1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 38
Текст из файла (страница 38)
200 Гл, 4. Полтмьгковские модели систем Овслуживания собственного распределения (р,), причем оэ аа р — — ~ ~~)', р1 ~~~ось Я (( — Р (~)) г(З, о «=о (2) яп -арго') 1м(~) ОР(~). о Стационарное распределение для цепи Маркова (т„) (финальные вероятности) находим из соотношений рь = Д ямр; (Й = О, 1, 2, ...), 1=О ОР 2 ро-(. ь-о Таким образом, вероятности состояний системы массового обслуживания могут быть получены как характеристики линейчатого случайного процесса или влоягенной цепи Маркова. 2. Пример. Рассмотрим систему с ожиданием, состоящую из ж одинаковых приборов.
Пусть поток требований образует процесс восстановления П„) в соответствии с формулой (1). Длительность Обслуживания предположим показательно распределительной случайной величиной с параметром р. Будем понимать под т(~) число требований в системе в момент 1. Найдем характеристики процесса. Очевидно, Рс = б1+С1 т.
е. в момент 8„случайная функция т(г) претерпевает скачок, где Ка(й) — вероятность того, что однородный марковский процесс а интенсивностЯми пеРехоДа Ас пеРейДет ва вРемЯ 1 из состоаниЯ у в состояние й. [Предполагается, что для любого ~ будет Х 71ь(~) 1). Из этих рассуждений можно сделать вывод, что 3 о для исследования стационарного режима процесса т(1) достаточно научить цепь Маркова (чь). Выведем формулу для вероятностей перехода этой цепи: яп Р (ТА+1 = ) ~ ть 1) Ввиду того, что при условии г„+1 — Г = а вероятность перехода совпадает с функцией ~р1ь~о~(8), а случайная величина ь х + =1 +1 — 1„имеет распределение г'(8), находим з»л. аистины типа оп и» равный 1.
Далее, при 1 ~ т й(») = (аз»)»-» ) О, если 1>1, (» — О» — е а если у(» [4) (поскольку в интервале между» и» +, число требований в си- стеме может лишь убавиться, следуя процессу чистой гибели с параметром т»», пока существует очередь). Рассмотрим случай, когда О < у < л». Существуют две воз- можности: 1)»<т, 2)»>л». Исследуем каждую иа них в от- дельности. 1) » < т.
Тогда первое требование будет обслужено через время й„ распределенное по показательному закону с парамет- ром »»», следующее — через время $» + $м где Ь не зависит от $» и распределено по показательному закону с параметром (1 в 1))», и т.
д,; наконец, (» — 1)-е требование — через время з» + з» + ... ... + 5; », где параметр а»» равен (у+1))». При условии т(О) 1 событие Ь (г) < 1) эквивалентно событию Ц» + з, +... + з»» < М. Следовательно, при у <» < т 1»»(г) = Р(ь + $ + ° . +3»- <»)— — РД~+ $э+ ... +$» н.»с г). (5) Если положить »р»; (а) = ~ в *"ф»» (г), Вез ) О, о то из формулы (5)' получим рп(а) = —. " »в (»+т)в»в 1 +»»» ' ' ' а+ П+»)»» а+»»» ' ' +»р Преобрааованиям вида (6) соответствуют функции асс-»э» (1 е-а»)»-». этот результат очевиден и непосредственно.
2) » > т. Тогда (и (г) = Р д, + ~, + ... + $.; ~ г)— — Р($, + $»+ ° ° +~~ -1+»(1) (7) где з» вЂ” время, за которое в условиях полной занятости всех приборов будет обслужено » — и требований. Аналогично предыдущему имеем »рн ( )»[(» ( а»»»)» — щ а ~, а ( г»»~ 202 гл. 4, полузгАРковские мОдели систем ОБслужиВАния В данной задаче основной интерес представляют не стацио парные характеристики процесса у(г), а характеристики цепи Маркова (у ).
Зная переходные вероятности этой цепи, заданные формулой (3), где ~с(г) найдены, можно решить систему уравнений, определяющую предельные вероятности. Кендалл [21 показал, что в условиях, когда существует эргодическое распределение, справедливы формулы ~)ь», если й:: вг — 2з РА Ль +', если й,Лт — 1, где р,— некоторые постоянные, Л вЂ” единственный корень урав- нения О и ю" ",1Г(х) = Л з Подробные выкладки можно найти в цитированной работе Кен- далла, а также в более поздней работе Такача (11. Здесь же мы приведем доказательство существования эргодического распреде- ления цепи Маркова (у,) при условии ОО тп ~ х ИР (х)ь 1.
о (10) Прежде всего, условие (10) имеет тот же физический смысл, что и условие р с 1 для однолинейной системы с простейшим входящим потоком (3 4.1). Действительно, в единицу времени постуиает в среднем 1~~ х ИР(я) требований, средняя длительность /з обслуживания одного требования равна р ', так что обратную величину к левой части неравенства (10) естественно считать загрузкой обслуживающего прибора. Для докавательотва воспользуемся эргодической теоремой, относящейся к цепям Маркова со счетным числом состояний (з 3.1).
Сформулируем часто используемый частный случай этой теоремы. в интервале 0 < Л~ 1. Пусть ч„обозначает величину очереди в момент г„— О, т. е. Д,=шах(0, ч — ид, а (~ обозначает случайную величину, которая имеет распределение, совпадающее с предельным распределением ч„(л- ). Тогда имеет место интересный факт. Если известно, что Д ) О, то при атом условии данная случайная ве. личина имеет геометрическое распределение: Р(Ч Й~Д)0) (1 — Л) Л~ ~ (Й 1, 2,3, ...), (9) 3 4.5, системА м!ом 203 Пусть (т ) — неприеодилийя непериодическая цепь Маркова со значениями О, 1, 2, ...
Тогда, если при некотором в ~ О М(т„+о — тат = о)~ — е, 1>йо (И) М( „+,— .!»о=о)<-, 1<Л~, (12) то цепь (т„) обладает эргодичесяии распределением. Б случае рассматриваемой системы массового обслуживанюо можно записать т„— т где Р— число требований, обслуженных в интервале времени (г„„г„). Пусть известно, что ч„, =1) т и г„— г„, х. Тогда для любого й ~ о' — т Р(()х>Ц = е ~ )~~ ~1 (трх)' (до тех пор, пока существует очередь, выходящий поток ведет себя как поток Пуассона). Следовательно, о-и ю хах '~е 'Ч (мах)' М(Р4т к=1, гх — гх д — — х)~е йййо й й-й~-й й-;-о +й о-й Проинтегрировав по распределению Р(х), получим, что ЮО ОЭ ~ трх ЙР (х) = тр ~ х ИР (х)й 1; о о В~ +,ат",как остаток сходящегося ряда, можно сделать сколь о угодно малым, ваяв ()Х Отсюда следует оценка (11).
Оценка (12) вытекает из того, что всегда т„— т„, ~ 1. з 4.5. Система М~б)1 с ненадежным восстанавливаемым прибором 1 Возможные постановки задач. Большую важность для практических првложеннй представляет обобщение изученной в пРедыдущих параграфах схемы массового обслуживания на тот случай, когда обслуживающий прибор выходит из строя, требуя Ремонта (восстановления). Действительно, априори очевидв, что существуют системы обслуживания, для которых при данной интенсивности входящего потока время ожидания и величи- 2О4 гл. 4. полумазковскне модели систем Овсль'живАния иа очереди обладают эргодическим распределением; если же учесть, что определенная доля времени идет на ремонт прибора ввиду систематических поломок, то очередь в самом деле будет расти до бесконечности. Поэтому необходимо уметь устанавливать условия эргоднчности и находить различные характеристики обслуживания также для «ненадежных» приборов.
С практической точки зрения интересны несколько различных математических постановок, схематизирующих выход прибора иэ строя и его восстановление, а также правила обслуживания требований, которые застают прибор в нерабочем состоянии. Прежде всего, прибор может выходить иэ строя либо только при обслуживании требований, либо только в свободном состоянии (когда требований з системе нет), либо как в том, так и в другом состоянии. Очевидно, в каждом из этих случаев должен быть сформулирован статистический закон, согласно которому происходит выход из строя. Во многих случаях хорошее согласие с реальной ситуацией дает предположение о том, что прибор выходит из строя часто случайно, т.
е. выход из строя за время Ь может произойти с вероятностью ай+ о(й), независимо от того, что было до этого времени. Можно считать параметр а переменной величиной, равной ао если прибор в рассматриваемый момент времени занят обслуживанием некоторого требования, и равной ао ее ги прибор находится в свободном состоянии.
Сформулированное предположение равносильно тому, что время непрерывной работы (срок службы) прибора в занятом или свободном состоянии имеет показательное распределение. В более общем случае время непрерывной работы прибора представляет случайную величину с законом распределения, не обязательно сводящимся к показательному. Возникает также вопрос, каким образом отсчитывать время непрерывной работы. В реальных системах обслуживания иногда представляет интерес схема, согласно которой прибор может выйти из строя за время от 1 до Т+ Й с вероятностью, зависящей от того, сколько времени прошло от начала периода занятости, длящегося в момент 1.
В схеме, рассмотренной Т, П. Марьяновичем )'4~, )51, указанная вероятность зависит от иной величины, а именно от времени, прошедшего с момента начала обслуживания требования, которое в момент Т находится на обслуживании. Зачастую играет роль только время, прошедшее с момента последнего восстановления прибора. Длительности восстановления прибора после последовательных выходов из строя обычно считаются независимыми и одинаково распределенными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
