Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Ясно, что должны быть выполнены условия согласования з(»(0) = ф(0), фр(0) = ф(1). В силу условий задачи и =(иц) задано, а функции и', и', ... можно последовательно вычислить. Для этого следует переписать разностное уравнение из схемы (7) в виде ар+' = (1 — 2г) иц + г (и", + иц ) + т~р», констРукция ОпеилтОРл пеРеходА 368 [ГЛ [3 При таком выборе оператора Ргл сеточная функция РР из Е/л, РР = (Ра~ Р~[ю ° ° ° 1 Рй) определится формулой Р /Ф! ([Р+1) Ф~ ([Р) $2 ([Р+1) Ф2 ([Р)) '«~ ° '«,и~ н т р = О, 1, ..., 1Т)т! — 1. Этим мы закончили приведение рассматриваемой разностной схемы (7) к виду (3).
Мы собираемся использовать запись разностных краевых задач в этом виде для исследования устойчивости. Но для того, чтобы неравенства (6),означающие устойчивость, имели смысл, должна быть определена норма ))1[л)((р„. В нашем примере разностная краевая задача (7) записывается в аиде (4), если положить и'+' — и' т ип1 иР, — гиО +и,"„, т=1, 2, ..., М вЂ” 1, ЬР р =О, 1, ..., (Т!т! — 1, р =О, 1, ° ° ., (Т(т! — 1, в[=0,1,..., М, ии+ [ о иР+' и ио лв1 ф(х, (р) [и=1, 2, ..., М вЂ” 1, ф[((Р+~), р = О, 1, ..., (Т~т! — 1, ф,((„[), р=О, 1, ..., (Т)т! — 1, ф(х ), и[=0„1, ..., М. Норму 11[а) ((Р„определим равенством )! ) [л[ )(Р, = гпа х ! ~«(х, г ) ! + гп ах ! ф (х ) ! + РЧ р Ш ! ~«1( Р+>) '«1( Р) ~ 1«- '( Р+1 «2 Р + гпах ~ ~+ гпах т т Р 2. Устойчивость как равномерная ограниченность норм степеней Йл.
Сформулируем теперь два условия, соблюдение которых прн приведении какой-либо разностной схемы (4) к виду (3) позволяет утверждать, что в случае справедливости неравенств (5) есть устойчивость. У с л о в и е 1'. Име~от л[есто неравенства !! РР (! < Т([())["[()Р„ где Кь не зависит от Ь и 1[[о, а р пробегает все те значения, при которых РР имеет смысл. КО11СТРУКЦНЯ ОПЕРАТОРА ПЕРЕХОПА 370 ~ГЛ.
1З Учитывая условия 1' и 2', в силу которых $ р' $ < К, $ /1м )$,„. 1 = 9, 1, .... р, — 1, $ и')) < К,$ /м $Р„, оценку (12) можно заменить следующей: )) и $) < (КК, + Тр К К1) $ /кч $Р < К (К1 + ТК1 ) $ /'"' ))РА = с $ /'"1 $ где число с = К(КА+ ТК1) не зависит от й и /~А~. Устойчивость доказана. Воспользуемся установленным достаточным признаком устойчивости и покажем, что разностная схема (7) при г = т/й < 1/з' устойчива. Именно убедимся, что для оператора /тл, который мы ввели по формулам (9) при приведении разностной схемы (7) к каноническому виду (3), выполнено неравенство $) /А1л )) < 1, а значит, и неравенство $/А1А~)) < $ ЯА $' < 1.
При г < '/з имеют место оценки )Ь,) =)ае)(щах) а ) =$а)$, )Ь )=)(1 — 2г)а +г(а 1+а +))~( <(1 — 2г + 2г) щах) а ) =$ а)$, )Ьм) =) ам) <гпах) а ) =1 а$. Из этих оценок вытекает, что $ Ь $ = $ /авиа $ < $ а)), т. е. $ ЯА $ < 1. Итак, при г < 1/з достаточный признак устойчивости выполнен.
Можно показать, что если постоянная г = т/Ьз ) '/,, то достаточный признак устойчивости не выполнен. Возникает вопрос, не теряется ли устойчивость и в общем случае, когда неравенства $)/А1А)~ < К, р = 1, 2...., (Т/т), перестают быть верными. Оказывается, что действительно справедливость неравенств )~/ТАР~)< К необходима для устойчивости, если только выполнено некоторое условие 3', которве мы сформулируем сейчас в общем виде и которое выполнено для рассматриваемого примера. У сло вне 3'.
Пусть разностная краевая задача (4) приведена к виду (3). Возьмем какую-нибудь функцию вп из (/А и построим сеточные функции и', й~, ..., йР, ... по рекуррентным формулам иРА.1= Я йР. Совокупность сеточных функций (и')' р = О, 1, ..., (Т/т~), каждая из которых принадлежит (/й, образует некоторую сеточную функцию й~А> из пространства 1/А Вычислим для нее 1'"', зт! з»пись о»зностных ко»гвых з»д»ч 4 лп Будем говорить, что при приведении разностной схемы (4) к каноническому виду (3) выполнено условие 3', если справедлива ол(енка вида 11 Р' 1!е„( Кз 11 й'!!.
где постоянная К, не зависит от и' из ело и не зависит от Ь. Убедимся, что в описанном выше приведении разностной схемы (7) к каноническому виду (3) условие 3' выполнено. Действительно, задавшись произвольной функцией йо=(йо ), получим При нашем выборе норм имеет место равенство 1! У~») !1„— 11 йо!! Докажем теперь, что если при приведении разностной схемы (4) к каноническому виду (3) выполнено условие 3', то для ее устойчивости на отрезке 0 ( л ( Т необходимо, чтобы выполнялись оценки (5): )!Я~ < К, р = 1, 2, ..., (Т/т], где К вЂ” какое-нибудь число, не зависящее от й. Если сформулированный признак не выполнен, то при .любом К можно указать такие 6, ро и сеточную функцию и', что $~)(» »йо!(> К!иоу (!!и»~$! > К~и~/$) Т:остроив по ио векторы йо(!!ил !!> К!!и»1!) и образовав из йл сеточную функцию лй»~, мы из условия 3' заключаем, что для нее !1~,»>!!(К»!но!1 ()ш, = 7»лй»)) З то же время 1! й~"' !)л — — шах !! й о 11 ) ) йо ! > К 11 ио 1!.
Р Отсюда ясно, что 11 «' 11о» > кз !!('"'!!". Это неравенство из-за произвольности К и означает неустойчивость. Теперь подведем итог рассмотрениям этого параграфа. Мы показали, что, приводя разностную схему Т»и1»~ = )ч»~ к виду (3) и»+ ' = )л»и' + т р', и' задано, констеукпня огсеелтогл пеРеходл зтв сгл. сз можно использовать затем оператор )гл для исследования устойчивости. Именно, доказана следующая Т е о р е м а.
Если при приведении разностной схемы (4) к виду (3) соблюдено условие 3', то для устойчивости необходимо, чтобы выполнялось неравенство 11Лй) < К, р = 1, 2, ..., (Т)т), (13) где К вЂ” некоторое число, не зависящее от и. Если приведение к виду (3) проведено с соблюдениелс условий 1' и 2', то оценки (13) достаточны для устойчивости. Мы должны обратить внимание читателя на то, что обычно расслоение сеточной функции ис"> и приведение разностной схе- мы к каноническому виду (3) могут быть проведены несколь- кими различными способами.
Однако мы не будем на этом по- дробно останавливаться (см. $14, где этот вопрос обсуждался в случае разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений). 3. Пример. В заключение параграфа рассмотрим неявную разностную схему ил+с — ии ни+с — 2ии+с + асс+с ы лс "си-С "си лс+С и т ас — сР,ис ос=1, 2... М вЂ” 11 Р=О, 1, ..., (Тст) — 1, 1 (14) иа =ф, ос=О, ..., М, ц+' = ф, (1~~,), ий+' = ф (1,), р = О, 1,, (Т)т) — 1, для задачи о теплопроводности дсс д'и — — — =ср(х 1), ! дг дх' и(х, 0) = ф(х), и (О, 1) = фс (1), и (1, С) = ф, (1), 0<1<Т, 0<х<!.
Мы подробно рассматривали зту схему в $28. Примем за ия вектор ни =(ио„иис, ..., и'„) с нормой )илс1= =шах)ий,~. Решение на (р+!)-м слое запишем в виде суммы ни+с = пи+с + три, где ил+с =(пи+с пи+с, пи+с) н ри — (ри ри ри) в свою очередь являются решениями вспомогательных систем ЗАПИГЬ РАЗНОСТИЫХ КРАВВЫХ ЗАДАЧ !) 4н ЗТЗ уравнений ор+! ир — 4!р г( ) го'+ ' — (1 + 2г) ор4 ! + го'+' =. — ир, т-!- ! р! т-! р!' 4и =- 1, 2, ..., М вЂ” 1, ор+' = ир = 4)4, ((,), ((б) 4(! 0р+!) — 4('! ((Р) рр 0 т (17) Первую из этих систем можно считать определением оператора 444, и положить ор+! — р! ир А Если (!(!А!((Р„определить по-прежнему равенством (1О), то выполнение условия 1' 1!р')((К !(Р'!! „ вытекает из оценки Ф (!Р+!) — 4(!! (!Р) ! ! 4(44(!р+!) — 4)ь рр) 1 !! рр !1 ( шах шах)!рР ! ) справедливой для решения (р') системы (17) в силу оценки (7) $4.
При этом К! = 1. Условие 2' )!ир!(~ Кз!!)!А ()РА также выполнено в силу (10), ибо и' =4Р, причем, очевидно. можно положить Кз = 1. Далее, в 5 28 была доказана оценк4 )оР+!)~(шах~ирРт), которую можно истолковать как неравенства 1!)7ри!(~!(и)1, !!(7А!!(1, откуда Х1<К =1.
Мы сейчас повторили схему доказательства устойчивости из $28, показав, что она совпадает с предлагаемой здесь. Рассмотренный пример интересен еще и в том отношении, что в нем используется довольно сложный способ конструирования век. тора рр. гр",, — (1+ 2г) р" + гр„',, =- !р', ги = 1 4(!! (!р+ ) — 4(!! 0р) рм = 1 2, ..., М вЂ” 1, ) 1 ггл гч коистихкция опнрлторл ппрпходл ЗАДАЧИ 1. Для системы уравнений акустики " + А —" (х, (), — оо < х < оо, О < Г < г", д( дх и(х,О)=ф(х), — со<х<со, привести к каноническому виду (3) схему М ' — и,» и»",4, — и,"„ »ь~ » +А 2Ь ? (") — 2»" +и !)=9[х Г ) 4 = ф(х.) приняв н' = (им»].
Проверить, что при выборе норм по формулам ! иф) [ыа = ГнаХ! и» [[, Ц(!в [[и„= ГнаХ[йфй, ГнаХ[[, Ог! [[], и » [[на [[г = Х(! 4."Г+ ! в.!2), Цфй Хч[фг(тй)! +[фа(г»й)!) ]гупи ! =~ (! ег (х, гр)( +(4г(х»ь(р) ! ) выполнены условия приведения !' — 3'. Доказать, что при г < 1 разностная схема (*) устойчива, а при г ) ! неустойчива. У к а з а н и е. Для оденки норм [[гта»][перейти к переменным уп'=4 +в, у!я!=4 — в, »г»г»г»г»г г» называемым римановымн инвариаитами, и воспользоваться спектральным .признаком п.
4 Ц 25. 2. Разностнуго схему т' йг %»г р=(,..., [Тг'т! 1 4,„= фз (Х»г), 4»г = т% (Х,„) + фе [Х»г) Г» = О ~ 1' ' 375 НСПОЛЪЗОВАНИЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ з 4г] аппроксимирушшуш задачу Коши дго д'о — — — е=м(х,с), — <х<, О<(<т, дп дхе до(х, О] и(х, О) = тра(х), ' = Е, (х), — оо < х < оо, дт привести к наноническому виду (3), положив !(, л!(г ~ ~, и ~г ((,~ )!г ~" ),р (, ) (г )и~м!)са = шах)и !(, и )/'А'()РА=!! ре)(+!!тр11+ ' 1р'!!. и а) Проверить, что выполнены условия à — 3'. б) Доказать, что при т/Ь с < 1 схема устойчива, а при т/Ь = г > Г иеустоичива ф 42. Использование частных решений нри конструировании оператора перехода В ф 41 рассказывалось о приведении разностной краевой задачи /.Аипп — /~А> (1) к виду иа+' =/тлиа+ тра ио задано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
