Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Приведем здесь лишь два результата из этой теории. Пусть Ул — евклидова пространство с некоторым скалярным умножением (и, в) = [и, в], и пусть оператор Ял, в = 17»и, и, в еи (7», задан равенством Вл", и+А,и=О, (24) где Ал и Вл — самосопряженныс операторы, причем Вл ) О. Определим энергетическую норму [[и[[ел в пространстве (7», положив [[и[[в =[В»и, и[= — (и, и)а . (25) Тогда справедлива следующая Теор е м а 2.
Условия 2 0<А»< — Вл (26) необходимы и достаточны для выполнения неравенств [)7»[[< 1, р ) О. (27) (28) Как показано в и. 5, оператор Йл является самосопряженным в смысле скалярного умножения (2!) и утверждение теоремы равносильно утверждению, что все собственные числа Х» оператора йл лежат на отрезке — 1 < Х < 1 в том и только том случае, если выполнены условия (28). Докажем это последнее утверждение. Пусть выполнены условия (28). Умножим равенство (22) скалярно на собственную функцию йтл> оператора Йл. Получим )л» [В»ф~~~', ф~ ~1 = [Алф'~~, ф~~~], откуда Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим самосопряженный оператор Ал равенством Лл = Вл — тАл.
Тогда (24) равносильно равенству (20), а условия (26) равносильны условиям — Вл < < А~ < Вы т. е. условиям — [Вли, и[ < [Али, и[ <[Вли, и]. 4 43! 395 оцнггкх ггорм стспеньчч операторов Обратно, пусть гпах((ьх(( 1. Покажем, что выполнены условия (28). Пусть и = ~ сьфм' — разложение произвольного элемента иенУь по ортонормальному в смысле скалярного умножения (21) базису (ф)х)). Тогда 1[А,и, и11= )[Аа,', сатР)м, 2', саф'"']) = ( Д„саАаф'", ~ са4"~ ) = = ) Д: сьХаВаф"', ~: сач~э'"1 ! = ( [Ва ~: саХаф"', ~ сат~Р".( ) = =(Д саг.ьт(эы!, 2 саф'а)) ~=~~~„сть)3, )~ <Хсз =(и, и)а — — [В,и, и).
Отсюда [В>и, и]) ЦАги, и)(, что равносильно условиям (28). Теорема доказана. Заметим, что проверка условий (28) равносильна проверке того, будут ли неотрицательны все собственные числа самосопряженных в смысле скалярного умножения [и, п~ операторов Вь — Аь и Вь + Аь. Приведем без доказательства еще один критерий устойчивости, применимый к разностным схемам (24), для которь|х Вл > О, Аь —— Аь ) О.
Введем в пространстве (г' энергетическую норму (1 и 1,! положив (1 и 1(,! (Агн, н1. а а а Т е о р е м а 3. Выполнение условия Вг, ) — Аа необходимо и достаточно длл того, чтобы нлгело место неравенство (( Ка((л ~ !. л Теорема 3 содержится в л 4 $ 1 гл 'т! книги (231 и доказывается без помон!и спектралы<ого подхода, который здесь не удается применить из-за иесамосапряженности оператора Вл.
3ЛЛЛг)И !. Пусть оператор В„Ь = Ила, задан формулами Ь,.=(! — г)о.,+го..+,. =О, (, ..., М вЂ” (, ~ Ь =О. лг г Показать, что в пространстве Ва сеточных функций (а,„), гл = О. (, ..., М. нельзя задать скалярное произведение так, чтобы оператор мь стал само- сопряженным. ГЛАВА 14 СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Здесь мы покажем, что по спектру несамосопряженного оператора )сь нельзя судить об устойчивости разностной краевой задачи в ограниченной области, введем понятие спектра семейства операторов ()сл) и рассмотрим спектральную постановку вопроса об устойчивости, остающуюся разумной и в случае несамосопряженных разностных краевых задач в ограниченных областях. Будет указан необходимый и близкий к достаточному спектральный признак устойчивости.
ф 44. Спектр семейства операторов (1сь» 1. Необходимость усовершенствования спектрального признака устойчивости. В гл. 13 было показано, что обычно эволюционные разностные краевые задачи можно привести к виду иаю =14„и'+ тр' и' задано так, чтобы устойчивость на интервале времени 0 < ! < Т была равносильна равномерной по й ограниченности норм степеней оператора перехода )сь т. е. оценке !! Йь 1! < К, р = 1, 2, ..., [Т/т], (2) где А — шаг сетки по времени, т = т(й). Было установлено, что расположение собственных значений оператора )с» внутри круга (А!< 1+ ст (3) на комплексной плоскости необходимо для выполнения условия (2), т.
е. для устойчивости. В $ 43 было показано, что в случае самосопряженного оператора 1сь условие (3) является не только необходимым, но и достаточным условием равномерной спектр свмейстзл опвглтоРОВ звт э 4и ограниченности (2) норм степеней оператора В,. Этотже факт установлен в $25 и для разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами в случае двуслойных разностных схем относительно одной неизвестной функции независимо от того, имеет ли место самосопряженность. Однако в общем случае несамосопряженных разностных краевых задач в ограниченных областях необходимый признак (3) очень далек от достаточного и совершенно неадекватен вопросу о равномерной ограниченности (2) норм (!Я!! степеней оператора Йм Это показывает следующий пример. П р и м е р. Для разностной краевой задачи 1 ио — 0 р — 0 1 .
(ТЯ из =ф(х ), ги=О, 1, ..., М; Мй=(, ~ аппроксимирующей задачу и! — и„=ф(х, !), и(1, !)=О, 0<х<1, 0<!<Т, и (х, 0) = ф (х) при естественном приведении к каноническому виду (1) оператор В„о = В,и, задается формулами о„= (1 — г) и + ги +„от = О, 1, ..., М вЂ” 1, ом = О, г = т/Й. Его матрица имеет вид ! — г г О... О О О ! — г г ... О О (5) О О О...! — г г О О О ... О О Спектр матрицы состоит из ее собственных значений, т. е. из корней уравнения де!(В,— ЛЕ) =0 или — Л(1 — г — Л)и =О.
Корни этого уравнения Л = 0 и Л = 1 — г образуют спектр оператора В, при любом Ь. Этот спектр лежит в единичном круге !Л) < 1 при 0 < г "2 Между тем для схемы (4) при ! < г < 2 не выполнено условие Куранта, Фридрихса и Леви, так что устойчивости )!)гЦ < К ни в какой разумной норме быть ис может, 398 УСТОЙЧИВОСТЬ НЯСЛМОСОПРЯЖНпгых ЗЛЛЛЧ н'Л. 14 В самом деле„покажем, что в случае Т ) 1 и нормы )1 и 1~ = шах (ггнг) ю справедливо неравенство шах )()зло() ~1 1 2г )гГл Р|гл (6) Р Ьэ,....!Гдп ия=кьи, и=1, 2, ..., М при т=б, 1, ..., М вЂ” р р а о задаются формулой иа„ = ( - 1)нг(1 — 2Г)Р, Ш = О, 1, ..., М вЂ” р.
)(Щгго)() ) ! 2,)Р() ио)( Поэтолгу так что при этих значениях р, р = 1, д ..., М, (! )!~Р ! ) ) 1 — 2г )Р, р = 1, 2, ...; Л! = 11'(г, и неравенство (6) доказано. Итак, установлено, что необходимый спектральный признак (3) равномерной ограниченности !)гсаа(( < К, использующий собственные значения операторов гтл, слишком груб в случае несамосопряженных операторов )та. в нашем примере он не улавливает неустойчивость, имеющую место при 1 < г ( 2.
2. Определение спектра семейства операторов. Пусть линейный оператор )тг, определен на линейном нормированном пространстве (га. БУдем обозначать чеРез (гтг,) совокУпность опеРатоРов ггл при всех тех значениях Ь, которые принимает параметр !г, характеризующий густоту сетки.
По самой природе разностных схем шаг сетки Ь может принимать сколь угодно малые положительные значения. Комплексное число )с будем называть точкой спектра се,пейства операторов (Йл), если для любых положительньзх йз и в можно указать такое !г, Ь ( йа, что неравенство ((гсли — Ха)(< е((и() имеет некоторое решение и, и ~ ()ь. Совокупность всех таких чисел )ь будем называть спектром семейства операторов (гтл).
Прп г ) ! также р ) 1, так что при Л вЂ” ь 0 и т = га-ьо величина гпах)))(гг(! Р экспоненниально возрастает и условие (! )!л ~ < К груба нарушается. гхля доказательства неравенства (6) заметим, что в случае и„, = ( — 1)~, ш = = О, 1, ..., М, значения иг„' функнии СПЕКТР СЕМЕИСТВЛ ОПЕРЛТОРОВ 3. Необходимое условие устойчивости. Т е о р е м а 1. Пусть хотя бы одна точка Хо спектра семейства операторов фл) лежит вне единичного круга комплексной плоскости, так что !ко!) !. В таком случае нельзя указать общую для всех и постоянную К такую, чтобы выполнялось неравенство ~!ВЦ<К, (7) в котором р пробегает целые значения от 0 до р = ро(п), где ро(й)- оо при Ь- О. До к аз а тел ь ство.
Допустим сначала, что не существует чисел Ло ) 0 и с ) 0 таких, что при всех 6 < По справедлива оценка (8) !!Во!1< с. При этом допущении доказываемое утверждение очевидно. Поэтому остается рассмотреть случай, когда существуют по ) 0 и с ) 0 такие, что при й < по неравенство (8) справедливо. Положим !ло! =! + б, где Хо — та точка спектра, для которой !Ло!) 1. Задавшись произвольно числом К, выберем р и е так, чтобы выполнялись неравенства (1+ 6)Р > 2К, +с+с + + СР )е> 2' 1 По определению точки спектра семейства операторов (Вл), можно указать сколь угодно малые положительные и, при которых существует вектор и ен Ул, являющийся решением неравенства (9) 1! Юли — Хои 11 < е 11 и 11.
Положим Вли = Кои+ г. (10) Ясно, что 1г! <а!!и!1. Далее, из (!0) можно вывести, что Или =Хоп+(Хв г+ Хь Йлг+ .. ° + ЙГ г) Поскольку 1)оо1> 1, то ~М 'г+ЛР 'й г+ . +И 'г~~< <1Хо !'(1+1)(а!1+ !~Ы!!+ ... + ~~Я '~!) а!!и!1, а следовательно, !!йлии!!)1)ло 1~~1 — е(1+ с+ с + ... + со ')]1!и!! > >(1+6) д 11и11)2К 211и11=К!1и!!. устопчивогть ((сслмосОПРяжан((ых ЗАдлч (гл. (4 400 Число й во всем этом построении можно считать настолько малым, чтобы р было меньше, чем р4(п).
Ввиду произвольности К доказано наше утверждение о том, что расположение всех точек спектра семейства операторов ()44(,) внутри или на границе единичного круга (Л(< 1 необходимо для выполнения оценки (!)4л(! < К. 4. Обсуждение понятия спектра семейства операторов (!сь).
Начнем с того, что обратим внимание на аналогию между определением точки спектра семействаоператоров ()4(,) и следующим определением точки спектра какого-либо оператора Й, которое приводится в курсах функционального анализа. Мы будем в качестве Й брать оператор Йл прн некотором фиксированном Ь. Точка Л на комплексной плоскости называется точкой спектра оператора Йь, если при любом положительном е неравенство !!г(„и — Ли!!< е!!и!! имеет решение и, принадлежащее пространству К, на котором определен оператор !Ал. При сравнении определений точки спектра семейства операторов ()(А) и точки спектра оператора )4А может возникнуть мысль, что спектр семейства ()АА) состоит из тех точек комплексной плоскости, которые получаются путем предельного перехода при и -+ О из точек спектра оператора )хл, когда й — О по всевозможным подпоследовательностям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
