1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Поток требований на ремонт оборудования ремонтная бригада получает из различных источников: каждый прибор, каждый механизм являются таким элементарным источником требований на обслуживание; общий же поток требований, поступающий в ремонтную бригаду, является суммой элементарных потоков. Мы можем продолжать перечисление конкретных примеров, но в этом нет необходимости, поскольку каждый читатель может добавить к ним собственные, связанные с его деятельностью. Мы увидим, что при весьма широких условиях относительно исходных потоков суммарные потоки будут блиаки к пуассоновским, в том числе и к простейшим. Изложение, которого мы здесь придерживаемся, следует идее, высказанной Б.
В. Гнеденко и осуществленной Б. И. Грпгелпонисом в работе [1]. Зта идея близ- 8 2.8. пРедельные теОРемы для сумыАРного потокА 223 ка той, которая почти двести лет является руководящей во многих применениях теории вероятностей: в теории ошибок наблюдений, молекулярной физике, теории стрельбы и многих других. д именно, наблюдаемое воздействие рассматривается как сумма елементарных воздействий, каждое нз которых является случайной величиной, независимой от остальных; при атом каждое из слагаемых оказывает в некотором смысле малое влияние на сумму.
В работах И. Б. Погожева [Ц и Б. И. Григелиониса (2) изучен и другой важный вопрос: сумма болыпого числа потоков, каждый нз которых оказывает на сумму лишь малое влияние, близка к потоку Пуассона; спрашивается, как быстро сближаются функции распределения сумм с соответствующими функциями для предельного потока) Позднее иы сформулируем некоторые из найденных результатов. 2. Определения и обозначения. Мы скажем, что случайный процесс х(г) является ступенчатым, если прн г>г> 0 приращения х(г) — х(г) могут принимать лишь неотрицательные целочисленные значения.
Будем предполагать, что х(0)=0; зто соответствует тому, что процесс начался лишь в момент г = О. Значение процесса х(г) можно интерпретировать как число некоторых событий, происшедших до момента й Такиии событиями могут быть вызовы абонентов, поступающие на телефонную станцию, отказы злеиентов сложного устройства, появление в приемнои покое больницы больных, требующих стационарного лечения, и т. д. Пусть 8гг 'в (г) = Ач х (г)г $1 где х„, (г) — независииые между собой ступенчатые процессы. Очевидно, что процесс х„(г) также является ступенчатым.
Мы скажем, что последовательность процессов х„(г) сходится при и- к процессу х(г), если функции распределения векторов (Хг(гг)г Хг(гг), °, Хг(гг)) при любом выборе й и г„гг, ..., гг сходятся в каждой точке непрерывности к значению функции распределения вектора (Х(гг)г Х(гг), „., Х(гг)), В 3 2.2 иы ввели понятие пуассоновского процесса х(г) с ведугцей функцией Л(г) как процесса, который имеет независимые приращения, и при всех г< 8 для любых неотрицательных целых 'к 134 гл, г, из« инин входнщкго поток«тгквов«нин Функция Л(г), которую А.
Я, Хинчин назвал ведущей, неотрицательна, непрерывна слева, конечна и Л(8) = О при с ~ 0; Введем следующие обозначения: р„„(й, г,г)=Р(х„„(г) — х„„(г) й), г(г, й 0,1, 2..., «и Л„ (8, г) = ~ р (1; г, г), (2) .=« В„(с, г) = ~ (1 — р„„(О; 1; г) — р (1; г, г)). Р) Про процессы х„„(г) (г = 1, 2, ..., й„) мы скажем, что они бесконечно малы, если при любом фиксированном 1 Иш шах (1 — р„„(О; г, О)) = О.
(4) и »' гч"е«ч Инымп словами, процессы х,(г) бесконечно малы, если для любого е = О и произвольного фиксированного г можно указать такое и, что для всех г сразу (г = 1, 2, ..., к„) Р(х (г))0)(е. 3. Формулировка основного результата и доказательство необходимости. Сформулируем теорему, полученную Б. И. Григелионисом, и дадим доказательство необходимости ее условий, основываясь на предельной теореме для Сумм независимых случайных величин, доказанной почти одновременно и независимо друг от друга Б. В.
Гнеденко (4) и Марцинкевичем Щ. «к Для сходимости сумм х„(«) = ~~~ х„„(г) независимых и бескок=п печно малых случайных процессов х .(г) к процессу Пуассона с ведущей функцией Л(г) необходимо и достаточно, чтобы при любых фиксированных г и г (г(г) были выполнены соотношения Иш Л„(г» г) = Л(г) — Л(г) (б) )пв В„(г, 0) = О, (б) »».»»» Доказательство необходимости условий основано на следующем предложении теории суммирования независимых случайных величин Б. В.
Гнеденко (Щ, с. 141). Если случайные величины хкг» хпе, . ° » хл«„независимы и бесконечно малы, т. е. при любомз)Оип- со впр Р () х «) ) е) -»- О, «л«л«ч то, чтобы функции распределения сумм г„ = х„, + х„, + ... + х„«„ а з,з. пгздвльнык ткогкмы для сзммлвного потока 166 при и — сходились к распределению Пуассона ~„А Р(Х)хх ~ — „, Е Ь, а! ехе«х необходимо и достаточно выполнение следующих условий прп каягдом з (0(з(1) и п- к ее 1. ~ ~ ЫР ь(л)-е-О. а=1 л Ах 2. ~~~ ~) ЫР„е (х) -~ Х. г 1х ц(е ьх 3.
~ ) хаев(х)-~-О„ а=1,х ~е Ах е а|1 4, Д ~ ~ хеИР ь(х) — ~ ) лНР„ь(х)) ~-~0. ь=ь !х~<е Ы!(е Здесь введены обозначения: Р,е(л) Р(х е < х),В. — область, которая получается из бесконечной прямой посредством выбрасывания иэ нее отрезков 1х! с з и 1х — 1! ( з. Заметим, что в теореме Григелиониса мы долнгны положить Х=Л(~) — А(г), ~ ИР„е(л) = р «(1; е, з), 1х-П~е ИР е (л) = 1 — р ь (О; с г) — реь (1; Г з) л Таким образом, первое и второе условия только что сформулированной теоремы Гнеденко — Марцинкевича в точности совпадают с условиями (5) и (6) теоремы Григелиониса. Третье и четвертое условия теоремы Гнеденко — Марцинкевича для ступенчатых процессов выполнены автоматически, поскольку в отрезке Ы ~ е их функции имеют единственную точку роста х О. Необходимость теоремы Григелиониса вытекает, таким образом, иэ того, что если сходятся процессы, то должны сходиться их одномерные распределения.
Сходимость же одномерных распределений была исследована раньше. 4. Доказательство достаточности. Нам нужно обнаружить теперь, что условия (4) — (6) обеспечивают как асимптотическую независимость приращений процесса хе(~), так и сходимость одномерных распределений к соответствующим пуассонозскпм. Нпрочем, сходимость вытекает иэ теоремы Гнеденко — Марцинкевича и из установленной нами тождественности условий этой теоРемы с условиями (4) — (6), Мы тем не менее проведем еще раа 1йб гл, з, изтчкннв входящкго потока твквовании необходимые рассуждения, поскольку они просты и не потребуют болыпого труда, При доказательстве станем использовать основ. ные теоремы теории характеристических функций.
Введем в рассмотрение такие векторы: 1 = (1„ 1м ..., 1„), где 1.~0 — целые числа, о-(ээ...„о), -до,...,о,а,о, ...,а~, т-1 ВЗ У (ен го ' ! ~~)» О ~ 1, С 1, <... < 1 — произвольные действительные числа, а=(а„о~, ..., а ), х (У) — (х г(11) хл (го)~ ° ° ° х (~ ) х ~(Г -1))) "а х„(Т) = ~э ~х„„(Т). Введем дополнительно обозначения (а,р) ~ аД, а=я Рп~ (1у Т) = Р (хэ~ (Т) = 1)~ / (ае Т) = М ехр 1(а, х„„(Т)), („(а Т) = М ехр 1(а, х1(Т)).
Для сходимости распределений векторов х.(Т) к соответству- ющим распределениям пуассоновского процесса достаточно сходи- мости их характеристических функций. Перейдем к доказательст- ву этого факта. В силу независимости процессов х„„(т) имеем ь~ ~„(а, Т) = П ~~ (а„Т). Но (и, Т) ~~~~ р„,(7, Т)еке, й 1+ ~~,', р (1, Т)(ецй 0 — 1), у ьео где символ ~ означает суммирование по всем возможным цело- 1 численным векторам Т с неотрицательными компонентами.
При малых х а~+о(') = 1+ х + о(х)е в хо. пввдвльныв твогнмы для свммлвного потока 187 поэтому а„,(и, Т) =ехр( ~р„„(1, Т)(ец в 7Фа = етр ( ~~в~ р„„(1„Т) (е" — 1) — 1) + О( ~ р., (1, т)а)) = 1ч-а +О( ~ р„„(7,Т))+ 1~а,рч ч=а,о,...,еа +О(~ р„„(1, Т))о). Очевидно, что 2', р „(1, Т) =1 — Р(» „(~„) — х„,(~,) = О)~ ю~о » (1 — Р(х„~(й ) О) 1 — ра (Ое ю~, О)е Р"~(1~ Т) = Р(х~~(Г~) х~(то)«)2)(~Р(*а,(Ся)=~2)е уча,еч ч 1,...,еа т »а Рае (ее Т) «( .2а Рич (аче Т) + Р(х~ (Сче) ««2). (7) 1;а ч —— 1 Заметим, что Ра (1; ~ч, ~ 1) = Р, (а„Т) = Р (ха„(~ч) — х„„(~~ 1) = 11 (хае(гч 1) — х (сч)) + (хна (Е ) — хое(йч))~0)(Р(хае(й )«2).
(8) Соотношения (7) — (8) позволяют переписать иначе найденное нами ранее представчение функции 7„,(а, Т): (а,(ае Т) = ЕХр ~ ~~ р„, (1; Фче ~ч 1)(Е1 ч — 1)+ 1ч=1 т + 0(хае(~щ) «2) + О (1 — ра„(0; таее 0)) ~ рае(1; ~че 1ч 1) ч=1 Отсюда эаключаем, что Д~(гао Т) ехР ~ч~ ~Л„(~че 1ч 1) (есхч — 1) + 0(В„(4еа 0)) + + 0( шах (1 — р (О; 1 10))~~. (1ХеХО„ Теперь условия теоремы приводят нас к следующему предельному соотношению: при пу„(са, Т) -з- Д елр ((Л (цч) — Л (ач-1)) (е' — 1)) ч=1 Теорема докаэана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
