Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В этих примерах речь пойдет о различных краевых задачах для уравнения Пуассона в некоторой ограниченной области 0 плоскости х, у с кусочно-гладкой границей Г. Обозначим через У линейное пространство всех непрерывных в области 0 и на ее границе Г функций, обладающих также влгнкционные и пвоекционныв мвтоды 329 (4) строго положительно, и У(ш) ) 1(и).
Очевидно, л (и+ ь)= — )$)л д„+ д„) +(~, + д ) +21(и+ь)1дхду = о =' + Й(~!)'+(Ф)'1"" + о о Остается проверить, что третье слагаемое в правой части обращается в нуль. Действительно, нз очевидных тождеств следует 1 ~". 2 ~,"2 и =Й вЂ” 'м)+ — ', ( Ф)1" =ЬЙ" = ди где —.— производная по внутренней нормали. ди В предпоследнем переходе в цепочке равенств (6) мы вос- пользовались теоремой из векторного анализа, в силу которой интеграл от днвергенцин векторного поля по области равен по- току этого векторного поля через границу области.
В данном ди случае этот поток ~ $ — сЬ обращается в нуль, так как $~ г = г = О. Теорема доказана. Таким образом, задача (А) допускает следующую вариа- ционную постановку: среди всех функций класса К, удовлетво- ряюи4их условию (2), найти ту, которая придает наименьшее значение функционалу!(и), определенному формулой (3). П р и м е р 2. Рассмотрим третью краевую задачу д „+ д ., = ~(х, у), (х, у) = лл, (в) + о (з) и (г — — ф (з), ди где г (х, у), ф(з) и о(е) ) в„) Π— заданные фунции, а — „— произ- водная в направ.тенин внутренней нормали.
ззо вхгихционно. и пговкционно-гхзностные схемы (гл, (т Теорем а 2. Среди всех функций и(~ (т решение о задачи (В) придает функционалу У (и) — = )) [[ д,. ) + [, д ) +2Уш)дхду+ о + ~ [о(з) шт — 2(р(з) и(] дз (7) г наил(еньшее значение. Доказательство. Пусть и(ен [т" — какая-нибудь фиксированная функция. Обозначим Ч (х, у) = — и( (х, у) — о (х, у). Докажем равенство У(и() = У(о+Ч) =У(о)+ Аи-::) (~)ъ*" [ "> о г из которого следует, что в случае и( ~ о, т. е. Ч чи О выполнено неравенство У(и() ) У(о), справедливость которого утверждается в теореме. Очевидно, У(и() = — У(о+Ч) = =Ц~( — + — ~) +( — + ч) +2У(о+Ч)]дхду+ о + ~ [о(з)(о+Ч)' — 2Ф(з)(о+Ч)1 з= г -(((+Я[( —',",)'+-(~)т]~*~,+].((,Ч.)-» о г + Я[" +р»,"+(.] * »»](.(( —.(((ча). (»» хо г Остается показать, что выражение, стоящее в правой части (9) во вторых фигурных скобках, обращается в нуль.
Действительно, преобразовывая двойной интеграл в атом выражении аналогично (6), получим 1:."2 '," 2 у( д ду + ду тд+[ч1 "хду+ ~ [о(з)о — Ф(з)]ч "з= о г = ~ д„' Ч ~~ + ~ [~ ( ) — Ф (з)] Ч ~~ = ~ Ч [ д„+ — Ф1 ~~ = О. Г г г де поскольку — + оо ] = Ф. Теорема доказана.
дп ВАРилционные и ПРоекционные методы Таким образом, третья краевая задача для уравнения Пуассона (В) допускает следующую вариационную постановку: сре. ди всех функций в е= ))т найти ту, которая придает наименьшее значение функционалу У(в), введенному равенством (7).
Обратим внимание на то, что различие в вариационных постановках краевых задач (А) и (В) не исчерпывается различием в функционалах !(в) и У(в). При минимизации функционала У(в) допустимыми считаются все функции в ец ((7, а при минимизации функционала 1(в) — лишь те функции в е= (Р', которые удовлетворяют краевому условию в ~ г = ф (з) задачи (А). Это различие дало повод называть краевое условие задачи (В) естественным, поскольку при вариационной постановке оио не накладывает никаких ограничений на допустимые функции. 2. Сходимость минимизирующих последовательностей. Точным решением задачи (А), как мы видели, является та функция в(х, у) =— и(х, у), которая придает наименьшее значение функционалу 1(в) среди всех допустил|ых функций, т.
е. функций в ~ )Р', удовлетворяющих условию в1г = ф(з). Численное решение вариационной задачи об отыскании и(х, у) состоит в построении такой функции в ен )т', в ~ г = ф(з), которая придает функционалу 1(в) хотя и не наименьшее значение 1(и), но «близкое» к наименьшему.
Точнее, для вычисления должен быть указан способ построения членов такой последовательности допустимых функций вн(х, у) е= )т', вн(г = ф(з), для которой 1|ш 1(вн) =1(и). и-+ Такая последовательность допустимых функций называется минимизирующей. Выбирая член вн(х, у) минил|изирующей последовательности с достаточно большим номером Л/, можно добиться того, чтобы 1(вн) отличалось от 1(и) сколь угодно мало.
Совершенно аналогично для вариационной постановки задачи (В) минимизирующей последовательностью допустимых функций будет всякая последовательность вл (х, у) е= ((7, для которой 1пп У(в„) = У(о). Способы построения минимизирующих последовательностей для вариационных задач (метод Ритца и вариационно-разностные схемы) будут указаны в этой главе ниже. Здесь мы докажем только, что минимизирующие последовательности сходятся квадратически в среднем вместе с первыми производными к решениям и и о соответствующих вариациониых задач, так что их члены можно считать приближениями к 332 ВлРЯАциОннО.
и пРОекционно-РдзнОстные схемы (гл, гв решениям. Именно, будут доказаны следуюшие два предложения. Т е о р е м а 3. Пусть и( ~ )ьг, и([ г = гр(з) . Тогда ]] гв — иЦ,((а [1(и() — Т(и)1, (10) где а — некоторая постоянная, полностью определяемая формой области П и не зависящая от функции ае Т е о р е м а 4. Пусть ю — произвольная функция из ГР'. Тогда ]]ю — о]]з (Р[у( ) — у(о)1, (! 1) где постоянная р ) 0 зависит только от формы области П и от числа пнп о(з) = оо ) О, но не от функции ш. Из неравенств (10) и (11), очевидно, следует сходимость У соответствующих вариационным постановкам краевых задач (А) и (В) минимизирующих последовательностей к и и о соответственно, поскольку при замене и (»,'у) счу) (»"у) членом и(н соответствующей минимизирующей последовательности правые, а с значит, и левые части неравенств (!0) и (!1) при А(' — ьоо е х стремятся к нулю.
Доказательство теорем 3 Рис. 46. и 4 основано на следуюшей лемме. Л ем м а. Пусть функция т](х, у) еп )Р' и в(з) ) ое) О. Тогда справедливо следующее неравенство. [[из*тече[[[[(' )'+(н)]а*за+[.(.( з[, (В о о г (13$ Здесь р — некоторая постоянная, которая полностью определяется областью П и числом оо и не зависит от функции 41(х, у) ~ )р'.
Доказательство неравенства (12) проведем прн дополнительном предположении, что каждая прямая д = сопз1 пересекает границу Г области 0 ие более чем в двух точках. Это предположение не вызвано суп(еством дела, но благодаря ему доказательство становится коротким. Пусть», у — точка внутри области 0 (рис. 46). Тогда ч(" у) — ч(» у)+ дт( (Е у1 д( ВАРИАЦИОНИЫЕ И ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Возведем обе части неравенства (13) в квадрат н воспользуемся очевндиыы неравенством 2АВ ( А'+ В', справедливым для любых двух чисел А и В: х 2 ,'1*, >» [» 1*, !с1(1 1"''" а)]. дп(1, р) д! П4) Воспользуемся неравенством Буняковского ((Ь вЂ” а) ~ ( дп ( ' ") ) 11х. (15) х' Из (14) и (15) получим х" 'о, 1» [т1*', )т(с — 1( ( ' ) с ].
!~с) х' Проинтегрируем обе части (!6) по х в пределах от х = х' = х'(у) до х = = х" = х"(у), воспользовавшись тем, что правая часть от х не зависит: х х т)'(х, у) 1(х~(2(х" — х') Ч'(х', р)+(Ь вЂ” и) ) тк ' ~ дх ( г дЧ(х, у) та дх о — )[т'1*',~! ~-(с — )~ ( '" ) с ], ст1 ("- — [('" " — в- ""] ГдЧ Чс 'к дх ) О с О Очевидно, что Ч'(х', у) с(у~ ~ Ч'(з) да~ — ~ о(з) т)2 дзг 1 ос с г г ~~ ( — '" )'дх Иу»,. ~~ ~( — ")'+ ( — '")'~дх Нр О О (20) Проинтегрируем теперь обе части неравенства (17) по р в пределах от у =с до у = А.
Получим 334 ЕАРиАциОннО. и пРОекциОннО-РАзнОстные схемы 1Гл. 1я Из (13), (191 и (20) следует ц""" и с2ь — )[ — ( 'ььГь — )11((~) ь( — "))ьь)( г о Г 1 ~ 2 (Ь вЂ” а) гпах ь [—, Ь вЂ” а]. [))(( — '.у (~у)"" ( ° ") и г г. е. неравенство (12), причем ва постоянную (! можно принять число Р = Г 1 = 2(Ь вЂ” а) гпахгс —, Ь вЂ” а]. [а,' Следствие.
Пусть $(х, у)е= )и' и е)г = О. Тогда справедливо следующее неравенс~во Фридрихса: ') ') и ихс(У~~" ~ ')[(л ) + 1, в ) ]дхс(У (21) где а = 2 (Ь вЂ” а) '. Дока за тельство теорем ы 3. Для всякой функции тв ~ )Р', гв)г =гР(з), фУнкциЯ $ = иг — и УдовлетвоРЯет Условиям следствия из леммы, а потому и неравенству (21). Если учесть равенство (4) ЯЯ)'+ (Я'] дх ду = Т(и) — У(и), о (4') то (21) можно записать в форме ~ ~ (гв — и)т дх 0у ( а [! (а) — ! (и)). (21') и Прибавляя к неравенству (2!') равенство (4'), получим неравенство (! 0), в котором сс = а + 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
