Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Теорема 3 доказана. Доказательство теорем ы 4. Для всякой функции я ее яу функция т) = гв — о удовлетворяет условию леммы, а значит, и неравенству (12). Если учесть равенство (8) ~~~( и ) + ( — и) ]дхду+ ~ о(в)т)'с(з =l(и) — а'(и), (8') и г 1 Лоназательство. Положим а(а)=не= —. Лля фуиипиа Ь вЂ” а в(х У) = ч(х У) ье 37, удовлетворяюпгнх дополнительному условию Е).=ч),= =О, неравенство (121 примет вид 12!), где а =Р = 2!Ь вЂ” а)А вхяи~ционныв и пвоекционныв методы Ззб то (12) можно записать в форме ~~ ( — и)'-'г(х~(у((1(У(М вЂ” У(в)).
(12') о Складывая (8') и (!2') почленно и отбрасывая в левой части неотрицательное слагаемое ~ п(з) т)ч г(з, получим неравенг ство (11) с постоянной 8 = )) + 1. Теорема 4 доказана. 3. Вариациониый метод Ритца. Из теорем 3 и 4 в силу неравенств (10) и (11) следует, что приближениями для решений и и о краевых задач (А) и (В) могут служить те функции гв из числа допустимых (в е= )г' и гв1г =ф(а) для задачи (А) и и ~ )Р для задачи (В)), на которых функционалы У(в) и У(в) принимают значения, близкие к минимальным значениям этих функционалов У(и) и У(о) на соответствующих классах допустимых функций. Для фактического отыскания приближенных решений Ритцем в 1908 г.
был предложен прием, который мы изложим сначала применительно к задаче (А). Для удобства изложения будем считать, что в краевом условии (А) гр(з) = О, так что и1 =О. К этому приводится общий случай ~р(з) чв 0 путем перехода к искомой функции й, и = й+ й, где й(х, у) — какая-нибудь дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая краевому условию 61г =~р(з). Формальная схема отыскания приближенного решения по методу Ритца состоит в следуюшем. Обозначим через )г' линейное подпространство всех функций в ец )Р, удовлетворяющих граничному условию в1г = =О. Зададим натуральное У и фиксируем какие-нибудь М линейно-независимых функций в",'(х, у), в~(х, у), ..., в~к(х, у), (22) удовлетворяюших условию 1г (23) Рассмотрим теперь )т'-мерное линейное пространство В'~ все возможных линейных комбинаций функций (22) гв (х, у, ап ..., а ) = ~„а в~я, л ! где аь, а„— произвольные вещественные числа.
Будем искать теперь вместо функции в = — и, придающей минимум функционалу у(гв) на пространстве йг, такую функцию гв„(х, у, аь ..., ан), которая придает минимум функционалу У(в) на множестве всех функций из Аг-мерного пространства зза влвихциоино- и пвовкционно-вхзностные схемы П л и Яуи. Эту функцию н!и(х, у, а!, ..., аи) = — Ыи(х, у) и примем за приближенное решение при сделанном выборе й! базисных функций (22). Задача об отыскании функции й, (х, у) несравненно проще задачи отыскания точного решения и(х, у). Действительно, ..||-][[( —,', ~ ...:),- о '"и, !т 2 и .~.(д ~ Р„"]]л шУ-!-2][!(1, )и !у, л ! о л=! (24) и речь идет об отыскании й! чисел а!... аи, придающих минимум функции! [и!„(х, у, аь ..., а„)] от У переменных.
Покажем, что такой набор чисел а,, аи существует. Первое слагаемое в правой части выражения (24) есть квадратичная форма от а!, ..., аи. Ввиду линейной независимости системы функций (22) эта форма при ач „-й О строго положительна, так как в противном случае она была бы прп некотором наборе чисел а„иьО равна нулю и мы имели бы в силу (2!) откуда, вопреки линейной независимости, а„!а„"(х, у) — О.
ч Из-за доказанной положительной определенности квадратичной формы выражение (24) имеет единственный ь!иннмум. Этот минимум достигается при тех значениях а~ = аьч а = 1... й!, при которых и)] =О, и=1, ..., й!. (25) дал г-! а = — ~~)!а„'"г(хг1у, и =1, ..., У. (25) о Подробно линейная система уравнений (25).относительно чисел аь ., аи может быть записана в виде вхгиацнонныа н пеовкционныа методы ззт Для более краткой записи этой системы и удобства речи в дальнейшем наряду с нормированным пространством Ч7 рассмотрим линейное пространство йт, состоящее из тех же функций, что и ))т, но со скалярным умножением (и', га") Дм (ш', и") = — )) ( а л + а а ) ахг(у+ ~ о(з) ш'и" сЬ, (27) о г где о(а) ) оа ) Π— какая-нибудь фиксированная функция.
Это скалярное умножение индуцирует норму 1~и 1!и в пространстве У по формуле ) ш (~у = (ш, ш). (28) Обозначим )т' подпространство функций и ен У, удовлетворяющих условию ю 1г = О. После введения скалярного умножения система (26) благодаря условию ш~( = О примет вид ~ а, (ых, вх) =- — ~~ )га~а Нхг(у, и =!, ..., У. (29) Заметим, что матрица системы (29) )(х а) (х сам есть матрица Грама системы линейно независимых функций (22). Как известно из курса линейной алгебры, ее определитель отличен от нуля. Решение а„= а„, а = 1, ..., Л~, системы (29) и доставляет функцию ш,„(х, у) = ш, (х, у, а„..., ам), которую принимают за приближенное решение. Функция га„допускает простое геометрическое истолкование.
В силу (4) и (27) имеем 1(шх) — 1(и) = (шх — и, шх — и). Далее 1(шл) — 1(и) = пнп [1(ш) — 1(и)] = Ю В Ея' п11п (и — и, гв — и) = (гв,д — и, шм — и). -' В в ~В" л 338 ВАРнлционно- и пРОекционнО.РАзнОстные схемы [гл. 12 Таким образом, ии есть тот элемент линейного А!-Мерного пространства ЯУ", натянутого на базис (22), который наименее уклоняется от и в смысле нормы (28), т. е. йи есть проекция решения и в надпространство В' в смысле скалярного произведения (27). Мы закончили формальное изложение схемы Ритца для отыскания приближенного решения. Выясним теперь, от чего зависит близость приближенногорешения йи = ил,(х, у, а„..., аи), найденного по методу Рнтца, к точному решению и задачи (А), в которой мы условились считать гр(з) = О. Понятно, что число |! й„— и !!тг зависит от выбора базисных функций (22). Если бы, например, базисные функции (22) были выбраны так (невероятный случай!), чтобы функция и оказалась одной из функций У-мерного пространства )Р'", натянутого на базис (22), то приближенное решение йи совпало бы с точным решением и.
В самом деле, 1(ии) — 1(и) = пцп (1 (и) — 1(и)) =1(и) — 1(и) = О ВИУ и в силу теоремы 3 !!й„— и!!м(а(1(йи) — 1(и)) =О. Однако функция и нам неизвестна, а известны только некоторые ее свойства, которыми обладает не только она, но и целый класс У функций. Например, пусть известно, что вторые производные функции и непрерывны и ограничены постоянной М.
Тогда класс 1! состоит из всех дважды непрерывно дифференцируемых функций, вторые производные которых не превос. ходят М и которые удовлетворяют условию и ! = О. Напомним, что для решения и и любого и ~ 67 ! (и) — 1 (и) = (и — и, и — и) = ) и — и !!',, и в силу теоремы 3 ()и — и)' (а!)и — и!!'. Поэтому выбор базисных функций надо по возможности осуо гцествить так, чтобы для каждой функции а ее Ус Ф нашлась й м) ВАРиАционные и ПРОгкционные метОды 339 функция изной(гн, «близкая» к ней, т. е. такая, для которой ()гвн — о(1 «мало». Тогда, в частности, будет «мала» величина ) Фн — и1„, = ппп [/(ш) — 1(и)) = пнп (пг — и, гв — и), о о а вместе с тем будет «мала» и величина 1вн — и((к.
((йн — и((т::;а1Эн — и1 Говоря точно, наилучшим был бы такой выбор функций (22), при котором число о Кн =Кн(У, ((Ун) = Япр пнп 1)ги — п(1. (30) П о и' »я йн о было бы наименьшим возможным. Обозначим хн(У, ((7) число х,(У, В") = 1п1 КА,(У, ((тн) = !п1 Яцр пни()гв — о ~1 . о о н н Ф' вг сиl нг ° ° °, Оэн оси мсвг (31) Это число называется й(-мерньгм колмогоровским поперечником класса функций У относительно нормированного пространства о ((те: Ф. Очевидно, что наилучшим выбором функций (22) был бы такой, при котором число (ЗО) совпадало бы с поперечником о А. Н.
Колмогорова хн(У, ((т). При любом е ) О сушествует, очевидно, набор базисных функций (22), для которых 1(йн) — ((и) = (( ген — и Ц ( о о ( Ьпр 1п1 11 гв — й 1(т = Кт (У, М7н) (х' (У, Ф) -(- в. а-и гт гч-мерный поперечник хи(Х, У) А. Н. Колмогорова множества Х, лежащего в линейном пормнрованнном пространстве у относительно этого пространства определяется формулой х (Х, у) =(и( Япр ппп йр — л йт гнст ясх омгн где У" — произвольное фиксированное АГ-мерное линейное лгногообразие (ги- перплоскость). 340 влпиационио- и пиоекцпонно Рлзностные схем!я (гл 1з Поперечники сосчитаны во многих случаях.
В частности, известно, что для класса всех функций о, в1(г — — О, имеющих ограниченные некоторой общей константой непрерывные вторые производные (32) (33) При учете дополнительных сведений об искомом решении и, найденных при предварительном анализе задачи или в результате опыта решения близких задач, сужается класс ((, а при о этом поперечники нл ((г', (е), йг = 1, 2, ... могут только уменьшаться. Поэтому искусство и опыт вычислителя состоят в том, чтобы уметь выбрать узкий класс (/, содержаший искомое решение и, а затем выбрать при заданном Л' базисные функции (22) так, о чтобы число Каг(((, В™), введенное равенством (30), не слишо ком сильно превосходило й(-мерный поперечник н„(((, Ф).
Тогда в правой части неравенства е [ аглг — и [(-' < а [1 (аг и) — У (сс)) = а ([ й„— и [[' ( НК~~ (У, (ел) будет стоять число, близкое к нт„-(((, (Р'), которое с ростом У стремится к нулю, и притом тем быстрее, чем уже класс У. Если произвести достаточно полный учет особенностей решения и, которые удалось выяснить до вычислений, а затем в соответствии с этим хорошо выбрать базисные функции, то достаточно точные приближения получатся уже при малых значениях йг. Но объем вычислительной работы, которая состоит в вычислении коэффициентов и решении системы (26), зависит именно от й(. Таким образом, получится экоиомиый вычислительный алгоритм.
Проиллюстрируем применение метода Ритца еше одним примером: рассмотрим задачу (В). После того, как система базисиых функций (22) выбрана, ишем приближенное решение агп (х, у, ан ..., ал) = ~ алю~' (х у) л 1 в пространстве )Угвг всех линейных комбинаций, подбирая по- стоянные так, чтобы выражение 1[гпгг(х, у, а„..., ал)] ВАРИАННОнные н пРОекционные методы 341 приняло наименьшее значение. Для этого числа аь ..., аи надо определить из системы уравнений д1 (а!х(х, У, а!, ..., ~А!)) = 1, ..., Л!. (34) даа Будем считать, что в определении (27) скалярного умножения функция о(з) совпадает с той, которая входит в краевое условие задачи (В). Тогда система уравнений (34) примет вид а! (в',~, в") = — ) ) )в~и !(х а!у + ~ !р (з) ви г(з, и = 1, ..., Аг.
(35) ! ! о г Решение этой системы аа = а„, и = 1, ..., А!, и дает искомое приближенное решение и!и задачи н!х(х, у) = ~ а„в„(х, у). а=! Для функции й!А! вне и решения о задачи (В) в силу равенства (8) У(шА!) — 7(о) =(йА! — о, и!А! — о)(гпах гп!и (и! — б, и! — б), а я у в ~ а!А! где У вЂ”.тот класс функций, которому принадлежит решение о задачи (В). Из последнего неравенства видно, что базисные функции в!, ..., в~ надо выбирать так, чтобы правая часть.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
