1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Их распределение может, однако, зависеть от того, вышел ли прибор нз строя в момент времени, когда он был занят обслуживанием требования, или это произошло, когда прибор был свободен. В большинстве работ предполагает- 5 4.к системА и!О!! ся, что время восстановления прибора распределено по покааательному закону; с точки зрения приложений важно освободиться от такого допуп?ения.
Предположим, что в момент выхода прибора из строя производллось обслуживание некоторого требования. После окончания восстановления прибора требование вновь поступает на прибор для окончания обслуживания! в первой схеме время обслуживанпя требования после восстановления прибора не зависит от ранее затраченного времени, во второй схеме это время »запоминается» н остаточное время обслуживания сокращается.
Воаможны, конечно, и промежуточные схемы. Представляет интерес также схема обслуживания, в которой требование может вообще покинуть систему с некоторой вероятностью, если во время обслуживания этого требования прибор вышел из строя. Такая постановка исследована Т. П. Марьяновичем. Виже мы рассмотрим различные постановки пз очерченного круга, начав с самой простой. 2. Выход из строя в свободном состоянии, Допустим, что прибор может выйти из строя только тогда, когда он не занят обслуживанием требований. Если в момент ! закончился период занятости прибора и до момента т + х другие требования не поступвлп, то за зто время прибор может выйти из строя с вероятностью Р»(х) = ~ !?» (!) Ю. Стало быть, Р,(х) — функция расо прсделения срока службы прибора в свободном состоянии. Время восстановления прибора предположим случайной величиной с функцией распределения тт»(х) н конечным математическим ожпданием т,.
Для параметра входящего потока, распределения времени обслуживания и загрузки прибора мы сохраним те же обозначения, что и в предыдущих параграфах, Практически важными характеристиками обслуживания являются следующие величины: распределение времени ожидания в проиввольный момент времени, т. е. времени с момента ! до того момента, когда прибор смол»ет обслужить требование, которое поступило бы в момент 1; вероятность того, что прибор в данный момент времени свободен; вероятность того, что прибор в данный момент времени находится в исправном (или неисправном) состоянии. Все указанные характеристики обслуживания можно изучить, воспользовавшись соответствующим образом построенным марковским процессом.
Вначале рассмотрим следующую абстрактную схему обслуживания. Поведение сиотемы описывается регенерирующим случайным процессом "((1) с моментами восстановления !„, соответ- 206 ГЛ. 4. ПОЛУМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ ствующимн окончанию периодов занятости. Если 1„, + з„— момент поступления первого в данном цикле требования, то цикл состоит из двух интервалов: г и го — го г — хо= го. Процесс т(г) полностью вадается случайной величиной е„и случайной функциейу(1), О~ г(г„, где у(3) = у(г„, + е„+ 1) (готакже случайная величина). Р Предположим, что Мг„( со, Мг„С со.
Пусть теперь Р(А)— эргодическая вероятность события (((~)гиА). Тогда эта вероятность будет иметь то же значение при еамене ((8) другим процессом, у которого распределение д(г), г,— прежнее, а х„— некоторое другое, если Мт осталось неизменным. В самом деле, по теореме Смита 11ш Р (у (~) ~ А) = Мт (А)!М [з„+ г„), где т(А) — суммарное время пребывания функции у(г), О~с( ( го, н фУккЦии д,(1)= О, О( Г < е„, в множестве состоЯний А. Первое слагаемое в обоих случаях Одно и то же, а второе равно Мг„или О в зависимости от того, включает ли А точку О. Возвратимся к рассмотрению системы с ненадежным прибором. Будем считать отказ прибора требованием, восстановление — временем Обслуживания.
Пусть ((г) — виртуальное время ожидания. Внутри периодов занятости этот процесс ивменяется так же, как и в случае системы М[Ф1, но функция распределения времени обслуживания требования, с которого начинается период занятости, равна Период свободного (и исправного) состояния прибора имеет математическое ожидание 00 3 о ' = ~ е-""В (х) Ах. о В силу сделанного выше замечания для расчета ергодических вероятностей будем считать, что в свободном состоянии прибора требование появляется по показательному вакону с параметром Х,. Итак, имеем систему вг [6[1 с описанными вьппе особенностями появления и времени обслуживания требований. Аналогично результатам $ 4.2 выводится следующее утверждение.
Теорема. При р Ат с 1 существует предельное распределение г'(х) = Впг Р(у(г) с х), не гавислщее от начального 5 4.а системА м) о) г 207 рвспределения и определяемое решением интегрального урав- нения Г'(х) — Л ( В(х — у) ЫГ(у) + в + (ЛВ(х) — ЛвВв(х)) Г(+ О) О, х)0, (1) вде Г(+0) определяется иг условия нормировки Г( )=1. Введем обозначения ~(г) = ~е '"ЫГ(х), ф(г) = ~е дВ(х) ~ъв (г) = ~ е '"НВ (х). о Проинтегрировав обе части (1) с весом е, О С х ~ сь, получим формулу У(г =Г(+О'+'в(' 'в") '" 'У(')).
(2) г — Л П вЂ” т(в)) Постоянная Г(+0) находится предельным переходом в формуле (2) прн г — 0: в левой части ~(г) — 1, в правой имеем ФФ г + Лото Г(+ О) ~ ~~, где т, = )~В (х) дх, Итак, Г(+ ') = ~-'Л. ° р+ го (3) Формула (3) имеет следующую простую интерпретацию.
Средняя величина работы, поступающей за время й, равна Лтр(+0) т, йс+ Л(1 — Г(+О) ) т ог, т. е. в интервале единичной ллпяы прибор занят в среднем в течение времени Л,Г(+0)т,+ +Л(1 — Г(+0))т; с другой стороны, зто время в среднем равно 1 — Г(+О). Пз сходных соображений выводится вероятность исправности прибора в стационарном режиме, называемая в теории надежности ноэ4фициентом еотовности (Кг) Моменты выхода прибора нз строя образуют поток восстановления с интенсивностью Л,Г(+0). Отсюда Кг 1 — Лор (+О) т .
(4) Предлагаем читателю вывести эту формулу из теоремы Смита для регенерирующих процессов, выбрав в качестве моментов восстановления моменты окончания интервалов занятости. 2оя Гл. ь полумАРковские ыодгли систем Овслужизлцпя Заметим, что те же математические уравнения описываЮт и совсем мной фпаический процесс. Во многих случаях при обслуживании первого в интервале занятости требования требуется дополнительпая операция, обычно называемая «разогревом», вследствие чего В,(х) и В(х) оказываются разнымп функциямк. (В этом случае обычно Х = Х., ) Впрочем, рассмотренную модель можно приспособить п к системам, где набл«одается как «разогрев», так и выход прибора пз строя.
3. Общий случай. Совершенно ясно, что схема обслуживания, подробно изученная в предыдущем пункте, является очень частной; для приложений важно сделать такое ее оообщение, в котором учитывается возможность выхода нз строя прибора в моменты времени, когда Он занят обслуживанием требований. Однако для широкого класса постановок об обслужпвавпп ненаде»кныь« прибором можно пользоватья цредыдущиы результатом; необходимо только по-иному иптерпретировать время обслуживания.
Поясним сказанное на примере. Предположим, что, в дополнение к предыдущему, во время обслуживания требования прибор может выйти из строя за малое время Ь с вероятностью с«,Ь+о(й), независимо от того, что было до этого. Время восстановления предположим случайной величиной с функцией распределения В,(х) и конечным математическим ожиданием т,. Относительно выхода прибора мэ строя в незанятом состоянии сохраним те же предпосылки, что и в предыдущем пункте. Пусть в момент г, началось обслуживание некоторого требования. Обозначим через р время от момента 1, до того момента, когда прибор будет способен к обслуживаня1о следующего требования.
Время р может состоять из времени обслуживания требования, поступившего на обслуживание в момент 8, (это произойдет в том случае, когда прибор за время обслуживания ие выйдет иэ строя); если же прибор за это время вышел иа строя п раа, то р будет состоять из времени обслужквания и и времен восстановления прибора, По формуле полной вероятности х ВВ(х)=Р(~(х) = ~~~ ~ Л~«Ю(х — у) '~ е "~МВ(у) ~х х=» где В1 (х) — функция распределения суммы и независимых 1Ю случайных величин с функцией распределения Л, (х), если л ~ 1, Л, — = Е. Очевцдно, что для времени ожидания произволь- <»1 иым требованием начала Обслуживания в высшей степени безразлично, какая доля времени истрачена прибором иа обслуживание и какая — иа восстановление, важно лишь то, через какое время после начала обслуживания' того плп иного требования прибор приспособлен к обслуяиванию следующего требования. Следовательно, есчи под временем обслуживания понимать 9 4,5.
систвмд и! оН 209 случайную величину р, то время ожидания произвольного требования в установившемся режиме будет определяться формуламп ;2) — (3), в которых е)е(з) заменена преобразованием Лапласа— Стплтьеса фе(г) случайной величины р. В приведенном примере л ( ° Р („) ело- ( -* — т. ~ ве'Π— е)'~.— ев(е~)в*- о "=од Ч (з+а, — а,рт(з))е где Р,(з) — преобразование Лапласа — Стилтьеса распределения времени восстановления прибора при условии, что выход из строя произошел во время обслуживания требований. Можно вывести условие, при котором случайный процесс ~(г) обладает эргодическим распределением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
