[учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003) (1186146), страница 35
Текст из файла (страница 35)
≥ V m . Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîé ïðîèçâîäèòåëü k, ÷òî(v ∗ , a ≤ k,va =(19.9)V a , a > k.Àëãîðèòì ïîèñêà ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó âèäà (19.9)Ôèêñèðóåì íåêîòîðîå k . Òîãäà, ïåðåïèñàâ (19.6) äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ,ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ v ∗ (k):K/m Xm X2V a + kv ∗ − c − v ∗ K/V a + kv ∗ = 0,a=k+1ãäå âûðàæåíèå(19.6 00 )a=k+1mPV a ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì íóëþ.a=m+1Íà÷èíàåì ïîèñê ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó ñ k = m. Íàõîäèì v ∗ (m) èïðîâåðÿåì óñëîâèå v ∗ (m) ≤ V m . Åñëè îíî âûïîëíÿåòñÿ, òî íàéäåííàÿñèòóàöèÿ v ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó.
Èíà÷å áåðåì k = m − 1 è ò.ä. ðåçóëüòàòå çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ íàéäåì ðàâíîâåñèå ïî Íýøó äëÿýòîãî ñëó÷àÿ.Ñðàâíåíèå ðàâíîâåñèé ïî Íýøó è ïî Âàëüðàñó äëÿ ìîäåëèÊóðíîÏóñòü D(p) = K/p, V a ≡ V, ca ≡ c.  ýòîì ñëó÷àå ðàâíîâåñèå ïîÍýøó v è öåíà p∗ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàì(v ∗ = K(m − 1)/(cm2 ),åñëè v ∗ ≤ V,av =∀ a ∈ A,V,åñëè v ∗ > V,(K/(mv ∗ ) = cm/(m − 1), åñëè v ∗ ≤ V,p∗ =K/(mV ),åñëè v ∗ > V.×òîáû íàéòè ðàâíîâåñèå ïî Âàëüðàñó, íàäî íàéòè ïåðåñå÷åíèå ôóíêöèé ñïðîñà è ïðåäëîæåíèÿ, ïðè÷åì202 19. Ìîäåëè îëèãîïîëèèp < c,0,S(p) = [0, mV ], p = c,mV,p > c.Åñëè K/c ≤ mV , òî p̃ = c (ñì. ðèñ. 19.1), èíà÷å p̃ = K/(mV ) (ñì.ðèñ. 19.2).á) V 6a) V 6D(p)D(p)S(p)mVS(p)mVp̃ = c p∗ =cmm−1-pccmm−1Ðèñ.
19.1p̃ = p∗ =KmV-pÐèñ. 19.2 èòîãå ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.Óòâåðæäåíèå 19.2. Äëÿ äàííîé ìîäåëè âîçìîæíû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ðàâíîâåñèé ïî Íýøó è ïî Âàëüðàñó.1) Åñëè V ≥ K/(cm), òîp∗ = cm/(m − 1), v ∗ = K(m − 1)/(cm2 ), p̃ = c, ṽ a = K/(cm), ,ò.å. ðàâíîâåñíàÿ öåíà äëÿ îëèãîïîëèè p∗ ïðåâûøàåò öåíó êîíêóðåíòíîãîðàâíîâåñèÿ p̃ â m/(m − 1) ðàç (ðèñ. 19.1).2) Åñëè K/(cm) > V > K(m − 1)/(cm2 ), òîp∗ = cm/(m − 1), v ∗ = K(m − 1)/(cm2 ), p̃ = K/mV, ṽ a = V , ò.å.
öåíûîòëè÷àþòñÿ â ìåíüøåé ñòåïåíè.3) Ïðè V ≤ K(m − 1)/(cm2 ) öåíû è îáúåìû ñîâïàäàþò: p∗ = p̃ =K/(mV ), v ∗ = ṽ a = V. (ñì. ðèñ. 19.2).Òàêèì îáðàçîì, åñëè îãðàíè÷åíèå îáúåìà âûïóñêà íåñóùåñòâåííî(V ≥ K/(cm)), òî äëÿ ìàëûõ m ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ öåí:m = 2 ⇒ p̃ = p∗ /2; m = 3 ⇒ p̃ = 2p∗ /3; m = 4 ⇒ p̃ = 3p∗ /4.P aÒàê êàê p = K/v , , òî ñîîòíîøåíèå îáúåìîâ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüa∈Aíî ñîîòíîøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ öåí, ò.å. v ∗ /ṽ = 1 − 1/m, â ÷àñòíîñòè,m = 2 ⇒ ṽ = 2v ∗ ; m = 3 ⇒ ṽ = 3v ∗ /2; m = 4 ⇒ ṽ = 4v ∗ /3.203ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓÌîäåëü Êóðíî ïîçâîëÿåò îáîñíîâàòü ìåðû ïî àíòèìîíîïîëüíîìó ðåãóëèðîâàíèþ. Èç àíàëèçà ýòîé ìîäåëè âûòåêàåò, ÷òî åñëè íà ðûíêå äåéñòâóåò õîòÿ áû ÷åòûðå êîìïàíèè, òî îòêëîíåíèå ïî îáúåìó îò ñîñòîÿíèÿêîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ ïî Âàëüðàñó ñîñòàâëÿåò íå áîëåå 25%, à îòêëîíåíèå ïî öåíå íå áîëåå 33%.
Ïðè ýòîì îáúåì âûïóñêà íà êàæäîìèç ÷åòûðåõ ïðåäïðèÿòèé, ïðèñóòñòâóþùèõ íà ðûíêå, äîëæåí ñîñòàâëÿòüv ∗ = 3K/(16c) (ò.å. 3/16 îò ðàâíîâåñíîãî ïî Âàëüðàñó îáùåãî îáúåìàïðîèçâîäñòâà). Ñîãëàñíî àíòèìîíîïîëüíîìó çàêîíîäàòåëüñòâó ÑØÀ, êïðåäïðèÿòèþ ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ àíòèìîíîïîëüíûå ìåðû, åñëè îíî êîíòðîëèðóåò áîëåå 30% ðûíêà. Èñõîäÿ èç ìîäåëè Êóðíî, òàêèì îáðàçîìîáåñïå÷èâàåòñÿ îïðåäåëåííàÿ ñòåïåíü áëèçîñòè ê êîíêóðåíòíîìó ðàâíîâåñèþ.Óïðàæíåíèå 19.1. Ïîêàæèòå, ÷òî ðàâíîâåñèå ïî Íýøó äëÿ ìîäåëèÊóðíî íå ñóùåñòâóåò, åñëè D(p) = K/pα , 0 < α ≤ 1/m, ca ≡ c.Óïðàæíåíèå 19.2. Íàéäèòå ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó äëÿ ìîäåëè Êóðíî èñðàâíèòå èõ ñ êîíêóðåíòíûì ðàâíîâåñèåì â ñëåäóþùèõ óñëîâèÿõ:1.
D(p) = K/pα , α > 1/m, ca ≡ c, V a ≡ V.2. D(p) = K/p, ca ≡ c, V 1 ≥ V 2 ≥ ... ≥ V m .3. D(p) = K/p, c1 ≤ c2 ≤ ... ≤ cm , V a ≡ V ≥ K/c1 .Äîñòîèíñòâà ìîäåëè Êóðíî:à) ïðîñòà äëÿ èññëåäîâàíèÿ;á) ñîãëàñóåòñÿ ñ ìîäåëüþ êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ;â) óñëîâèÿ ñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè è îöåíêè îòêëîíåíèÿ îò íèõëåãêî ôîðìàëèçóþòñÿ.Íåäîñòàòêè ìîäåëè Êóðíî:à) íåÿñíî, êàêîå îòíîøåíèå ìîäåëü èìååò ê ðåàëüíûì ðûíêàì, ïîñêîëüêó íà ïðàêòèêå íåò òàêèõ ìåõàíèçìîâ öåíîîáðàçîâàíèÿ: ïðîèçâîäèòåëü íàçíà÷àåò è öåíó, è îáúåì âûïóñêà. Èññëåäîâàíèå ñîîòâåòñòâóþùåéìîäåëè ïîêàçûâàåò, ÷òî íàéäåííîå äëÿ ìîäåëè Êóðíî ðàâíîâåñèå ïî Íýøó íåóñòîé÷èâî ê èçìåíåíèþ öåí (ñì.
ñëåäóþùèé ïàðàãðàô);á) âèäèìî, ìîäåëü íå ñîîòâåòñòâóåò è ýêîíîìè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Íàïðèìåð, ïî Ðîññèè äîëÿ òîðãîâîé íàöåíêè â öåíå íà ìåëêîîïòîâûõ ðûíêàõ ïðåâûøàåò 50%, õîòÿ êîëè÷åñòâî ïðîäàâöîâ êàæäîãî òîâàðà âåëèêî.Ìîäåëü öåíîâîé êîíêóðåíöèè Áåðòðàíà-ÝäæâîðòàÐàññìîòðèì äðóãîé âàðèàíò ìîäåëè îëèãîïîëèè. Ðûíîê ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðåæíèì: A − ìíîæåñòâî ïðîèçâîäèòåëåé òîâàðà, ca è V a − ïîñòî204 19. Ìîäåëè îëèãîïîëèèÿííûå óäåëüíàÿ ñåáåñòîèìîñòü è ìàêñèìàëüíûé îáúåì âûïóñêà ïðîèçâîäèòåëÿ a, D(p) − ôóíêöèÿ ñïðîñà. Ïîòðåáèòåëè − ìåëêèå, îíè îáðàçóþòêîíòèíóóì, êàæäûé èç íèõ ìîæåò êóïèòü îäíó åäèíèöó òîâàðà. Ïîòðåáèòåëü õàðàêòåðèçóåòñÿ ðåçåðâíîé öåíîé r ≥ 0.
Îí ïîêóïàåò, åñëè åìóäîñòàåòñÿ òîâàð ïî öåíå p ≤ r è íå ïîêóïàåò â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Îòâåòû íà ïîñòàâëåííûå âîïðîñû îòíîñèòåëüíî óñëîâèé ðåàëèçàöèèêîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ è îöåíêè îòêëîíåíèÿ îò íåãî çàâèñÿò îò ìåõàíèçìà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ïðîèçâîäèòåëÿìè è ïîòðåáèòåëÿìè. Âêà÷åñòâå ïðèìåðà òàêîãî ìåõàíèçìà ðàññìîòðèì îäíîñòîðîííèé àóêöèîí ïåðâîé öåíû. Ïðîèçâîäèòåëè-ïðîäàâöû îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìîíàçíà÷àþò öåíû sa ≥ ca íà ñâîé òîâàð.
Ïîòðåáèòåëè-ïîêóïàòåëè âûñòðàèâàþòñÿ â î÷åðåäü è ïîêóïàþò ïðåäëîæåííûé òîâàð â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ öåíû ñ ó÷åòîì èõ ðåçåðâíûõ öåí. Ïðè ýòîì âàæåí ïîðÿäîê ïðèõîäàïîêóïàòåëåé íà ðûíîê.Ïðèìåð 19.1. Íà ðûíêå âçàèìîäåéñòâóþò äâà ïðîäàâöà è äâå ãðóïïû ïîêóïàòåëåé ñî ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè: s1 = 5, V 1 = 100; r1 =6, D1 = 110; s2 = 7, V 2 = 50; r2 = 8, D2 = 40, ãäå sa − öåíà, íàçíà÷åííàÿ ïðîäàâöîì a, V a − ïðåäëîæåííûé ïî ýòîé öåíå îáúåì òîâàðà,ri − ðåçåðâíàÿ öåíà äëÿ ãðóïïû ïîêóïàòåëåé i, Di − îáúåì èõ ñïðîñà(êîòîðûé íåýëàñòè÷åí ïðè p < ri ).Åñëè íà ðûíîê ïåðâûìè ïðèõîäÿò "áåäíûå"ïîêóïàòåëè (ò.å. ñ íèçêîéðåçåðâíîé öåíîé), òî îíè ïîêóïàþò 100 åäèíèö ïî öåíå 5, à ïîòîì "áîãàòûå"êóïÿò 40 åäèíèö ïî öåíå 7.
Åñëè æå íà ðûíîê ïåðâûìè ïðèõîäÿò "áîãàòûå", òî îíè ïîêóïàþò 40 åäèíèö ïî öåíå 5, à ïîòîì "áåäíûå"ïîêóïàþò60 åäèíèö ïî öåíå 5. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðèáûëü âòîðîãî ïðîäàâöà ïðè ýòîìñóùåñòâåííî ìåíÿåòñÿ.Äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïîòðåáèòåëè ñ ðàçëè÷íûìè ðåçåðâíûìè öåíàìè r ðàñïðåäåëåíû â ñîîòâåòñòâèè ñ ïëîòíîñòüþ ρ(r) − íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèåé, èíòåãðèðóåìîé íà ïîëóïðÿìîé [0, ∞).
Ýòî çíà÷èò, ÷òîïðè çàäàííîé öåíå p ≤ r è ìàëîì dr ïîòðåáèòåëè ñ ðåçåðâíûìè öåíàìèèç îòðåçêà [r, r + dr] êóïÿò òîâàð â êîëè÷åñòâå ρ(r)dr. Ïóñòü èìååòñÿ òàêîå ÷èñëî M > 0, ÷òî ïëîòíîñòü ρ(r) ïîëîæèòåëüíà íà èíòåðâàëå (0, M ),à ïîòðåáèòåëè ñ ðåçåðâíûìè öåíàìè r ≥ M èìåþò äîïîëíèòåëüíóþ âîçìîæíîñòü ïðèîáðåñòè òîâàð íà äðóãîì ðûíêå ïî ôèêñèðîâàííîé öåíå M.205ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓÒîãäà ôóíêöèÿ ñïðîñà èìååò âèäR∞ρ(r)dr,p < M,p∞D(p) = [0, R ρ(r)dr], p = M, M0,p > M.Îòìåòèì, ÷òî D(p) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê îáùåå ÷èñëî ïîòðåáèòåëåé, æåëàþùèõ ïðèîáðåñòè òîâàð ïî öåíå p. ßñíî, ÷òî ôóíêöèÿ D(p)− óáûâàþùàÿ Pè äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà èíòåðâàëå (0, M ).
Äàëåå áóäåìñ÷èòàòü, ÷òîV a > D+ (M ).a:ca <M ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ðàâíîâåñíàÿ öåíà p̃ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ D(p̃) ∈ [S − (p̃), S + (p̃)], ïðè÷åì D(p̃) > 0.Íàáîð öåí s = (sa , a ∈ A), óñòàíîâëåííûõ ïðîèçâîäèòåëÿìè, îïðåäåëÿåò âåêòîð ôàêòè÷åñêîãî ïðåäëîæåíèÿ òîâàðà:PV a − êîëè÷åñòâî òîâàðà,Ṽ (s) = (Ṽp (s), p ∈ P (s)), ãäå Ṽp (s) =a:sa =pïðåäëîæåííîå ïî öåíå p, à P (s) − ìíîæåñòâî íàçíà÷åííûõ öåí. îáùåì ñëó÷àå ïðîöåññ ïðîäàæè õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé îñòàòî÷íîãî ñïðîñà.
Ôóíêöèÿ îñòàòî÷íîãî ñïðîñà D(p, Ṽ ) ïîêàçûâàåò, êàêîâîñòàòî÷íûé ñïðîñ ïî öåíå p ïîñëå ïðîäàæè âñåõ îáúåìîâ Ṽp0 ïî öåíàìp0 < p, p0 ∈ P (s). Ðàññìîòðèì òðè êîíêðåòíûõ âèäà ôóíêöèé îñòàòî÷íîãî ñïðîñà, ñâÿçàííûõ ñ ïðàâèëàìè ðàöèîíèðîâàíèÿ, ò.å. ñ ïîðÿäêîìïîòðåáèòåëåé â î÷åðåäè:1. Ïðèîðèòåò ïîòðåáèòåëåé ñ áîëüøåé ðåçåðâíîé öåíîé:#"X1D (p, Ṽ ) = max 0, D(p) −Ṽp0 .(19.10)p0 <p2.
Ïîòðåáèòåëè ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû â î÷åðåäè è îñòàòî÷íûéñïðîñ ôîðìèðóåòñÿ ïî ïðîïîðöèîíàëüíîìó ïðàâèëó:#"XṼp0 /D(p0 ) .(19.11)D2 (p, Ṽ ) = D(p) max 0, 1 −p0 <p3. Ïðèîðèòåò ïîòðåáèòåëåé ñ íèçêîé ðåçåðâíîé öåíîé:##""XṼp0 .D3 (p, Ṽ ) = max 0, min D(p) −p≤p206p≤p0 <p(19.12) 19. Ìîäåëè îëèãîïîëèèÓïðàæíåíèå 19.3. Äîêàæèòå ôîðìóëû (19.10-12).Ïðè ëþáîì ïîðÿäêå ïîòðåáèòåëåé â î÷åðåäè ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå D1 (p, Ṽ ) ≤ D(p, Ṽ ) ≤ D3 (p, Ṽ ), îçíà÷àþùåå, ÷òî îñòàòî÷íûé ñïðîñóáûâàåò áûñòðåå âñåãî â ñëó÷àå 1 è ìåäëåííåå âñåãî − â ñëó÷àå 3.Äàëåå ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ïîðÿäîê ïîòðåáèòåëåé â î÷åðåäè,ñ÷èòàÿ, ÷òî îñòàòî÷íûé ñïðîñ õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé D(p, Ṽ ), óäîâëåòâîðÿþùåé ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàì:XXṼp0 ≤ D(p, Ṽ ) ≤ max[0, D(p, Ṽ ) −D(p) −Ṽp0 ] ∀ p < p. (19.13)p0 <pp≤p0 <pÏîìèìî ýòîãî, ïîòðåáóåì, ÷òîáû ôóíêöèÿ D(p, Ṽ (s)) áûëà íåïðåðûâíà ïî ëþáîé ïåðåìåííîé sa â èíòåðâàëå 0 < sa < p ïðè ôèêñèðîâàííûõîñòàëüíûõ ïåðåìåííûõ.Ïî ôóíêöèè îñòàòî÷íîãî ñïðîñà D(p, Ṽ ) äëÿ ëþáûõ ñòðàòåãèé sa ïðîèçâîäèòåëåé îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ ïðîäàæíàÿ öåíàp(s) = max{p ∈ P (s) | D(p, Ṽ (s)) > 0}, ïðè êîòîðîé îñòàòî÷íûé ñïðîñåùå ïîëîæèòåëåí.Îïðåäåëèì ïðàâèëî ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû D(p, Ṽ (s)) äëÿ ïðîèçâîäèòåëåé a, âûáðàâøèõ sa = p(s).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
