[учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003) (1186146), страница 34
Текст из файла (страница 34)
ðèñ. 18.5, ãäå p = r2 , W (p) = W 1 +W 2 , k = 2).Ïëîùàäü ýòîé ôèãóðû ìàêñèìàëüíàÿ ïðè p = p̃.Îáñóäèì ýòîò ðåçóëüòàò. Óòâåðæäåíèå ãîâîðèò î òîì, ÷òî â öåíòðàëèçîâàííî óïðàâëÿåìîé ýêîíîìèêå ìàêñèìàëüíàÿ îáùàÿ ïðèáûëü òàêàÿ æå,êàê è â ñîñòîÿíèè êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ. Âîçíèêàåò âîïðîñ: çà÷åìâñå ýòè ïåðåõîäû îò êàïèòàëèçìà ê ñîöèàëèçìó è îáðàòíî, åñëè è òàì èòàì íàèëó÷øèé ðåçóëüòàò îäèíàêîâûé? Äåëî â òîì, ÷òî â óñëîâèÿõ öåíòðàëèçîâàííîãî óïðàâëåíèÿ îïòèìàëüíûé ïëàí íå óäàåòñÿ ðåàëèçîâàòüíà ïðàêòèêå.
Ïëàíîâûé îðãàí äîëæåí èìåòü ïðàâäèâóþ èíôîðìàöèþ îáèçäåðæêàõ è îáúåìàõ ïðîèçâîäñòâà. Íî ïðåäïðèÿòèå íå çàèíòåðåñîâàíî â ïðåäîñòàâëåíèè ïðàâäèâîé èíôîðìàöèè. Ïðè ïëàíîâîé ýêîíîìèêåñíèæàåòñÿ òàêæå êà÷åñòâî ïðîäóêöèè, à çíà÷èò ðàñòóò èçäåðæêè ïðîèçâîäñòâà â ïîñëåäóþùèõ çâåíüÿõ òåõíîëîãè÷åñêîé öåïè.×òî êàñàåòñÿ ðûíî÷íîé ýêîíîìèêè, òî îíà ìîæåò îáåñïå÷èòü îïòèìàëüíûé ðåçóëüòàò, åñëè ñêëàäûâàåòñÿ êîíêóðåíòíîå ðàâíîâåñèå. Êàê ìûïîêàçàëè, äåéñòâèÿ ìîíîïîëèè, ìàêñèìèçèðóþùåé ïðèáûëü, ïðèâîäÿò êçíà÷èòåëüíûì îòêëîíåíèÿì îò ýòîãî îïòèìàëüíîãî ðåçóëüòàòà. Ðåàëüíûåðûíêè îáû÷íî íå ÿâëÿþòñÿ ìîíîïîëüíûìè, â íèõ ó÷àñòâóþò íåñêîëüêîàãåíòîâ ñ êàæäîé ñòîðîíû.
Âàæíàÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ïðîáëåìà − îöåíêà196 19. Ìîäåëè îëèãîïîëèèâîçìîæíîãî îòêëîíåíèÿ îò ñîñòîÿíèÿ êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ äëÿ òàêèõ ðûíêîâ. Äëÿ åå èññëåäîâàíèÿ ðàçðàáîòàíû ìîäåëè íåñîâåðøåííîéêîíêóðåíöèè, èëè îëèãîïîëèè, ðàññìàòðèâàåìûå â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå. 19.Ìîäåëè îëèãîïîëèèÂâåäåííîå âûøå ïîíÿòèå êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.1. Òîâàð íà ðûíêå ïðîäàåòñÿ ïî åäèíîé öåíå.2. Êàæäûé ïðîèçâîäèòåëü è ïîòðåáèòåëü îïðåäåëÿåò îáúåì ïðåäëîæåíèÿ (ñîîòâåòñòâåííî, ñïðîñà), ìàêñèìèçèðóÿ ñâîþ ïðèáûëü (ïîëåçíîñòü)ïðè äàííîé öåíå.3.
Öåíà óñòàíàâëèâàåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî áàëàíñèðóåò ñïðîñ èïðåäëîæåíèå.Ðàññìîòðèì òåïåðü ìîäåëü ðûíêà, íà êîòîðîì äåéñòâóåò íåñêîëüêîïðîèçâîäèòåëåé òîâàðà, êàæäûé èç êîòîðûõ îáëàäàåò îïðåäåëåííûìèâîçìîæíîñòÿìè âëèÿòü íà ðûíî÷íóþ öåíó è ó÷èòûâàåò ýòè âîçìîæíîñòèïðè âûáîðå ñâîåé ñòðàòåãèè. Ïîòðåáèòåëåé ïî-ïðåæíåìó ñ÷èòàåì ìåëêèìè: îòäåëüíûé ïîòðåáèòåëü íå îêàçûâàåò âëèÿíèÿ íà ïàðàìåòðû ðûíêà.Ðûíîê ñ òàêîé ñòðóêòóðîé íàçûâàåòñÿ îëèãîïîëèåé. Öåëü èññëåäîâàíèÿýòîé ìîäåëè − îòâåòèòü íà ñëåäóþùèå âîïðîñû: Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íàñòðóêòóðó îòðàñëè-ïðîèçâîäèòåëÿ òîâàðà ðûíîê ïðèäåò â ñîñòîÿíèå êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ? Êàê çàâèñèò îòêëîíåíèå îò êîíêóðåíòíîãî ðàâíîâåñèÿ (ïî öåíå è îáúåìàì âûïóñêà) îò ñòðóêòóðû îòðàñëè? Íàñêîëüêîýôôåêòèâíî àíòèìîíîïîëüíîå çàêîíîäàòåëüñòâî è êàêèå ìåðû ðåãóëèðîâàíèÿ ìîæíî ïðåäëîæèòü äëÿ ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ðûíêà?Ìîäåëü îëèãîïîëèè ïî ÊóðíîÐàññìàòðèâàåòñÿ îòðàñëü ýêîíîìèêè, âûïóñêàþùàÿ îäíîðîäíûé òîâàð.
 îòðàñëü âõîäèò m ïðåäïðèÿòèé-ïðîèçâîäèòåëåé, êàæäîå èç êîòîðûõ õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîñòîÿííûìè óäåëüíûìè ñåáåñòîèìîñòÿìè ca èìàêñèìàëüíûì îáúåìîì ïðîèçâîäñòâà V a , a ∈ A = {1, ..., m}. Çàäàíà îäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ ñïðîñà íà òîâàð D(p), ïðè÷åì D(p) óáûâàåò ïî p èD(p) → 0 ïðè p → ∞. Õàðàêòåðíûì ïðèìåðîì ôóíêöèè ñïðîñà ÿâëÿåòñÿôóíêöèÿ âèäàD(p) = K/pα , α > 0.(19.1)Ñòðàòåãèåé ïðåäïðèÿòèÿ a ∈ A ÿâëÿåòñÿ îáúåì âûïóñêà v a ∈ [0, V a ].
Öå197ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓíà íà ðûíêå óñòàíàâëèâàåòñÿòàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ôàêòè÷åñêîå ïðåäP aëîæåíèå òîâàðàv ñîîòâåòñòâîâàëî ñïðîñó íà íåãî. Îáîçíà÷èì ÷åðåça∈Av = (v a , a ∈ A) âåêòîð âûïóñêà òîâàðà. Òîãäà öåíà íà ðûíêå áóäåò ðàâíà!p(v) = D−1Xva .(19.2)a∈AÏðèáûëü ïðîèçâîäèòåëÿ a çàâèñèò îò âåêòîðà âûïóñêîâ v è îïðåäåëÿåòñÿêàêua (v) = v a (p(v) − ca ).(19.3)Ïðè âûáîðå îáúåìà âûïóñêà êàæäîå ïðåäïðèÿòèå ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîþ ïðèáûëü.
Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñ îäíîé ñòîðîíû, åñëè ðàçíîñòüöåíû è óäåëüíîé ñåáåñòîèìîñòè ïîëîæèòåëüíà, ò.å. p(v) − ca > 0, òî ïðèáûëü âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì îáúåìà çà ñ÷åò ïåðâîãî ñîìíîæèòåëÿ v a .Íî ñ äðóãîé ñòîðîíû, öåíà óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì îáúåìà âûïóñêà â ñèëó (19.2). Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ ñïðîñà D(p) ïðåäïîëàãàåòñÿ óáûâàþùåé è îáðàòíàÿ ê íåé ôóíêöèÿ D−1 (V ) òàêæå óáûâàåò. Ñëåäîâàòåëüíî,ïðèáûëü ìîæåò óáûâàòü ñ óâåëè÷åíèåì îáúåìà âûïóñêà çà ñ÷åò âòîðîãîñîìíîæèòåëÿ â (19.3).Îòìåòèì, ÷òî â òî÷êå v = 0 ôóíêöèè ua (v) èìåþò îñîáåííîñòü.
Åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü ua (0) = 0.Ìû îïèñàëè âçàèìîäåéñòâèå ïðîèçâîäèòåëåé â âèäå èãðû â íîðìàëüíîé ôîðìå:DENΓ = A, [0, V a ], ua (v), v ∈[0, V a ], a ∈ A ,a∈Aãäå A − ìíîæåñòâî èãðîêîâ (ïðîèçâîäèòåëåé òîâàðà), [0, V a ] − ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé èãðîêà a (ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ îáúåìîââûïóñêà), ua (v) − âûèãðûø (ïðèáûëü) èãðîêà a.Îòìåòèì, ÷òî åñëè lim D−1 (V )V > 0, òî ôóíêöèÿV →0+ua (0||v a ) = v a (D−1 (v a ) − ca ) ðàçðûâíà â òî÷êå v a = 0.  ýòîì ñëó÷àå ðàâíîâåñèå ïî Íýøó â èãðå Γ ìîæåò íå ñóùåñòâîâàòü (ñì. íèæå óïðàæíåíèå19.1).Ïîèñê ðàâíîâåñèé ïî Íýøó äëÿ ìîäåëè ÊóðíîÍàéäåì ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó äëÿ ýòîé èãðû, ò.å.
òàêîé íàáîð ñòðàòåãèé198 19. Ìîäåëè îëèãîïîëèèv = (v a , a ∈ A), ÷òî êàæäîå ïðåäïðèÿòèå âûïóñêàåò îáúåì òîâàðà!!Xv a ∈ Arg amax a v a D−1v b + v a − ca .(19.4)v ∈[0,V ]b∈A\{a}Îáîçíà÷èì ÷åðåç u0va (v) ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè ua (v) ïî ïåðåìåííîé v a â òî÷êå v.Ëåììà 19.1. Åñëè v − ðàâíîâåñèå ïî Íýøó, òî v 6= 0 è âûïîëíåíûñëåäóþùèå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ:1) v a = 0 ⇒ u0va (v) ≤ 0;2) v a ∈ (0, V a ) ⇒ u0va (v) = 0;3) v a = V a ⇒ u0va (v) ≥ 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî ñèòóàöèÿ ðàâíîâåñèÿ v íå ìîæåò áûòüíóëåâîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî v = 0 − ñèòóàöèÿ ðàâíîâåñèÿ.  ñèëó ñâîéñòâà D4 ôóíêöèè ñïðîñà, D−1 (V ) → ∞ ïðè V → 0 + .Ïîýòîìó ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì v a > 0ua (0||v a ) = v a (D−1 (v a ) − ca ) > 0 = ua (0),÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ.Óñëîâèÿ 1)-3) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûìè óñëîâèÿìè äëÿ òî÷êè ìàêñèìóìà v a äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè ua (v||v a ) îäíîé ïåðåìåííîé v a íàîòðåçêå [0, V a ] (ñì.
çàäà÷ó (19.4)).Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè ïðèáûëè ïî îáúåìó âûïóñêà v a êàêïðîèçâîäíóþ ïðîèçâåäåíèÿ:!Xu0va (v) = D−1v b − ca + v a /Ḋ(p(v)).(19.5)b∈AÓòâåðæäåíèå 19.1. Ïóñòü c1 ≤ c2 ≤ ... ≤ cm , ò.å. ïðåäïðèÿòèÿ óïîðÿäî÷åíû ïî âîçðàñòàíèþ óäåëüíûõ ñåáåñòîèìîñòåé, à ôóíêöèÿ ñïðîñàD(p) − äèôôåðåíöèðóåìàÿ è óáûâàþùàÿ. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîå ïðåäïðèÿòèå k , ÷òî â ðàâíîâåñèè ïî Íýøó v a > 0, a = 1, 2, ..., k, v a = 0, a =k + 1, ..., m, ïðè÷åì ck+1 > ck .Äîêàçàòåëüñòâî.1) Ïóñòü v − ðàâíîâåñèå ïî Íýøó.
Ïî ëåììå 19.1 v 6= 0. Âîçüìåìòàêîå k , ÷òî v k > 0. Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà199ÃËÀÂÀ IV. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓD−1Pv b − ck > 0. Cîãëàñíî ëåììå 19.1 èç v k > 0 ñëåäóåòb∈Au0vk (v) ≥ 0. Èç ôîðìóëû (19.5) ïîëó÷àåìX −1Dv b − ck ≥ −v k /Ḋ(p(v)) > 0,b∈Aïîñêîëüêó Ḋ(p(v)) < 0.2) Ïîêàæåì, ÷òî v a > 0 ïðè a = 1, ..., k −1. Äîïóñòèì îò ïðîòèâíîãî,÷òî v a = 0 äëÿ íåêîòîðîãî a ∈ {1, ..., k − 1}. ÒîãäàX X u0va (v) = D−1v b − ca + v a /Ḋ(p(v)) = D−1v b − ca ≥b∈Ab∈A≥ D−1Xv b − ck > 0,b∈Aòàê êàê ca ≤ ck ïðè a < k. Ïî ëåììå 19.1 èç u0va (v) > 0 cëåäóåò v a > 0.Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå ñ ïðåäïîëîæåíèåì, ÷òî v a = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,v a > 0 ïðè a = 1, ..., k − 1.3) Òàêèì îáðàçîì, íàéäåòñÿ òàêîå ìàêñèìàëüíîå k , ÷òîv a > 0, a = 1, 2, ..., k v a = 0, a = k + 1, ..., m. Íàêîíåö, ïîêàæåì, ÷òîck+1 > ck .
Åñëè ck+1 = ck , òîX X 0−1bk+1k+1−1uvk+1 (v) = Dv −c+ v /Ḋ(p(v)) = Dv b − ck > 0.b∈Ab∈AÏî ëåììå 19.1 èç u0vk+1 (v) > 0 cëåäóåò v k+1 > 0 (ïðîòèâîðå÷èå).Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò èìååò ïðîñòîé ýêîíîìè÷åñêèé ñìûñë: åñëè íåêîòîðîìó ïðåäïðèÿòèþ âûãîäíî ïðîèçâîäèòü òîâàð ïî äàííîé öåíå, òîïðåäïðèÿòèþ ñ ìåíüøåé óäåëüíîé ñåáåñòîèìîñòüþ òåì áîëåå âûãîäíîïðîèçâîäèòü ýòîò òîâàð.Ñëó÷àé ñ ðàâíûìè óäåëüíûìè ñåáåñòîèìîñòÿìèÐàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà óäåëüíûå ñåáåñòîèìîñòè ca âñåõ ïðåäïðèÿòèé îäèíàêîâû è ðàâíû c.
Èç óòâåðæäåíèÿ 19.1 ñëåäóåò, ÷òî òîãäà âðàâíîâåñèè ïî Íýøó v a > 0 ïðè âñåõ a ∈ A, ò.å. êàæäûé ïðîèçâîäèòåëüâûïóñêàåò ïîëîæèòåëüíîå êîëè÷åñòâî òîâàðà.Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ìîäåëü áåç îãðàíè÷åíèé íà îáúåìû âûïóñêà. Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå çàäà÷è (19.4), ñ÷èòàÿ V a = ∞ (ïðîèçâîäñòâåííûå200 19. Ìîäåëè îëèãîïîëèèìîùíîñòè ïðåäïðèÿòèé íå îãðàíè÷åíû). Òîãäà â òî÷êå ìàêñèìóìà çàäà÷è (19.4) âñå ïðîèçâîäíûå u0va (v) = 0 è äëÿ ïîèñêà ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõv a , a = 1, ..., m:X 0−1uva (v) = Dv b − c + v a /Ḋ(p(v)) = 0, a ∈ A.(19.6)b∈AÑóììèðóåì óðàâíåíèÿ (19.6) ïî âñåì a ∈ A. Ïîëó÷àåìX X X−1aa−1mDv − mc +v /Ḋ Dva= 0.a∈Aa∈A(19.7)a∈AÂûðàæåíèå (19.7) ïðåäñòàâëÿåòñîáîé óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî îäíîé íåèçP aâåñòíîé âåëè÷èíûv .
Ðàçðåøèâ äàííîå óðàâíåíèå è ïîäñòàâèâ íàéa∈Aäåííóþ âåëè÷èíó â óðàâíåíèÿ (19.6), íàéäåì çíà÷åíèÿ v a , a ∈ A, êîòîðûå, î÷åâèäíî, îäèíàêîâû äëÿ âñåõ a.Ïðîäåìîíñòðèðóåì äåéñòâèå ýòîãî àëãîðèòìàêîíêðåòíîéP íàP a ôóíêöèè−1añïðîñà. Ïóñòü D(p) = K/p. Òîãäà p(v) = D (v ) = K/v . Ñèñòåìàa∈A(19.6) â ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèäK/Xv a − c − v a K/a∈AXva2= 0, a ∈ A,a∈A(19.6 0 )a∈Aà óðàâíåíèå (19.7) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó:XXmK/v a − mc − K/v a = 0.a∈AÈç (19.7 0 ) ïîëó÷àåì, ÷òî(19.7 0 )a∈APv a = (m − 1)K/(mc). Ïîäñòàâëÿÿ ýòîa∈Aâûðàæåíèå â (19.6 0 ), íàõîäèì ðàâíîâåñèå ïî Íýøó äëÿ ìîäåëè Êóðíîdefva = v∗ =K(m − 1)∀ a ∈ A.cm2(19.8)Äëÿ ìîäåëè ñ îãðàíè÷åíèÿìè íà îáúåìû âûïóñêà îòìåòèì äâà ñëó÷àÿ.à) v ∗ ≤ min V b . Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèÿìè íà îáúåìûb∈Aâûïóñêà ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì òîé æå çàäà÷è áåç ó÷åòà îãðàíè÷åíèé,201ÃËÀÂÀ IV.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÝÊÎÍÎÌÈÊÓòàê êàê v ∗ − ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïî áîëåå øèðîêîìó ìíîæåñòâó è â òî æå âðåìÿ ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì îáúåìîì âûïóñêà äëÿ çàäà÷èñ îãðàíè÷åíèÿìè. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå v a çàäàåòñÿ ôîðìóëîé(19.8).á) v ∗ > min V b . Óïîðÿäî÷èì ïðîèçâîäèòåëåé ïî óáûâàíèþ ìàêñèìàëüb∈Aíûõ îáúåìîâ âûïóñêà: V 1 ≥ V 2 ≥ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
