1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 37
Текст из файла (страница 37)
полгмАРковские мОдели систем Овслгокивлния ное число, для которого выполняется условие ф () (1 — р') ) = р'. говда 6( )=р'. (4) Если р < 1, то р* = 1 и С(х) является собственной функцией распределения; если асе р ) 1, то рв (1, и тогда 6(х) — несобственная функиия распределения, т. е. период занятости мохсет быть бесконечным с вероятностью 1 — р*. Доказательство.
Установим, что уравнение (2) имеет единственное решение при условиях г) О, !у(г)! ( 1. Введем обозначение г+ А — ху(г) = х и рассмотрим уравнение (2) при вещественные полов~ительных г. В новом обозначении нужно доказать, что уравнение (г+ А — х)/А = ф(х) (5) имеет при г = О единственное решение по х, подчиненное условию г<х(г+А. На рис. 5 изображены левая и правая части равенства (5) при вещественных х. Когда х = г, левая часть больше правой; поскольку прямая, изображающая левую часть (5), имеет отрицательный наклон, а ф(х) непрерывна и положительна, то найдется точка, в которой прямая пере- сечется с кривой; эта точка и будет соответствовать корню уравнения (5).
Так как ~у(х) выпукла, то другого вещественУ=.х ного корня ве существует. СледовательФ/ау но, у(г) на вещественной положительной полуоси определена единственным обра- 0 зом. По принципу аналитического проРвс. 5 должения можно эту функцию единственным образом продолжить на всю правую полуплоскость. При г - О угловой коэффициент прямой стремится к — 1/А; в то же время ф'(О)= — т. Ввиду выпуклости ф(х) при р~1 предельная прямая пересечет график у(х) при некотором х= = х*) О. Следовательно, Вшх=а'". Тогда рв=у(О)=(А — х*)/ е-~ О /Х ( 1.
При р ( 1 предельная прямая пересекает график ф(х) в единственной точке х = О, и тогда р* = 1. Остается заметить, что С( ) у(О). Теорема доказана. з 4.3. нкствционагныв хавхкгегистики Продифференцировав (2) и подставив з = О, получим б'(О) = ф'(О) (1 — ) д'(О) ), откуда средняя длительность периода аанятости — д'(О) = т/(1 — р).
(6) Формулу (6) легко интерпретировать пз зргодических соображеяпй. Пусть Т, и Т, — средние длительности периода незанятости и периода занятости. Тогда Тк!(Т, + Т,) = р как средняя доля времени, в течение которого прибор занят. Заметив, что Т, = 1/), получая Т, = т/(1 — р). 4.
Распределение числа требований, обслуженных в течение периода занятости. Так же, как и период занятости (формула (1)), исследуется число обслуживаемых требований. Если и„— вероятвость того, что в течение периода занятости будет обслужепо й требований, (ба ) — и-кратная свертка распределеоо ння (д), а следовательно, производящая функция д(г) последовательности (д) удовлетворяет функциональному уравнению б( )= /(а( )) илл л(г) = гф(Х вЂ” Хб(г)). (7) Прп р) 1 число требований, обслуженных в течение периода занятости, с некоторой вероятностью бесконечно; при р ~ 1 оно с вероятностью 1 конечно.
Доказательство вполне аналогично случаю периода занятости. Если р'( 1, то зто число имеет ковечное математическое ожидание а. Из (7) находим я'(г) = ф(Х вЂ” Хд(г) ) — Хгй'(Х вЂ” Ху(г) )б'(г). Подстановка в зто равенство г = 1 дает а 1+ ра, т. е. а = 1/(1 — р). (8) Формула (8) имеет вполне наглядный смысл: за время Т возникает в среднем ХТ(1 — р) периодов занятости — столько, сколько поступает требований при свободном состоянии прибора; значит, па одвя период занятости приходится в среднем ХТ/(ХТ(1— — Р) ) = 1/(1 — р) обслуженных требований. б. Распределение времени до первого освобождения прибора.
Пусть 7(О) х~О. Обозначим через Т„первый момент обращения 7(г) в нуль. (Заметим, что если усреднить распределение Т, по распределению В(х), получим распределение периода занято- 13» 196 Гл о полумАРковские мОдели систем ОБслужиВАния сти.) Пусть о„— число требований, поступивших в систему в интервале (О, Т„), и 6„(х, г) = Р (Т„( г, а„= п). Прабху 111 установил для данного распределения иаящную и весьма полезную формулу, а именно: (Л„)х — г 6„(х, г) ) е ~" ( ~ ИВБ(и — х), 1)х, п)0, (9) х г де В„(х) — п-кратная свертка функции распределения В(х).
Приведем доказательство формулы (9), следуя Н. Прабху. Очевидно, при п = 0 формула (9) выполняется, так как О при х(0, 1 при х)0. При п > 1 для того, чтобы было Т, с г и с, = и, необходимо, чтобы некоторое требование поступило в систему в момент и(х. Если ц — время его обслуживашгя, то ((и+ О) = х — и+ о), а следовательно, событие (Т,( ~, а„= и) произойдет в том и только в том случае, если Т„„+„~ г — и. Итак, 6„(х„й) = Л~е ь"г(и ~ 6„,(х — и+ о, й — и) с(В(у), 1 х. (10) о о Формула (9) равносильна менее громоздкой формуле в дифференциалах 06„(х, г) = е —" ИВ (а — х). -ы(Ло)" ~ Допустим, что эта формула выполняется для п — 1 вместо и. Из (10) находим (полагая без ограничения общности Л = 1) "6 (х. Г) ~е "Ыи ~ 06„,(х — и+ У, а — и) НВ(о) = о о ~е "йо ) е +" ) (х — и+ о) ЙВх,(й — х — о)о)В(о), (п — т)! о о Отсюда требуемая формула получается изменением порядка интегрирования.
6. Нестационарное распределение виртуального времени ожидания. В з 4.2 был введен случайный процесс ((о), определенный как О, если в момент ~ прибор свободен, и как время с мо- 9 4Л. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 197 мента с до момента освобождения прибора от требований, поступивших раньше 4, если в этот момент прибор аанят. Для преобразования Лапласа — Стилтьеса Ф(в, 1) распределения случай ной величины 7(г) справедлива формула Ф(в, г) = а "-~'"а(ох, о) —.);*""'-'~ к""~то, -,.
о)а 1, со о где Р(г,х) = Р(у(а)х х). для использования этой формулы надлежит определить Р(1, +0), т. е. вероятность того, что система обслуживания в произвольный момент времени и будет свободна от требований. В этом и будет состоять результат, который мы рассмотрим. Примем такие предположения: 1. Длительность обслуживания обладает плотностью, т. е. В(х) = ) Ъ(1) 4Ра о причем Ъ(х) обладает тем свойством, что при некотором с > О функция е '"Ъ(х) интегрируема с квадратом в интервале (О, ). 2. Параметр входящего потока )4(г) интегрируем с квадратом в интервале (О, ). Теорема.
В принятых предположениях Яуннция Р(4, +0), определяется нак единственное непрерывное решение уравнения Вольтерра отарово рода у' (т) — Р (1, + О) + ) Ъ(Г, и) Р (и, + 0) ди о еде +)М ъ 1 а),. ( 44-х)а-4А44)-А(х)П1-$(а)) ва 2Ш х) М 8 х-ам х+а хо а 1 Е ( .о х, Са-аЛ-Е44))АЯ Вв )) Е)ВЮ о' х-4 ~ В последнем интеграле должно быть х ~ с. Доказательство мы приводить не будем, отсылая читателя к статье Ре)уча [1). 7. Нестационарный режим системы обслуживания при простейшем входящем потоке.
Пусть известно, что при г= 0 прибор свободен. Обозначим через г„момент окончания и-го периода за лятости прибора (и ~ 1). Тогда (1 ) — процесс восстановления. 19я Гл. и полгмАРковскнв мОдели систем ОвслуживАния Для того чтобы в момент г прибор был свободен, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих несовместных событий: 1) эа время от О до г не поступило ни одного требования; 2) в некоторый момент т ~ г закончился период занятости; после этого в течение г — т единиц времени в систему не посту пило ни одного требования.
Обозначим через ХХ(г) функцию восстановления процесса 0 ). Тогда вероятность свободного состояния прибора есть Р(1, + О) е ~ + ~е м' ~4Н(т). (12) е Найдем функцию восстановления процесса Ю. Случайная величина з„= 1 — г„, (где положено г, = О) по смыслу процесса равна сумме двух незавиоимых случайных величин: интервала З„от момента Е„, до момента поступления следующего требования и интервала занятости ~.. В соответствии с этим, если л(е) — единственное аналитическое решение функционального уравнения л(е) = з) (е+ А — Лд(е) ), вещественное при вещественных а ~ О и удовлетворяющее усло- вию 1б(е)! < 1 в правой полуплоскости, Ме = Ъл (е)/(е + А). (13) Согласно $2.6 Н(г) имеет в качестве преобразования Лапла- са — Огилтьеса Хг (е) ~ е "аН (л) + ~~лйб ° (14) $ Ме а Взяв преобрааование Лапласа обеих частей уравнения (12), с учетом (14) получим ° В -А о или (15) Р ( + О) о в 4.4. Системы типа 61~Мат 1.
Построение вложенной цепи Маркова. Системы массового обслуживания очень общей структуры при входящем потоке с ограниченным последействием и показательно распределенной 5 аа Систанты ТИПА ОЦМ)тл длительностью обслуживания требований поддаются исследованию методом вложенных цепей Маркова (методом Кендалла). Примем следующие предположения. Система массового обслуживания описывается случайным процессом т(~). Возможные значения процесса ч(8) — целые неотрицательные числа О, 1, 2, ... В моменты (с„), образующие слччайный поток восстановления, в систему поступают требования.
Если в момент т = 0 состояние процесса было т, то в момент т„процесс переходит в состояние ) с вероятностью рс, где Х РВ=1. у=е независимо от любых случайных событий, связанных с поведением процесса до момента г. В интервалах между (г ) процесс т(Г) является однородным марковским процессом с интенсивностями перехода Хе. Для полной определенности процесса т(а) как случайного процесса задается либо его начальное распределение ра(0) Р(т(0) =й) (й 0,1,2, ...), либо распределение в момент, предшествующий первому восста новлению: р„'(1) Р(ч(тд — 0) = ц) (й= О, 1, 2„,.).
Так как (Г ) — процесс восстановления, то Рв(х) = Р(тв — тв-1(1 — блт)(х) = гт(х)б т+ е(х)(1 — б„т)е и~~1, (1) Введем обозначения т„=ч(г — 0) (п=1, 2, ...). Представляют интерес следующие характеристики: ра (и) = Р (тв = й). Ра = 11 ра' (и). ира (г) = Р (т (г) = Цз ра = Пш р а (г). Если Г(х) — нерешетчатое распределение «), обладающее конечным первым моментом т, то из существования собственного Распределения (ра) немедленно вытекает (в силу теоремы Смита из теории регенерирующих случайных процессов) существование «) В случае решетчатого расвределеввя имеет смысл рассматравата предел Раы = Вш Ра («а+ Ь), е-~а где Ь вЂ” максимальный шаг расвределеявя, 0 ( 6 ( Ъ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
