростью обслуживания. Сформулируем одну из постановок, рассмотренных В. А. Ивницким (Ц, (21, и приведем его результаты. Опишем систему массового обслуживания. В произвольный момент времени 1 система характеризуется числом требований, находящихся в ней, которое мы обозначим через з (8). если у(г)= Й, то за малое время ь может поступить дополнительное требование с вероятностью 1.ьй+ о(й). Величина работы по обслуживанию требования зависит от числа требований, которые находятся в системе сразу после начала интересующего нас обслуживания. Коли зто число равно ~, то указанная величина работы имеет функцию распределения В,(х).
Далее, при состоянии процесса у(Г) = й, где й = 1, 2, ..., скорость обслуживания равна п,. Например, если в момент 1 в систему поступает требование с необходимой величиной работы по его обслуживанию х и в этот момент времени система была свободна, а также до окончания обслуживания другие требованпя в систему не поступают, то данное обслуживание закончится в момент 1+ —, Я Нашей задачей будет разыскание стационарного распределения длины очереди рь = 11ш Р (У (1) = Ц (й = О, 1, 2, ...). В случае, когда т(Г) ~ 1, а следовательно, в момент 1 прибор обслуживает какое-то требование, обозначим через с(1) величину работы, которую прибору еще осталось выполнить после момента 1 для окончания этого обслуживанпя. Обозначим, далее, через Ь(Г) составной случайный процесс (О, если у (г) = О, ((у (Г), $ (г)), если т (г) ) О. ~(1) = ( Этот процесс принадлежит классу лпнсйчатых марковских про- цессов (гл.
3). Обозначим его стационарное распределение сле- дующим образом: Г, = Нш Р (т (г) = О), с Гр (х) = НшР(У(Г)= й $(1)<х) й)1, Обозначим такнсе Р( (1)=й) с В частности, р,=Р,. (Условия существования предельных распределений будут выяснены виже.) е»л. смешАнные системь» ОБслужиВАния 221 рведем преобразования Лапласа — Стилтьеса »»»» (е) = ~ е-'"дВ» (х), е ОО с»» (е) = ) е "'«»Р» (х), о (О) (10) Пусть, наконец, т, = ) х «»В» (х) с" оо, в »-1 Р»-1 «Е»-1 (11) »р» (е) а с — Х Р» »Р»-1 )»Р»»т» (е) )~»-»ц»»-1 (е))с (12) где (13) Доказательство.
Можно доказать, что функции р„(х) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений т'оР» = сс»Р» (0)~ (14) п»р»(х) — Х~р,(х) — сс»Р,(0) + «с,р,(О) В,(х) + Х р,В1(х) = О, (15) и»р» (х) — Л»Р» (х) — а»р» (0) + + сс»+»Р;+1(0) В, (х) + Х»,Р», (х) Ос с » «2, (16) Справедлива следующая Теорема. Если процесс З(«) обладает стационарным распределением, то для р» и «р»(е) имеют место рекуррентные соотно«ление (с ~ 2) гл. и полтыхвковскив модвлн систвьт овслтживлния Положив в равенствах (14) — (16) х —, получаем Л,Рз — — а,Р,' (0), Л1Рг (со) с'1Рг (0) + язР2 (0) + ЛОРО Оз — Л,Рг(оо) — ягР;(О)+асегР;+г(О) + Л;,Р;,(оо) = О, 1' »2.
Складывая первое уравнение со вторым, получпвшееся в резульг тате уравнение с третьим и т. д., находим, что а,Р~ (О) = = Л; гР; г(оо). Очевидно, что Р,( )= рь Поэтому я;Р; (О) = Л;,р;,. Для 1 ~ 2 при помощи преобразования Лапласа уравнение (16) преобразуется к следующему виду: (я;з — Л,) егг (з) = агР, (0) — агг.гР;„г (О) г)гг (з)— — Лг-Л -г(з) = Л;-гр — г — ЛгрЯг(з).— Л; гсвг г(з). (17) )'л,. ~ ('Лг ') нли р,,— ~гг г ~Лг (18) Подставив значение р, в равенство (17), определим грг(з): гРг(з) = (Лг — Р'- — Л1РггРг(з) — Лг-Лг- ( П = 1 Лг-1 Я.5 — Л.
(19) При 1= 1 (ягз — Лг) ~рг (з) = агрг (0) — агрг (0) г)гг (з) ЛороФг (з) = = Ларе (1 грг (з)) Лгргг)гг (з) Р)) В левой части стоит произведение я;з — Л на функциго, заведомо аналитическую прп Ве (з) > О. Следовательно, при з = =Лг/аг левая часть обращается в нуль. Записав условие равенства нулю для правой части этого равенства, будем иметь б б,б, смешАнные системы ОвслужпвАния 223 дгсюда ЛОРО ~-~1 -" "'Ж ' ЛЧ, Ч, — „' — р() %1(е) = (агв — Л )$ ( 11 а г (21) (22) Те 1рема доказана.
Таким образом, по рекуррентным формулам (13) и (19) мо;кно последовательно находить р~ и уб(в), Например, Л1Л.»е Л 1~К, — ' $1 — ' —, Л1 (23) Все р; и ~р,(е) будут иметь в качестве сомножителя Р,=р,. Эта побтоянная определяется нормирующим условием ~ р, 1. б=б В частности, из полученных формул легко следует формула Поллачека — Хинчина. Т е о р е м а. Для стационарных вероятностей состояний справедливо равенство рбЛбт1 = ~ Рб(а1 — Лбтб). (24~ ,(оказательство. Сложив уравнения (14), (15) и (16) прп всех 1, получим равенство ~ а;Р';(х) = ~", абр,(0)В1 1(х) + абр1(0). (25) 1=1 1=1 Поскольку в обеих частях равенства (25) стоят ряды из неотрпцательных функций, мы вправе почленно проинтегрировать 224 гл.
1. Иолуылгковскиг модели систем Овслуо! ивхния Оба равенства в пределах от О до . Так как ~ Р,'(х) дх = Р;( ) = ро, о ) Во (х) дх = то о о в результате интегрирования получим ~~л ~а1Р1 = ~~~~ и1Р; (0) то 1 + и1Р, (О) т . 1=1 1=' Но так как согласно предыдущему а1Р;(0) = Л1 1Р1 „1~ 1, имеем лл георо = ~ Лоротг + Лоротт ЧЧ %1 1=1 1=2 что, очевидно, эквивалентно требуемому равенству (24). Изучим теперь вопрос о существовании зргодичесного распределения процесса Ь(1). (Очевидно, ответ заведомо положителен, если для некоторого и будет Л, = О прн 1 = и н все ои ) О.) Теорема. Пусть еп ) О для .11обого 1. Тогда для суи1ествования зргодического распределения достаточно, чтобы постоянная р„определенная равенетволо (24), была положительна и чтобы Х ЛГ'= Доказательство.
Если условие теоремы выполнено, то последовательность функций (Р,(х) ), найденных по приведенным вьппе рекуррентным формулам, определяет собственное распределение веронтностей. 11епосредственной подстановкой в уравнения процесса можно убедиться в том, что зто распределение стационарно. Поскольку, по условию теоремы, состояния— сообщающиеся, то данное распределение является зргодическим.
Тот же результат получается нз теории регенерирующих случайных процессов. Действительно, процесс ~ (1) — регенерирую,щий. Если р, ~ О, то зто означает, что если взять в качестве начального распределения (Ро(х) ), то математическое ожидание интервала меноду моментами регенерации процесса конечно. Поскольку стационарное распределение характеризуется тем, что р1 О, ноль скоро Л,Л, — Л вЂ”, ) О, а нз состояний ч = 1, для которых ЛоЛ~... Л~-1= О, по условию теоремы процесс за конечное время попадает в состояние / с Л, ... Л,, ) О, то математическое Ожидание интервала между регенерациями конечно прп произвольном начальном распределении.
Тогда по теореме Смита %»,о, смешАнные системы овслуживАн1»я 225 (учптывая еще непрерывность распределения данного интервала) получаем, что существует зргодическое распределеппе. Обозначим Р» Р1' = —. Ро р„ определяются рекурреятпыми сооткоп»екиямп (11) — (13), есяп вместо р, подставить 1. Тогда, как следует из приведенного рассуждения, ро ) О. р, ) 0 тогда и только тогда, когда ряд из р, сходится.
Теорема. Для существования эргодичееного распределения процесса Ц(1) достаточно выполнения следующих условий: Х»(са», »~~Я; ст» 1 — е, »)Лт; (26) а»)~ со, 1) Х Д о к а з а т е л ь с т в о. Для вложенной цепи Маркова процесса т(1) первые два условия (26) представляют собой условия (11), (12) из е 4.4, достаточные для существования зргодического распределеиия.
От вложенной цепи по обычной схеме переходим к процессу Ь(1); при атом используются второе и третье условия (26). 4. Пример. Для иллюстрации применения рекурреитеых формул (11) — (12) рассмотрим следующую систему массового обслуживаеия, имеющую приложение в теории надежности.
Два одинаковых устройства подвержены случайным отказам. В случае отказа оии поступают к одному рабочему, где восстакавлпваются в порядке очереди. Длительность непрерывной работы каждого устройства Независима от состояния другого устройства и распределена по показательному закону с параметром ).. На восстановление одного устройства требуется ц единиц работы.
Обозиачим В(х) Р(ц(х), т = Мт), »)»(в) = ~ е»(В(х). о Погда неисправно одно устройство, рабочий восстанавливает его со скоростью а,; когда неисправны оба устройства — со скоРостью а,. Подобный аффект часто соответствует действительиосгп. Обозначим через р, вероятность неисправности 1 устройств (в стационарном режиме). Формулы (11) — (12) дают (здесь до= 2)., )„» =й) 15 в Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
