[учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003) (1186146), страница 32
Текст из файла (страница 32)
16.7Çàìåòèì, ÷òî âîçìîæíà è äðóãàÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà ðàâíîâåñíàÿ öåíàp̃ åäèíñòâåííà, íî íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ ðàâíîâåñíûéîáúåì Ṽ (ñì. ðèñ. 16.7).Èç ïðèâåäåííûõ âûøå óòâåðæäåíèé ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ìíîæåñòâî ðàâíîâåñíûõ öåí − ýòî ëèáî òî÷êà (åäèíñòâåííàÿ öåíà p̃), ëèáîñóùåñòâóåò îòðåçîê ðàâíîâåñíûõ öåí [p̃1 , p̃2 ].Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àè, ïðîèëëþñòðèðîâàííûå íà ðèñóíêàõ 16.6-7, íåòèïè÷íû è íîñÿò âûðîæäåííûé õàðàêòåð, òàê êàê ïðè ìàëîì âîçìóùåíèèïàðàìåòðîâ ìîäåëè ãðàôèêè ñìåùàþòñÿ è ïåðåñå÷åíèå ïî öåëîìó îòðåçêó ïðåâðàùàåòñÿ â ïåðåñå÷åíèå â òî÷êå. Ïðè ýòîì âîçìîæíà îäíà èçèçîáðàæåííûõ íà ñëåäóþùåì ðèñ.
16.8 ñèòóàöèé:V 6V6ṼṼ-p̃-pp̃pÐèñ. 16.8 òèïè÷íûõ ñëó÷àÿõ (èëè, èíûìè ñëîâàìè, â óñëîâèÿõ îáùåãî ïîëî185ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓæåíèÿ) ðàâíîâåñíàÿ öåíà è ðàâíîâåñíûé îáúåì îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì, ÷òî è ïðåäïîëàãàåòñÿ â äàëüíåéøåì. 17.Ìîíîïîëèçèðîâàííûé ðûíîêÐàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà íà ðûíêå ïðèñóòñòâóåò ëèøü îäíà ôèðìàïðîèçâîäèòåëü. Êàê è ðàíüøå, ïðîèçâîäèòåëü õàðàêòåðèçóåòñÿ ñåáåñòîèìîñòüþ òîâàðà, ò.å.
ôóíêöèåé èçäåðæåê C(V ), êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò, ñêîëüêî äåíåã íåîáõîäèìî çàòðàòèòü, ÷òîáû ïðîèçâåñòè òîâàð â îáúåìå V .Ïîòðåáèòåëè íà ýòîì ðûíêå ïîëàãàþòñÿ ìåëêèìè. Èõ ïîâåäåíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ ñóììàðíîé ôóíêöèåé ñïðîñà D(p), ïîêàçûâàþùåé, êàêîéîáúåì òîâàðà áóäåò êóïëåí ïðè çàäàííîé öåíå p. Ôèðìà-ìîíîïîëèñò óñòàíàâëèâàåò öåíó íà òîâàð p è îáúåì åãî ïðîèçâîäñòâà V . Òàêèì îáðàçîì,ñòðàòåãèåé ìîíîïîëèè ÿâëÿåòñÿ ïàðà (p, V ).Ïîèñê îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ìîíîïîëèèÎáñóäèì çàäà÷ó ïîèñêà îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ìîíîïîëèè. Îíà ñîñòîèò â âûáîðå öåíû íà òîâàð p∗ è îáúåìà ïðîèçâîäñòâà V ∗ , ìàêñèìèçèðóþùèõ ïðèáûëü ìîíîïîëèè.
Çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïðè ñëåäóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ: öåíà íåîòðèöàòåëüíà, à îáúåì âûïóñêà íåîòðèöàòåëåí è íåïðåâîñõîäèò ñïðîñà (ïðîèçâîäèòåëþ íåò ñìûñëà ïðîèçâîäèòü áîëüøå òîâàðà, ÷åì ïîòðåáèòåëè ãîòîâû êóïèòü). Ôîðìàëüíî ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿê íàõîæäåíèþ îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè(p∗ , V ∗ ) ∈ Argmax(p,V ): p≥0, 0≤V ≤D(p)(pV − C(V )).(17.1)Áóäåì çàïèñûâàòü ôóíêöèþ ñïðîñà â âèäå D(p) = [D− (p), D+ (p)], ãäåD− (p), D+ (p) − íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû äëÿ D(p). Àíàëîãè÷íàÿ çàïèñü áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ è äëÿ ôóíêöèè ïðåäëîæåíèÿ:S(p) = [S − (p), S + (p)].Ðåøåíèå îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è (17.1) ïðîâåäåì â äâà ýòàïà.Ýòàï 1. Îïòèìèçàöèÿ ïî îáúåìó ïðè ôèêñèðîâàííîé öåíåÔèêñèðóåì ëþáóþ öåíó p è îïðåäåëèì îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå V ∗ (p).Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ìîíîïîëèçèðîâàííîãî ðûíêà ìîæíî òàê æå, êàêè äëÿ êîíêóðåíòíîãî ðûíêà, ââåñòè ôîðìàëüíî ôóíêöèþ ïðåäëîæåíèÿS(p) = Arg max(pV − C(V )) è íàéòè ðàâíîâåñíóþ öåíó p̃, òàêóþ, ÷òîV ≥0S(p̃) ∩ D(p̃) 6= ∅.186 17. Ìîíîïîëèçèðîâàííûé ðûíîêÓòâåðæäåíèå 17.1.
Åñëè p̃ −ðàâíîâåñíàÿ öåíà, òîp < p̃,S(p),∗+V (p) ∈ S(p) ∩ [0, D (p)], p = p̃, +D (p),p > p̃.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p < p̃. Çàìåòèì, ÷òî åñëè îòáðîñèòü â çàäà÷å(17.1) îãðàíè÷åíèå íà îáúåì, òî åå ðåøåíèå ïðè ôèêñèðîâàííîì p ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì ôóíêöèè ïðåäëîæåíèÿ S(p) â òî÷êå p.
Ñëåäîâàòåëüíî,òàê êàê S(p) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè íà áîëåå øèðîêîììíîæåñòâå, òî çíà÷åíèå îïòèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà â S(p) íå ìåíüøå,÷åì â òî÷êå V ∗ (p). Îäíàêî ïðè p < p̃ ôóíêöèÿ ïðåäëîæåíèÿ S(p) óäîâëåòâîðÿåò îãðàíè÷åíèþ íà îáúåì, ò.å. S + (p) < D− (p). Ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê ôóíêöèÿ S(p) ìîíîòîííî íå óáûâàåò, à D(p) ìîíîòîííî íåâîçðàñòàåò è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî p < p̃ ðàçíîñòü D(p) − S(p) > 0(ñì. ðèñ. 17.1).
Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå V ∗ (p) ∈ S(p).pV − C(V )V 66D(p)S(p)bb--p̃pD(p)S(p)Ðèñ. 17.1VÐèñ. 17.2Ïóñòü p = p̃.  ýòîì ñëó÷àå íàäî âçÿòü îïòèìàëüíûé îáúåì ïðîèçâîäñòâà, íî òàêîé, êîòîðûé ïîòðåáèòåëü â ñîñòîÿíèè êóïèòü. Ñëåäîâàòåëüíî,â ýòîì ñëó÷àå V ∗ (p̃) ∈ S(p̃) ∩ [0, D+ (p̃)].Íàêîíåö, ïóñòü p > p̃. Îïòèìèçèðóåìàÿ â çàäà÷å (17.1) ôóíêöèÿïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü ëèíåéíîé è âûïóêëîé ôóíêöèé è, ñëåäîâàòåëüíî, ñàìà ÿâëÿåòñÿ âîãíóòîé ôóíêöèåé. Ïðè÷åì, êàê áûëî çàìå÷åíî â ïðåäûäóùåì ïóíêòå äîêàçàòåëüñòâà, ìàêñèìóì åå äîñòèãàåòñÿ âS(p).
Çíà÷èò, ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [0, S − (p)].Ïðè p > p̃ â ñèëó îãðàíè÷åíèÿ íà îáúåì ïðåäëîæåíèÿ ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìûì îáúåìîì ïðîèçâîäñòâà áóäåò D+ (p), òàê êàê â ýòîì ñëó÷àåD+ (p) < S − (p) (ñì. ðèñ. 17.1 è ðèñ. 17.2). Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àåV ∗ (p) = D+ (p).187ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓÝòàï 2.
Îïòèìèçàöèÿ ïî öåíåÈòàê, ìû îïðåäåëèëè îïòèìàëüíûé îáúåì äëÿ êàæäîé ôèêñèðîâàííîé öåíû. Òåïåðü íàéäåì îïòèìàëüíóþ ìîíîïîëüíóþ öåíó.Óòâåðæäåíèå 17.2. 1) Ìîíîïîëèÿ âñåãäà íàçíà÷àåò öåíó p∗ íå íèæåðàâíîâåñíîé, ò.å. p∗ ≥ p̃.2) Åñëè ôóíêöèÿ ñïðîñà D(p) − îäíîçíà÷íàÿ è ãëàäêàÿ â îêðåñòíîñòèòî÷êè p̃, òî ìîíîïîëèÿ íàçíà÷àåò öåíó p∗ âûøå ðàâíîâåñíîé, ò.å. p∗ > p̃.Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî öåíà ìîíîïîëèè íå íèæå, ÷åì p̃. Áåðåì ëþáóþ öåíó p < p̃.
 ñèëó ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ17.1 îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå îáúåìà V ∗ (p) ∈ S(p). Ðàññìîòðèì àëüòåðíàòèâíóþ ñòðàòåãèþ (p̃, V ∗ (p)). Íàì èçâåñòíî, ÷òî D(p̃) ∩ S(p̃) 6= ∅. Òîãäàèç ìîíîòîííîñòè ôóíêöèé ñïðîñà è ïðåäëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî D(p̃) ≥S(p) ∀ p < p̃. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòðàòåãèÿ (p̃, V ∗ (p)) äîïóñòèìà, ò.å. òîò æåîáúåì òîâàðà V ∗ (p) ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí ïî áîëüøåé öåíå p̃. Çàìåòèì,÷òî èçäåðæêè ïðè ýòîì íå èçìåíÿòñÿ, òàê êàê îáúåì âûïóñêà îñòàëñÿ òåìæå. Çíà÷èò îáùàÿ âûðó÷êà ïðîèçâîäèòåëÿ îò ïðîäàæè ïî öåíå p̃ áóäåòâûøå, ÷åì îò ïðîäàæè ïî öåíå p < p̃. Èòàê, ìîíîïîëèñò âñåãäà íàçíà÷àåòöåíó p∗ íå íèæå p̃.2) Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ îäíîçíà÷íîé è ãëàäêîé â îêðåñòíîñòè òî÷êè p̃ôóíêöèè ñïðîñà D(p) ìîíîïîëèñò íàçíà÷èò öåíó âûøå p̃.
Èç óòâåðæäåíèÿ 17.1 ñëåäóåò, ÷òî V ∗ (p) = D(p) ïðè p > p̃, à ïðè p = p̃ ìàêñèìàëüíîâîçìîæíûé îáúåì V ∗ (p) ∈ S(p̃) ∩ [0, D(p̃)] ðàâåí D(p̃). Ñëåäîâàòåëüíî,çàäà÷à îïòèìèçàöèè ïðèáûëè ìîíîïîëèñòà ïðè p ≥ p̃ ïðèíèìàåò âèämax(pD(p) − C(D(p))).p≥p̃Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè ïðèáûëè W (p) = pD(p) − C(D(p))Ẇ (p) = D(p) + Ḋ(p)(p − Ċ(D(p))).(17.2)Ïðè p = p̃ åå çíà÷åíèå ðàâíî Ẇ (p̃) = D(p̃) + Ḋ(p̃)(p̃ − Ċ(D(p̃))). Ïîñêîëüêó D(p̃) ∈ S(p̃), à S(p̃) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè, òîp̃ = Ċ(D(p̃)) è âòîðîå ñëàãàåìîå âûðàæåíèÿ (17.2) ðàâíî íóëþ. Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî Ẇ (p̃) = D(p̃) > 0.
Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ôóíêöèÿ ïðèáûëèW (p) âîçðàñòàåò â òî÷êå p̃. Çíà÷èò, ìîíîïîëèñò íàçíà÷èò öåíó âûøå öåíûêîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ.Óïðàæíåíèå 17.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ èçäåðæåê ôèðìû-ìîíîïîëèñòà C(V )ðàâíà ôóíêöèè C a (V ) èç ïðèìåðà 16.1, à ôóíêöèÿ ñïðîñà D(p) = 3/p2 .Íàéäèòå îïòèìàëüíóþ ìîíîïîëüíóþ öåíó p∗ .188 17. Ìîíîïîëèçèðîâàííûé ðûíîêÇàìå÷àíèå. Íàñêîëüêî ìîíîïîëèñò çàâûñèò öåíó ïî ñðàâíåíèþ ñ öåíîé êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ, áóäåò çàâèñåòü îò êîíêðåòíîãî âèäà ôóíêöèè ñïðîñà, òî÷íåå, îò ñêîðîñòè åå óáûâàíèÿ ïîñëå ðàâíîâåñíîé öåíû.Åñëè ïðîèñõîäèò ðåçêîå óáûâàíèå, òî ìîíîïîëüíàÿ öåíà áóäåò ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò êîíêóðåíòíîé, åñëè æå óáûâàíèå ôóíêöèè ñïðîñà ïðîèñõîäèò ìåäëåííî, òî ðàçíèöà ìåæäó öåíîé, íàçíà÷åííîé ìîíîïîëèñòîì, èðàâíîâåñíîé áóäåò çíà÷èòåëüíîé.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ ñïðîñà D(p) íàçûâàåòñÿ ìåäëåííî óáûâàþùåéíà îòðåçêå [p1 , p2 ], åñëè p2 D(p2 ) ≥ pD(p) ∀ p ∈ [p1 , p2 ], ò.å.
ñïðîñ â äåíåæíîì âûðàæåíèè pD(p) äîñòèãàåò ìàêñèìóìà â òî÷êå p2 .Ïðèìåð 17.1. Ïóñòü D(p) = K/p. Òîãäà ñïðîñ â äåíåæíîì âûðàæåíèèðàâåí ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå K . Ñëåäîâàòåëüíî, òàêàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿìåäëåííî óáûâàþùåé. Ê ýòîìó êëàññó îòíîñÿòñÿ òàêæå ôóíêöèè âèäàD(p) = K/pα , 0 < α < 1.Îïðåäåëåíèå. Äëÿ ãëàäêîé ôóíêöèè ñïðîñà D(p) ýëàñòè÷íîñòüþ íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíàe(D(p)) =|dD(p)/D(p)||Ḋ(p)|p=.D(p)dp/pÎíà ïîêàçûâàåò, íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ èçìåíèòñÿ îáúåì ñïðîñà ïðè èçìåíåíèè öåíû íà îäèí ïðîöåíò.Îòìåòèì, ÷òî åñëè ýëàñòè÷íîñòü e(D(p)) ≡ 1, òî D(p) = K/p. Âûñîêîýëàñòè÷íûé ñïðîñ (íà ïðåäìåòû ðîñêîøè) õàðàêòåðèçóåòñÿ çíà÷åíèÿìèe(D(p)) > 1 , íèçêî ýëàñòè÷íûé ñïðîñ (íà ïðåäìåòû ïåðâîé íåîáõîäèìîñòè) − çíà÷åíèÿìè e(D(p)) < 1.
 ýêîíîìè÷åñêîé ëèòåðàòóðå, êîãäàãîâîðÿò îá ýëàñòè÷íîì ñïðîñå, îáû÷íî ïîäðàçóìåâàþò âûñîêîýëàñòè÷íûéñïðîñ.Óòâåðæäåíèå 17.3. Åñëè ýëàñòè÷íîñòü ôóíêöèè ñïðîñà e(D(p)) ≤ 1íà îòðåçêå [p1 , p2 ], òî D(p) ìåäëåííî óáûâàåò íà äàííîì îòðåçêå.Óïðàæíåíèå 17.2. Äîêàæèòå óòâåðæäåíèå 17.3. ×òî ìîæíî ñêàçàòüïðî ïîâåäåíèå ìîíîïîëèè â ñëó÷àå, êîãäà ñïðîñ ìåäëåííî óáûâàåò?Óòâåðæäåíèå 17.4. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ p > p̃ ôóíêöèÿñïðîñà D(p) ìåäëåííî óáûâàåò íà îòðåçêå [p̃, p]. Òîãäà äëÿ îïòèìàëüíîéìîíîïîëüíîé öåíû âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî p∗ ≥ p.Ïîÿñíèì ñìûñë óòâåðæäåíèÿ: ïîêà ýëàñòè÷íîñòü ìàëà, ìîíîïîëèè âûãîäíî óâåëè÷èâàòü öåíó.189ÃËÀÂÀ IV.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓÄîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî p∗ < p. Áóäåìïðîäàâàòü òîâàð ïî öåíå p, ñîõðàíÿÿ îáúåì âûðó÷êè V = D(p∗ )p∗ /p. Òîãäà V < D(p∗ ), èçäåðæêè ñíèçÿòñÿ, à ïðèáûëü ñîîòâåòñòâåííî âûðàñòåò.Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî ìîæíî ïðîäàòü îáúåì V ïî öåíå p. Äåéñòâèòåëüíî, èç óñëîâèÿ ìåäëåííîãî óáûâàíèÿ D(p) ≥ D(p∗ )p∗ /p, îòêóäà V ≤ D(p),ò.å. òàêîé îáúåì ïðîäàòü ìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî.Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ìîíîïîëüíûé ðûíîê ïëîõ äëÿ ïîòðåáèòåëÿ.  ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå îáñóæäàåòñÿ, êàêîé óùåðá ìîíîïîëèÿ íàíîñèò ýêîíîìèêå â öåëîì. 18.Ìîäåëü äâóõîòðàñëåâîé ýêîíîìèêèÒåîðåìà îá îïòèìàëüíîñòè êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿÖåíòðàëüíàÿ ðîëü ïîíÿòèÿ êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ â ñîâðåìåííîé ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
