1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 26
Текст из файла (страница 26)
138 Гл, 2, изучение Входтощего потокА тРИБОЕАний 5. Случай стационарных и ординарных слагаемых потоков, Перейдем теперь к случаю, рассмотренному Л. Я. Хинчнным и Г. А. Ососковым, когда слагаемые потоки х,(Г) стационарны и ординарны. Мы предполоя1им, таким образом, что прн à — 0 Р (х»„(~) - 2) = о (1). В сплу стационарности существуют пределы р((х„,(1) ~ = О) »» 1 1.»о 1 1пв шах )„„=О.
1ЧАЛ»» (9) Так как 1 — р~, (О; 1, 0) » ~Мх, (1) = ),1, то пз (9) вытекает бесконечная малость слагаемых процессов х,(1). Для формулировки последующих результатов воспользуемся введенным нами ранее аппаратом функций Пальма — Хинчина.
Как мы знаем, функцией Пальма — Хинчина порядка й называется предел Р(',(1+с) — *„(') =Ь' ., ())О) »»(й, г) - Пш "" р(х„","(,)) 0) Т е о р е м а. Для сходимости последовательности процессов А» х»(1) = ~ х, (о) к процессу Пуассона с параметром Л необходит=1 мо и достаточно, чтобы при каждом фиксированном 1 1» 1 1пв ~.", ) ) <р„„(01 и)сЬ Л1 (10) о "» 1пв ~~", Х»„) 1р»„(1, и) Ыи = О, (11) о Доказательство. Мы знаем (3 25, формулы (8) и (9)) что Р»,(О; Го О) 1 — Л»» ) %»т (01 и) Йс (12) которые были нами названы параметрами потоков х,(1): для ордпнарных потоков)» = Мх»„(1), т. е. параметр потока равен его интенсивности. Предпололчим, что при больших и интенсивности равномерно малы: $2.8.
НРедельные теоРемы для суммАРЯОГО потокА 139 и при й>1 Ри„()С; Г, 0) = Ли„~ (1Р„„(7С вЂ” 1, и) — тР„т(й, И)] ди. о Использовав стационарность процессов х„, (г), определенно функций Л. (~, в) и В. (~, 0), а также только что выписанные формулы Пальма — Хинчина, находим Аи 1 Ли (1+ в, в) Л„($, О) „~~ Ли,~тр„„(О, и) ди— .=1 "и — Х Лит ) туит (1т и) 1йо — о ои Ви(Г, 0) = ~~ Л „)Р 1Рит(1, и) ди. о Отсюда и из теоремы п. 3 настоящего параграфа заключаем как о необходимости, так и о достаточности условий (10) и (11).
Если предположить, что существует предел Аи Ппт ~ Ли,=Л (13) и- то т=1 (в работах А. Я. Хинчина и Г. А. Ососкова предполагалось, что ьи ~ Л„, Л), то условия только что доказанной теоремы могут т=1 быть записаны в более простой форме. Теорема Хинчина — Ососкова. Если условие (13) выполнено, то длл сходимости процессов х„(Г) н процессу Пуассона с параметром Л необходимо и достаточно, чтобы при любом фиксированном 8 и ив ои ~ Ли„) ор„„(О, и)ди — ~-Л1.
(14) .=1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения функций Пальма— Хинчина вытекает, что 1р„„(О, и) + <р„, (1, и) ~ 1. Отсюда и из соотношений (13) и (14) заключаем, что ои Ьи т 1 т Ет (т„,(т, >т,Ии Ет (т — 1т (о, >т) — о. о Мы убедились, что (13) и (14) влекут за собой оба условия первой теоремы настоящего пункта.
Теорема тем самым доказана. 140 гл. 2, изучение входящего потокл тгевовлнпя 6. Дополнительные замечания. Мы видели, что при весьма общих условиях суммы независимых малых потоков близки к пуассоновскому потоку. Возникает вопрос о быстроте сближения в зависимости от числа слагаемых. Его изучению главным образом в связи с аадачами теории надеькности были посвящены работы И. Б. Погожева [11 и Б. И. Григслиониса [31, [41.
Мы ограничимся здесь формулировкой лишь некоторых результатов. Теорема Григелиониса. з[ля процесса х„(ь), являющегося суммой бесконечно малььх независ мых случайных процессов, имеет место неравенство зер (Р„(х, Т) — Р„(х, Т)(( хевзь ~( 2кь х~з Аз (Гт, 1т-1)+2(ьп+ 1) Нв(1мь 1,)у в котором введены следующие обозначения; Н вЂ” т-зьерное пространство, т"'„(х, Т) — функция распределения вектора х„(Т), (х„х„..., хы), Р„(, Т) = П Р(х, л (1„1 ))1 где Ььь Р (х, Х) = ~' — „е-~, А„(1, г) = ~~ рг„(1; 1, в). ось<в г=1 Случай одинаково распределенных независимых процессов восстановления был изучен П.
Франкеном. Введем необходимые обозначения. Пусть задана последовательность неаависимых одинаково распределенных случайных величин х„х„..., для которых Р(х) = Р (хь (х). Для каяьдого 1) 0 определяем процесс восстановления Л(1), равный максимальному значению п, для кои торого ~ хь~(1. Функция восстановления Н(1)=МЛ'(1) и функ1=1 ция Р(х) связаны между собой, как мы внаем, соотношением х Н (х) = Р (х) + ~ Н (х — и) Ы (и). о Определим для каждого и и функций Р (х) = Р ь(х), Н„(х) = =Н„(х), 1=1, 2, ..., и, процессы восстановления Н.,(8), независимые для всех ь при каждом данном и.
Отпосительно Н (ь) предположим, что при всех и и 8 выполняется равенство $2.». ПРЯМЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ 141 Положим а 1. = Х ~'.1(г + 2) — )у. ( )[. е=1 Теорема, доказанная П. Франкеном, состоит в следующем: Теорема. Пусть г"'„(+0)(0,5. Тогда 2 е ее„ - ее - У. « еее [е е. 2 †', 1 ~е о ( ,е„, ), ол»(х ВЛВ<г где ер(!с) ' е-~н<е+е>-н<е>1, а (ее(1с) — некоторые й! многочленьь от Й. з 2,9. Прямые вероятностные методы В З 2.8 были доказаны предельные теоремы о сходимости сум марного потока к потоку Пуассона. Основным методом доказа- тельства этих теорем был метод характеристических функций. Полезно привести также иллюстрацию прямых вероятностных методов доказательства подобных теорем.
Эти методы более на- глядны и хорошо раскрывают внутреннее существо задачи. Пусть выполняются условия теоремы Григелиониса. Элементарные процессы х„. (1) представим в виде суммы х„,(2) = и„,(2)+ Р„,(2), где и„,(2) = ш(п (х„,(й), 1), и„,(1) пеах(0, х„,(2) — 1). Таким об- разом, и„, (г) «отмечает» лишь первое событие т-го потока, о„, (е) — все остальные события.
Тогда х„(2) = и„(Г) + о„(2), где и„(г) и о„(г) — суммы соответствующих элементарных про- цессов. Имеем Р(ил(2) = О, О~(2~(Т)~1 —,~"„Р(он,(Т))1) — 1 — В„(Т) е 1. (1) Обозначим через Г ь момент времени, когда и„(2) впервые доо стигает уровня й, через 2.1 — момент й-го события суммарного потока х (г). Поскольку при условии, что Р„(2)=0, 0(2( Т, все 2 и попадающие на отрезок [О, Т), совпадают с Г'„ы то зпр ~ Р (ееее( хе« ° ° ° е Гиее «~ хее) Ваге(...<к„кт — Р(г",1(хее ..., Ть„<-х,„) [(В„(Т) -«-О. (2) ее ее 142 ГЛ. 3, ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ Таким образом, для исследования предельного поведения распределения (».„8 „...) достаточно решить аналогичную задачу для ( ° тим 1 а~ ° ° .).
Поскольку же и О Р(Зи»< а» ° ° ° 1 Зми<а ) = П Р(С,<а„~4,(а;, 1 С-й) (З) »=» то достаточно исследовать отдельный сомноя~итель правой части формулы (3). Известен следующий факт. Пусть А и  — два события, причем В () В„. Тогда (Б1 Р (А ~ В») ( Р (А ! В) ( ЕБР Р (А ~ Вт).
В качестве события А возьмем(~~а < аь), а в качестве  — событие (тй~~со»(й). Тогда В Ц Вт, где В„состоит в том, что 1и~ У» И ИЗВЕСТНЫ НОМЕРа ГЬ ~.СЕ, тЕХ ЭЛЕМЕНтаРНЫХ ПОТОКОВ, о которые произвели события с номерами 1(е суммарного потока и„(т). Понятно, что 0<у,( Т. Без ограничения общности положим г, 1, 1( й. 'Тогда и Р (А ~ В„) = 1 — Д (1 — р„;), »=ь где р; Р(х„;(а,))~1~х„,(у»,) = О), причем у,=О.
Имеем Р„(1; им З„,) р"' ~ — р„,. (т; з„„о)' Так как выражение в знаменателе при п ~ стремится к 1 равномерно по у и г, а сумма по ) выражений в числителе сходится к Л(а») — Л(ри,), то по тзакону редких событий» справедливо соотношение Р(А~В») -~- 1 — ехр ( — [Л(а„) — Л(уь т))), Однако, поскольку у» г зим „то это и означает сходнмость о к простейшему потоку. Заметим, что если в теореме Григелиониса отбросить условие (6), то будут получаться и более сложные потоки: вслед за событием предельного потока на случайных расстояниях будут повторяться конечные или бесконечные цепочки связанных с ними событий.
Класс возможных предельных распределений изучен И. Н. Коваленко (10). з хаз, пРедельнАя теОРемА для Редеющих пОтОкОВ 14ч 5 2ЛО. Предельная теорема для редеющих потоков 1. Постановка задачи. В ряде практически важных задач приходится встречаться с такой ситуацией, когда первоначальный поток требований, проходя через ряд последовательных обслуживающих приборов, теряет некоторую долю составляющих его элементов. Так, если в массовом производстве деталь обрабатывается на ряде станков и после каждой операции отбрасываются детали и не проходят дальнейшей обработки, когда в них обнаружены дефекты, то первоначальный поток деталей редеет. Подобная же картина имеет место, когда мы даем править опечатки нескольким корректорам: после каждого корректора число пропущенных опечаток, оставшихся в тексте, уменьшается.
Уже неоднократно возникал вопрос: нельзя ли высказать какие-либо общие предложения относительно таких редеющих потоковг Этот вопрос законен, поскольку описанная только что схема может иметь многочисленные физические и технические применения. На семинаре па теории массового обслуживания Института математики АН УССР в связи с исследованием потоков деталей, наблюдающихся на автоматических линиях, было высказано предположение, что при широких условиях редеющий поток будет приолижаться к пуассоновскому. Приблизительно тогда же Репьи ~1] доказал первую теорему в этом направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
