Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 47
Текст из файла (страница 47)
44. образно. Действительно, при таком увеличении правая точка Лправ будет продолжать приближаться к нулю, но зато левая, которая ста. нет больше нее по модулю шах!Л„(= — Л.„„будет удаляться от нуля. При том т, при котором Лп„= — 1, и при ббльших т погрешность ар вообше не будет стремиться к нулю. Итак, оптимальное т = 694 находим из условия (14). При этом МЕТОД УСТАНОВЛЕНИЯ т ээ! зов Поэтому для уменьшения нормы первоначальной погрешности а'=(В'„) в заданное число е раз требуется проделать такое число р шагов итерационного процесса (4), чтобы (1 — 2з!п'гМ)' (е Отсюда 1 2М' ят и! 1п (1 — 25!и — ) 2М )  — ЕУ и" — А В ! А ВУ т/2 кк к!к ' уу к!а! ЕУ+' — Э т/2 к,к гкк+ уу тк ° а„! =Ву ( 0 ео =фо(х, у„) — и „.
(15), Решение задачи (15) было выписано в виде конечного ряда Фурье в $ 27. Как и для задачи (9), оно имеет вид (10): е' = Е(,.2;,) ф1О*!. где с„— коэффициенты разложения начальной погрешности в = ~, с„ф"'" в конечный ряд Фурье, но числа !!,„На которые умножается ГарМОНИКа ф1г '! Прн ПЕрЕХОдЕ От Еу К Еу+!, тЕПЕрЬ друГИЕ: 'т 2М г' (, 2М) 1 — 2 ТМэ э1п' — ( 1 — 2тМ э1п— пгниг 2 ' Э ( 1 + 2тМ' э1п! — ! 1 1+ 2тМ' э1В' — 1 2М / А 2М / Как и при анализе сходимости схемы (4), выполнено неравенство (13): —,, „(((!пах) йгэ ()~, !!Ву)! ок Подсчитаем число арифметических действий, необходимых для уменьшения ошибки в е раз. На каждый переход от иу к иу+! требуется сМЭ арифметических действий.
Поэтому их общее число срМ' = 0(М'). 3. Схема переменных направлений. Займемся теперь исследованием поведения погрсшности ек =(ВУ„) для схемы (6) . Аналогично предыдущему убеждаемся, что погрешность в!' в этом случае удовлетворяет разностной краевой задаче 1гл, и ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ З1О причем равенство достигается при некотором специальном задании зо — (зо ) Из выражения (16) для Л. видно, что прн любом т выполнено неравенство !Лге! ( 1 и, следовательно, имеет местостремление !!Еп!! к нулю.
Далее, Л„= Л„° Л„где пь 1 — 2ТМ' 5!и'— Л— 2М Й=1,2,...,М вЂ” 1. ь— пь 1-1-2ТМг 51пг— 2М Поэтому гпах! Л„! достигается при г = з = т', где т' — тот ног, г мер, при котором величина !Л„,! максимальна. Очевидно, что функция у = (1 — х)/(1 + х) монотонна.
Поэтому 1 — 25Мг вгп'— Л 2М л 1 + 2ТМг 51пг— 2М лежит между точками 1 — 2ТМ сов 2М Ллев 1 + 2ТМ' сов'— 2М 1 — 2ТМ' в!и'— 2М Лере в 1+2тм 51п' —" 2М на вещественной прямой. Увеличение т вызывает сдвиг точек Л „и Л,р„влево. Поэтому значение щах! Л,! будет наименьв 1 шим при том т, при котором — Л „= Л рвв, т. е. притек ЗГ2 ЛМ В этом случае !пах! Л„! =1 — „+ О ( —,). 'Ч2п 1 Для уменьшения нормы погрешности !!Еп! в заданное число е раз по сравненшо с первоначальным значением нормы погрешности !!Ео!! число шагов р должно быть найдено из условия 1 — — ) (~е ', откуда ( )' ЛЗ/2 г~ р===о(м).
М п.т!2 зи метод гстхновлвния 5 35! Каждый переход от иг к игм требует сМ' арифметических операций. Следовательно, общее число арифметических операций для уменьшения ошибки в е раз будет 0(Мз), а для уменьшения в заданное число й раз будет 0(М'1п й). Мы видим, что при больших М второй из рассмотренных нами процессов установления, использующий схему переменных направлений, приводит К уменьшению ошибки в заданное число раз ценой меньших затрат арифметических действий, чем метод установления, основанный на использовании простейшей явной разностной схемы (4): при достаточно больших значениях М (при мелкой сетке) схема переменных направлений оказывается выгоднее.
4. Выбор точности. Сделаем замечание о точности, которой следует добиваться, решая задачу (1) методом установления или другим итерационным методом, дающим последовательные приближения и', и', ..., иг. Разностная задача (1) аппроксимирует задачу (2) на гладком решении и(х,у) с порядком йв = = 1/М'. Поэтому точное решение ипч задачи (1) отличается от искомой таблицы [и]ь на величину порядка 1/Мз. В связи с этим нет смысла вычислять решение изо задачи (!) с большей точностью. Если считать, что нулевое приближение и' = фз задано с погрешностью порядка 1, то число й, в которое мы хотим уменьшить норму погрешности, должно быть выбрано порядка М'. добиваться уменьшения первоначальной погрешности более чем в 0(М') раз было бы нецелесообразной затратой вычислительной работы.
При вычислениях на конкретной фиксированной сетке практически итерируют до тех пор, пока последовательные приближения ип, ип", ... перестанут меняться в пределах удовлетворяющей нас точности. 5. Границы применимости методов. Разностная схема (4) и анализ убывания ошибки, проведенный нами, переносятся иа разностные схемы, аппроксимирующие другие краевые задачи для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами в области с криволинейными границами.
Важно только, чтобы оператор Лю аналогичный оператору — Ль = — — (Л„+ Л„„) в схеме (1), рассматриваемый на сеточных функциях, удовлетворяющих однородным граничным условиям, был самосопряженным и чтобы его собственные значения Р, были одного знака: 1) ч. Рп~!и ч. Р ! ( Ртах В этом случае для анализа используются конечные ряды Фурье не по функциям со м ° лг ° пз = 2 з)п — з!п —, М ' ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (гл. и 612 а по ортонормальной системе собственных функций этого само- сопряженного оператора Лю Факт существования и полноты такой системы собственных функций известен, а их конкретный вид нигде не используется.
Разностная схема (6) переменных направлений выдерживает обобщение на случай задачи Дирихле с переменными коэффициентами в области с криволинейной границей. (Однако ана.лиз Фурье становится невозможен.) В случае краевых условий ди ~ вида ам+ 6 — ~ = ф прямое обобщение схемы (6) не приводит ди !г к распадению алгоритма на одномерные прогонки. ЗАДАЧИ 1. Написать по аналогии с рассмотренными схемами (4) и (6) явную и .неяииую схемы решения устаноилеиием задачи Дирихле а) для уравнения Лапласа с переменными козффициеитами: д Г ди1 д Г ди 1 — (й~ (х, у) — 1+ — (йт(х, у) — 1=0, 0(х, у~) дх ~„' дх.) ду ~„* ду1 и(г=ф(х у)(г б) для квазилинейного уравнения — (й, (и) — 1+ — ) йт (и) — 1=0, 0~(х, у ~1, дх (.
' д»1 ду Г ду1= и )г = ф (х, у) )г. 2. Поназатгь что в методе переменных направлений для решения раз. постной задачи дирихле А»хилл + Ааиижя = $ (хиь уи), ш, и=1,2,..., М вЂ” 1; Ма=1, и , !Г = ф (». у)!Г итерациями можно выбрать итерационный параметр т так, чтобы после первой же итерации разложение погрешности е" в конечный ряд Фурье не со.держало любой наперед заданной гармоники фо ц $36. Итерации с переменным шагом 1.
Идея Ричардсона. Механизм сходимости простейшей схе- .мы установления (4) $35 и"+.' — ижи Ф'1г =ф( -.) и" „=ф,(х, уи) З1З ИТЕРАЦИИ С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ (2у с итерационным параметром тра ь зависящим от номера итерации. Ричардсон указал приемлемый, но не оптимальный набор параметров (т„). Изложим результаты об оптимальном наборе итерационных параметров (т„) и оценке скорости убывания нормы погрешности !!Ер!!. В силу формулы (3) очевидно, что коэффициенты Фурье се, погрешности е" на й-м шаге выражаются через коэффициенты Фурье с,', начальной погрешности е' по формулам с,",=с,',П(1 — т1А,), г, з=1, 2, ..., М вЂ” 1.
Введем обозначение ЯА(!А), положив ЯА (р) = — Х (1 — тгр). / 1 (5) состоит, как мы видели, в погашении каждой из гармоник ф!" !!, по которым разлагается погрешность е' „ = и „ — и' „ нулевого приближения в конечный ряд Фурье. Если еР = ~". с,г,ф' ', и! то коэффициенты Фурье погрешности следующего приближения р+! к р+!,(г, з! е =д с„ ПЯ выражаются через ср, по формулам (см.
(10), (11), $35); с,'+' = (1 — тр„) с!'м где 1А„= 4М' (з)п' — „+ з!п' — ) . (3) При фиксированном выборе т не все гармоники погашаются одинаково быстро. Более сильно погашаются те гармоники ф!" '>, для которых множитель погашения Х„, — = 1 — т1А„ближе к нулю, т. е. те, для которых рм 1/т. Это наводит на мысль от шага к шагу менять параметр т, чтобы поочередно хорошо гасились все гармоники фо '>, и в результате за несколько шагов все гар- моники гасились бы более или менее равномерно.
В этом состоит идея Ричардсона для решения самосопряжен- ных линейных систем уравнений с матрицей, все собственные значения которой имеют одинаковый знак. 2. Чебышевский набор параметров. Итерационный процесс Ричардсона задается формулами ир+' =иР„+т +,(Леи"„— (р1х, у„)~, ! т,п=!,2,..., М вЂ” 1, (4) иР+'( =ф(з „); (и" ) задано ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ !гл, и Тогда )(ва!)г= Х !сь !2= Х1Я,(!г )са !2( ~~тах~Я„(!А,)) 2 )с'„~'=шах~94(!4„) ~ (!еа!)2 Очевидно, что неравенство !!аг!!(~шах(Я4(!А ) ! ° (!аа!! Г, Я при некоторых аа становится точным равенством. Числа !г„„за- даваемые формулой (3), разбросаны по отрезку а=9,„(р(р =Ь, (6) где а = !4„„„= 8М'з!п' —" = 2иг, (6') Мы пе будем опираться на фактическое знание чисел р„„так как это — случайное обстоятельство, имеющее место только для нашего примера. Будем пользоваться лишь тем, что известны границы а и Ь отрезка (6), на котором они лежат. Поэтому, задав /г, поставим задачу такого определения итерационных параметров ть тг,, т4, чтобы среди всех многочленов ЯА(!4) степени й, удовлетворяющих условию Я(0) =1, многочлен (5) на отрезке а < р ( Ь наименее уклонялся от нуля: Я' = гпах )Я (!А) ~ минимально.
(8) а<а<а Эта задача теории аппроксимации функций решена в 1892 году А. А. Марковым. Искомый многочлен ЯА(!4) = ТА(!А) выражается через многочлен Чебышева (см., например, В. Л. Гончаров, Теория интерполирования и приближения функций, М., 1954) Т,(х) = — созйагссозх— = — !(х+ 1/хг — 1) +(х — 1/х' — !) 3 ! 4 4 наименее уклоняющийся от нуля на отрезке — 1 < х < 1 среди всех многочленов степени й, с коэффициентом единица при ха.
Именно, если сделать линейное преобразование Ь+ а — 2и (9) Ь вЂ” а итвадции с пвгнмннным шдгом 315 переводящее отрезок а < р < Ь в отрезок — 1 < х < 1, а точЬ+а ку )» = 0 в точку хр —— , ) 1, то Тд(х) (х+ ЧГх~ — !) + (х — ЧГ»2 — 1) (ха + п/х~ — 1) + (ха — ~/ха — 1) НабоР итеРационных паРамсгРов ть тг, ° ., ть пРи котоРых возникает многочлен (10), определяется из условия, чтобы нули р, = )гт) многочлена тд(р) при преобразовании (9) переходили в нули х; многочлена Чебышева Тд(х): 2 1 Ь+а — (Ь вЂ” а) х У хг — — соз 2», 1=1, 2, ..., Й. ) а (2! — 1) Далее, из (9) получаем ха = Ь = 1 Ч = 1 + 22) + 0 (21'), Ь+а 1+я а $~сп$п Н» (13) Поэтому при больших М х, ~ чгх2 — ! = 1 ~ 2 1/2) + 0 (2)) откуда, с учетом (13), следует 2 (! + 2 чгч + О (ч)]д + 11 — 2 зги + О (ч)] — 2 ' (е»1п(1+22гч+огч)) ! е»гп(1 — 2пгч+о (ч))) ж 2: (ед"'и + е дпгм].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
