[учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003) (1186146), страница 31
Текст из файла (страница 31)
16.42) Ñòðîèì ôóíêöèþ S a (p) êàê îáðàòíóþ ê Ċ a (V ):179ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓ0,[0, 2],2,S a (p) =[2, 3],3,√3p,0 ≤ p < 1/2,p = 1/2,1/2 < p < 1,p = 1,1 < p < 3,p ≥ 3.S a (p)6...................................... ..-pÐèñ. 16.5Óïðàæíåíèå 16.2. Íàéäèòå ôóíêöèþ ïðåäëîæåíèÿ S a (p) ïî çàäàííîéôóíêöèè èçäåðæåê C a (V ) = max[V, V 2 ].Ôóíêöèÿ ñïðîñàÌû îïèñàëè ïîâåäåíèå ïðîèçâîäèòåëåé.
Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê äðóãîéñòîðîíå ðûíêà è ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå âòîðîé ãðóïïû àãåíòîâ, äåéñòâóþùèõ íà ðûíêå, − ïîòðåáèòåëåé.Ïóñòü B − ìíîæåñòâî ïîòðåáèòåëåé òîâàðà; b ∈ B − êîíêðåòíûéïîòðåáèòåëü, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé ñïðîñà Db (p), óêàçûâàþùåé, êàêîé îáúåì òîâàðà ãîòîâ êóïèòü ïîòðåáèòåëü b ïî öåíå p. Îáùåéõàðàêòåðèñòèêîé ïîâåäåíèÿ âñåãî ìíîæåñòâà ïðèñóòñòâóþùèõ íà ðûíêå ïîòðåáèòåëåé ÿâëÿåòñÿ ñóììàðíàÿPôóíêöèÿ ñïðîñà, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: D(p) =Db (p).
Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèìb∈Bíåñêîëüêî ïðèìåðîâ ôóíêöèè ñïðîñà îòäåëüíîãî ïîòðåáèòåëÿ.Ïðèìåð 16.2. Ïóñòü K b − äåíåæíûé êàïèòàë ïîòðåáèòåëÿ b. Ïîòðåáèòåëü òðàòèò âåñü êàïèòàë íà ïîêóïêó òîâàðà, òîãäà Db (p) = K b /p.Ïðèìåð 16.3. Êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ïîòðåáèòåëü b õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàçìåðîì èìåþùåãîñÿ ó íåãî äåíåæíîãî êàïèòàëà K b . Îòëè÷èåñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîòðåáèòåëü ìîæåò ïîòðàòèòü ñâîé êàïèòàë íå òîëüêî íà ýòîì ðûíêå òîâàðà, íî ó íåãî åñòü âîçìîæíîñòü ïîêóïàòü òîò æåòîâàð â äðóãîì ìåñòå ïî ôèêñèðîâàííîé öåíå rb , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ðåçåðâíîé öåíîé äëÿ äàííîãî ïîòðåáèòåëÿ.
Ñìûñë ýòîé âåëè÷èíû ñîñòîèòâ òîì, ÷òî ïîòðåáèòåëþ íåâûãîäíî ïîêóïàòü òîâàð íà ðàññìàòðèâàåìîìðûíêå, åñëè öåíà ïðåâûøàåò rb , ò.å. ïðè p > rb ïîêóïêà íå ïðîèçâîäèòñÿ.180 16. Ìîäåëè íåðåãóëèðóåìûõ ðûíêîâÔóíêöèÿ ñïðîñà äëÿ òàêîé ìîäåëè èìååò âèäbp < rb ,K /p,Db (p) = [0, K b /p], p = rb ,0,p > rb .Äàäèì àëüòåðíàòèâíóþ èíòåðïðåòàöèþ ïîíÿòèÿ ðåçåðâíîé öåíû: ó äàííîãî òîâàðà ñóùåñòâóåò çàìåíèòåëü, öåíà íà êîòîðûé ôèêñèðîâàíà è ðàâíà rb . Ïîýòîìó â ñëó÷àå, êîãäà öåíà ïðîäóêòà ïðåâûøàåò rb , ïîòðåáèòåëüb ïîêóïàåò çàìåíèòåëü.Äî ñèõ ïîð ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî âåñü äåíåæíûé êàïèòàë ïîòðåáèòåëÿ ðàñõîäóåòñÿ íà ïðèîáðåòåíèå òîâàðà.
Îäíàêî íà ïðàêòèêå êîëè÷åñòâîäåíåã, êîòîðîå ðàñõîäóåòñÿ íà äàííûé òîâàð, ìîæåò ìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò öåíû. Îáúåì ïîòðåáëåíèÿ ïðåäìåòîâ ïåðâîé íåîáõîäèìîñòè(îñíîâíûõ ïðîäóêòîâ ïèòàíèÿ, íåîáõîäèìîé îäåæäû è ò.ï.) îáû÷íî ñëàáîçàâèñèò îò öåíû. Íàïðèìåð, äàæå ïðè çíà÷èòåëüíîì ðîñòå öåíû íà õëåá,ëþäè áóäóò ïîòðåáëÿòü òî æå ñàìîå êîëè÷åñòâî õëåáà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñòü òîâàðû òèïà ïðåäìåòîâ ðîñêîøè (äðàãîöåííîñòè, ïðåäìåòûèñêóññòâà è ò.ä.), ñïðîñ íà êîòîðûå ñèëüíî çàâèñèò îò êîëåáàíèé öåíû.Ýòî ïðîèñõîäèò îò÷àñòè ïîòîìó, ÷òî ïðè ðîñòå öåí íà îäíè ïðåäìåòûðîñêîøè ëþäè, êàê ïðàâèëî, ïðåäïî÷èòàþò ïîêóïàòü äðóãèå ïðåäìåòû,êîòîðûå ïîäîðîæàëè â ìåíüøåé ñòåïåíè. Ñâîéñòâî ôóíêöèè ñïðîñà èçìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò öåíû íàçûâàåòñÿ ýëàñòè÷íîñòüþ ñïðîñà.
Ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå áóäåò äàíî ïîçæå. Ñ ñîäåðæàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿýëàñòè÷íîñòü õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü çàâèñèìîñòè îáúåìà ñïðîñà îò öåíûíà òîâàð.Ïðèìåð 16.4. Ðàññìîòðèì ïðèìåð íåýëàñòè÷íîé ôóíêöèè ñïðîñà: bp < rb ,V ,bDb (p) = [0, V ], p = rb ,0,p > rb .Âî âñåõ ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðàõ ôóíêöèÿ ñïðîñà Db (p) − ýòîòî÷å÷íî-ìíîæåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:D1 âûïóêëîçíà÷íîñòü ( çíà÷åíèåì ôóíêöèè ñïðîñà Db (p) äëÿ ëþáîãî p ÿâëÿåòñÿ ëèáî òî÷êà, ëèáî îòðåçîê);181ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓD2 çàìêíóòîñòü (ãðàôèê îòîáðàæåíèÿ Db (p)Gr(Db (p)) = {(p, V ) | 0 ≤ p < ∞, V ∈ Db (p)} ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì);D3 ìîíîòîííîå íåâîçðàñòàíèå ( ïðè ëþáûõ p < p0 è ëþáûõV ∈ Db (p), V 0 ∈ Db (p0 ) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî V ≥ V 0 );D4 Db (p) → 0 ïðè p → ∞ (ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè öåíûñïðîñ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ).Îáñóäèì ïîäðîáíåå ñâîéñòâî ìîíîòîííîãî íåâîçðàñòàíèÿ (ñâîéñòâîD3).
Ýòî ñâîéñòâî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ïðè ðîñòå öåíû íà òîâàð ñïðîñíà íåãî íå óâåëè÷èâàåòñÿ (à èíîãäà è óáûâàåò, åñëè ó÷åñòü äîïîëíèòåëüíî ñâîéñòâî D4). Âîçíèêàåò âîïðîñ: äëÿ âñåõ ëè òîâàðîâ âûïîëíåíî ýòîñâîéñòâî?  ýêîíîìèêå èçâåñòíî íåñêîëüêî ýêçîòè÷åñêèõ ïðèìåðîâ òîâàðîâ, ñïðîñ íà êîòîðûå íå óäîâëåòâîðÿåò, ïî êðàéíåé ìåðå â îïðåäåëåííûåïðîìåæóòêè âðåìåíè, ñâîéñòâó ìîíîòîííîãî íåâîçðàñòàíèÿ.Ïðèìåð 16.5.
Èçâåñòíî, ÷òî â Èðëàíäèè â ãîëîäíûå ãîäû, êîãäà öåíàíà êàðòîøêó ñèëüíî ïîâûøàëàñü, îáúåì åå ïîòðåáëåíèÿ òîæå âîçðàñòàë.Ñ ÷åì ýòî áûëî ñâÿçàíî?  îáû÷íûå ãîäû â ðàöèîí îñíîâíîé ìàññû íàñåëåíèÿ âõîäèëè êàðòîøêà è ìÿñî. Êîãäà öåíà íà êàðòîøêó çíà÷èòåëüíî ïîâûøàëàñü, äåíåã íà ìÿñî óæå íå õâàòàëî, è ëþäè ïåðåõîäèëè íàïèòàíèå îäíîé êàðòîøêîé. Ïîýòîìó êàðòîøêè òðåáîâàëîñü áîëüøå, ÷åìîáû÷íî.Ïðèìåð 16.6.
Òðàäèöèîííàÿ ÿïîíñêàÿ âîäêà − ñàêå. Åñòü íåñêîëüêîñîðòîâ ñàêå, ïðè÷åì êàê õîðîøåãî êà÷åñòâà, òàê è ïëîõîãî. Èçâåñòåí ñëåäóþùèé ôàêò: êîãäà öåíà íà íèçêîêà÷åñòâåííûé ñàêå ðàñòåò, òî îáúåì åãîïîòðåáëåíèÿ â ýòîò ìîìåíò òîæå óâåëè÷èâàåòñÿ. Äåëî â òîì, ÷òî îïðåäåëåííàÿ ãðóïïà ëèö, ñòðàäàþùàÿ àëêîãîëüíîé çàâèñèìîñòüþ, íóæäàåòñÿâ îïðåäåëåííîé äîçå ÷èñòîãî àëêîãîëÿ. Îíè, êîíå÷íî, ïðåäïî÷ëè áû ïèòüõîðîøèé ñàêå, íî êîãäà öåíà íà ñàêå ñèëüíî ðàñòåò, èì äëÿ ïîëó÷åíèÿñâîåé ñóòî÷íîé íîðìû àëêîãîëÿ ïðèõîäèòñÿ îòêàçûâàòüñÿ îò õîðîøåãîñàêå â ïîëüçó ïëîõîãî. Îäíàêî ïðèâåäåííûå ïðèìåðû äîñòàòî÷íî ðåäêèè íåòèïè÷íû, à äëÿ áîëüøèíñòâà òîâàðîâ ñâîéñòâî ìîíîòîííîãî íåâîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè ñïðîñà âûïîëíÿåòñÿ.Ïðèíöèï êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿÈòàê, ìû îïèñàëè ïîâåäåíèå äâóõ ãðóïï àãåíòîâ íà ðûíêå (ïðîèçâîäèòåëåé òîâàðà è ïîòðåáèòåëåé) â çàâèñèìîñòè îò öåíû íà òîâàð.
Äëÿïîëó÷åíèÿ ïîëíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î ìîäåëè êîíêóðåíòíîãî ðûíêà îäíîãîòîâàðà îñòàëîñü âûÿñíèòü, êàê îïðåäåëÿåòñÿ öåíà p íà ðûíêå.182 16. Ìîäåëè íåðåãóëèðóåìûõ ðûíêîâÍà êîíêóðåíòíîì ðûíêå öåíà òîâàðà îïðåäåëÿåòñÿ èç ïðèíöèïà êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ.Ïðèíöèï êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ Âàëüðàñà.  óñëîâèÿõ ñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè íà ðûíêå óñòàíàâëèâàåòñÿ öåíà p̃, êîòîðàÿ áàëàíñèðóåòñïðîñ è ïðåäëîæåíèå íà òîâàð è íàçûâàåòñÿ öåíîé êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ (èëè âàëüðàñîâñêîé öåíîé). Ôîðìàëüíî ýòà öåíà îïðåäåëÿåòñÿ èçóñëîâèÿ D(p̃) ∩ S(p̃) 6= ∅, ãäå S(p) − ôóíêöèÿ ñóììàðíîãî ïðåäëîæåíèÿ,à D(p) − ôóíêöèÿ ñóììàðíîãî ñïðîñà.Òàêèì îáðàçîì, öåíà êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ñóùåñòâóåò îáúåì òîâàðà, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäëîæåí ïîýòîé öåíå è ìîæåò áûòü ïîòðåáëåí ïî ýòîé öåíå.
Åñëè ôóíêöèè ñïðîñà èïðåäëîæåíèÿ − îäíîçíà÷íûå ôóíêöèè, òî ïðèíöèï êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ïðîùå: ïî ðàâíîâåñíîé öåíå ñïðîñ ðàâåíïðåäëîæåíèþ.Ïîëíàÿ ôîðìóëèðîâêà ïðèíöèïà íà÷èíàåòñÿ ñëîâàìè: "â óñëîâèÿõ ñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè...". ×òî ïîíèìàåòñÿ ïîä óñëîâèÿìè ñîâåðøåííîéêîíêóðåíöèè? Ñîäåðæàòåëüíî Âàëüðàñ îõàðàêòåðèçîâàë èõ êàê íàëè÷èåáîëüøîãî ÷èñëà áëèçêèõ ïî ñâîèì õàðàêòåðèñòèêàì ïðîèçâîäèòåëåé è ïîòðåáèòåëåé, êàæäûé èç êîòîðûõ íå ìîæåò âëèÿòü íà ðûíî÷íóþ öåíó (ò.å.âñå îíè ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ îáùèìè îáúåìàìè ðûíêà).
Êðîìå òîãî, âñåïðîèçâîäèòåëè è ïîòðåáèòåëè ðàñïîëàãàþò ïîëíîé èíôîðìàöèåé î ðûíêå è ìîãóò ñâîáîäíî âûáèðàòü ñåáå ïàðòíåðîâ äëÿ çàêëþ÷åíèÿ ñäåëêè.ßñíî, ÷òî òàêîå îïèñàíèå íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíûì. Âîçüìåì êîíêðåòíûé ðûíîê, íà êîòîðîì äåéñòâóþò 20 ïðîèçâîäèòåëåé ïðîäóêöèè è500 ïîòðåáèòåëåé, õàðàêòåðèçóþùèõñÿ îïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå Âàëüðàñà, íåëüçÿ ñêàçàòü, íàõîäèòñÿ ëè ýòîò ðûíîêâ ñîñòîÿíèè ñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè, òàê êàê ýòî îïðåäåëåíèå ÷èñòîêà÷åñòâåííîå è íå äàåò êîëè÷åñòâåííûõ êðèòåðèåâ.Ñâîéñòâà ðàâíîâåñíîé öåíûÁóäåì èñïîëüçîâàòü çàïèñü D(p) − S(p) > 0, åñëè V > V 0 ïðè âñåõV ∈ D(p), V 0 ∈ S(p). Àíàëîãè÷íî, áóäåì ïèñàòü D(p) − S(p) < 0, åñëèV < V 0 ïðè âñåõ V ∈ D(p), V 0 ∈ S(p).Óòâåðæäåíèå 16.2.
Ïóñòü ôóíêöèÿ ïðåäëîæåíèÿ S a (p) êàæäîãî ïðîèçâîäèòåëÿ a ∈ A óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì S1-S3, à ôóíêöèÿ ñïðîñàDb (p) êàæäîãî ïîòðåáèòåëÿ b ∈ B − óñëîâèÿì D1-D4. Òîãäà ðàâíîâåñíàÿöåíà âñåãäà ñóùåñòâóåò.183ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓP aÄîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ïðåäëîæåíèÿ S(p) =S (p)a∈AP aóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì S1-S3, à ôóíêöèÿ ñïðîñà D(p) =D (p) −b∈Bóñëîâèÿì D1-D4.Ïîñêîëüêó S(0) = 0, òî èç ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè S(p) è çàìêíóòîñòèåå ãðàôèêà âûòåêàåò, ÷òî S(p) = 0 â íåêîòîðîé ìàëîé ïîëóîêðåñòíîñòèòî÷êè 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ôóíêöèþ ñïðîñà D(p) â ýòîé ïîëóîêðåñòíîñòèìîæíî ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíîé. Ïîýòîìó ðàçíîñòü D(p) − S(p) > 0 ïðèìàëûõ p.Äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ p ôóíêöèÿ S(p) ïîëîæèòåëüíà (äîñòàòî÷íîâçÿòü p > Ċ a (0) äëÿ íåêîòîðîãî ïðîèçâîäèòåëÿ a ∈ A) è íå óáûâàåò, àD(p) → 0 ïðè p → ∞.
Çíà÷èò, D(p) − S(p) < 0 ïðè áîëüøèõ p .Âîñïîëüçóåìñÿ àíàëîãîì òåîðåìû î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, èçâåñòíîé èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà: åñëè íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ïðîòèâîïîëîæíûå ïî çíàêó çíà÷åíèÿ íà êîíöàõíåêîòîðîãî îòðåçêà, òî âíóòðè ýòîãî îòðåçêà ñóùåñòâóåò òî÷êà, â êîòîðîéôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü.Êàê óæå ãîâîðèëîñü, ñâîéñòâî çàìêíóòîñòè àíàëîãè÷íî ñâîéñòâó íåïðåðûâíîñòè.
Òàê êàê D(p) è S(p) − çàìêíóòûå ôóíêöèè, ñëåäîâàòåëüíî, èõðàçíîñòü D(p)−S(p) òîæå çàìêíóòàÿ ôóíêöèÿ. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òî÷êà p̃ , â êîòîðîé ýòà ðàçíîñòü ïðèíèìàåò íóëåâîå çíà÷åíèå, â òîì ñìûñëå,÷òî 0 ∈ D(p̃) − S(p̃).Óòâåðæäåíèå 16.3. Ïóñòü p̃1 , p̃2 − äâå öåíû êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ. Òîãäà ëþáàÿ öåíà p̃ ∈ [p̃1 , p̃2 ] òîæå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñíîé, ò.å.S(p̃) ∩ D(p̃) 6= ∅.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ôóíêöèÿ D(p) − S(p) ìîíîòîííî íå âîçðàñòàåò. Òàêêàê ýòà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0 â òî÷êàõ p̃1 è p̃2 , òî è âî âñåõïðîìåæóòî÷íûõ òî÷êàõ îíà ïðèíèìàåò òî æå çíà÷åíèå. Ñëåäîâàòåëüíî,D(p̃) ∩ S(p̃) 6= ∅ äëÿ ëþáîãî p̃ ∈ [p̃1 , p̃2 ].Ïîêàæåì, ÷òî íà ñàìîì äåëå âîçìîæíû ñèòóàöèè, êîãäà ðàâíîâåñíàÿöåíà îïðåäåëÿåòñÿ íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì.  òàêèõ ñëó÷àÿõ èç óòâåðæäåíèÿ 16.3 áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò öåëûé îòðåçîê ðàâíîâåñíûõöåí.Ïðèìåð 16.7. Ïóñòü íà ðûíêå åñòü âñåãî òðè ïîòðåáèòåëÿ ñ íåýëàñòè÷íûìè ôóíêöèÿìè ñïðîñà. Ðåçåðâíûå öåíû äëÿ ýòèõ ïîòðåáèòåëåéðàâíû r1 , r2 è r3 ñîîòâåòñòâåííî.
 ýòîì ñëó÷àå ñóììàðíàÿ ôóíêöèÿ ñïðî184 16. Ìîäåëè íåðåãóëèðóåìûõ ðûíêîâñà áóäåò èìåòü ñòóïåí÷àòûé âèä. Ïóñòü, êðîìå òîãî, íà ðûíêå åñòü äâàïðåäïðèÿòèÿ-ïðîèçâîäèòåëÿ ñ ôèêñèðîâàííûìè óäåëüíûìè ñåáåñòîèìîñòÿìè c1 , c2 è ìàêñèìàëüíûìè îáúåìàìè ïðîèçâîäñòâà V 1 , V 2 ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììàðíîå ïðåäëîæåíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèåé. Òîãäà âîçìîæíà ñëåäóþùàÿ ñèòóàöèÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 16.6, ãäå ïîëó÷èëñÿ öåëûé îòðåçîê ðàâíîâåñíûõ öåí p̃.V 6V 6Ṽ ?6Ṽ---pp̃p̃Ðèñ. 16.6pÐèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
