Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Вычисление коэффициентов по формуле (3) трудностей не вызывает. Действительно, коэффициент (в„", а",.) представляет 348 вхлигщионно- и пвоекционно-вхзностныв схвмы [гл м собой интеграл от величины два дв~ два дву —" — '+ —" — '. дх дх ду ду (4) а> =а> (х, у, й„"(РД, ..., ФУ(Р)) будет «хорошим приближением> для точного решения и(х, у) задачи. В самом деле, если, например, все точки Я~, ..., ЯУ и Рл, ..., Р" разместить в одной «половине» области, а в другой «половине» не поместить ни одной точки сетки, то приближение РУ, ..., Р" не должно оказаться хорошим. Пелесообразный выбор точек Я',», ..., Я~ и сетки Р,", ..., Ру должен бытьосушествлен с учетом соотношений 5 38, которые мы сейчас воспроизведем: о ))гв„— и')> (а11й,„— и~'-~(аК'„(У, >г'") = =авар 1п( )а> — п 114. (6) о У' ««у веуу Здесь Я7~ — У-мерное линейное пространство всевозможныхли- нейных комбинаций базисных функций, а У вЂ” множество функ- ций, которому принадлежит точное решение.
распространенный по паре треугольников разбиения, имеющих отрезок РхР~ своей общей стороной. Далее, интеграл по любому одному из этих треугольников полностью определяется длинами его сторон, но не зависит от поворотов и сдвигов этого треугольника. В самом деле, постоянная внутри треугольника величина (4) подынтегрального выражения представляет собой произведение длин векторов пгай в~у и пгай ву на косинус угла между этими векторами и выражается формулой — соз(й„, Ь;).
(5) Здесь й и Ь; — длины высот, выходящих из вершин Р~ и РУ соответственно, а 6 и 6; — векторы, направленные вдоль соответствующих высот в сторону вершин, как и векторы йгайв~ и дгай в~. Интеграл по треугольнику получается умножением величины (5) на плошадь треугольника. Построение вариационно-разностной схемы (2) при сделанном выборе точек Я~ и Р,". закончено, Однако очевидно, что не при всяком выборе этих точек, по кото~ому однозначно определяется и система базисных функций в„, п = 1, ..., У, можно ожидать, что полученное с помощью схемы (2) приближенное решение построение и своиствх схем 349 Именно, из соотношений (6) видно, что целесообразный выбор точек ЯУ, ..., А)м и Рч, ..., Рм должен быть осуществлен ч с учетом класса У таким образом, чтобы число Кч(У, Чгм) оказалось «возможно меньшим» и чтобы последовательность К„(У, Фм) при Лг- сю «возможно быстрее> стремилась к нулю.
ь в о Всегда Км(У, )ттх))мм(У, ЧУ), где яч(У, 'иУ) — тЧ-мерный колмогоровский поперечник множества У относительно нормия рованного пространства Ф (см. п. 3 $38). Поэтому достаточным условием «хорошего» выбора точек является «близость» числа а о К,(У, )Р ) к,(У, Ф). Разберем подробно случай, когда имеющаяся об искомом решении и предварительная информация позволяет заключить лишь, что зто решение и принадлежит классу всех функций У, вторые производные которых нс превосходят некоторого числа М и которые обрацгаются в нуль на границе. В этом случае мы укажем, как надо расположить точки а Я,', ..., ьг", Р;, ..., Рмм чтобы с ростом Л~ величинаК„(У Фм) 1 имела порядок О ( ). При этом благодаря (6) для погреш,7м ) ности вм — и приближенного решения шч гарантируются оценки й' шм — и 'й- ( =, с ) ( тв, — и ~(н (~ =, ~ ~/~ч ' (7) где с — некоторая постоянная.
Однако, вообще говоря, не для всякого мио кества функций 0 существует о о ,и ~ выбор сетки, при котором К (ГУ, 'йг' ) «не сильно» превосходит к (ст', 'нт), о о -и так, чтобы при АГ оо величины Км (ГУ, 'чт ) н кч (ГУ, йг) имели одинаковый порядок малости отпосителыю И '. Дело в том, в частности, что кусочио- лпнейные базисные функции, которымн мы пользуемся в этом пункте для восполнения сеточных фуикний, прц любом выборе точек порок~дают прае и страиства йу кусочно-линейных функций, которые не исчерпывают всех воза можных Ф-мерных подпрострапств пространства йу и среди которых может о гт и не оказаться подпростраиств ит, реализующих хорошую аппроксимацию множества И, 350 ВАРиАциОнно- и пРОекциОннО РАзностиые схемы )Гл.!2 Ваметим, что эти оценки из-за равенств (32) и (33), э 33 дли попереч- ников ,(и, Ф)=о( — ), н (и, йт) =О( — '), (В) неулучшаемы в следуюшел! сл!ысле. Если искать приближенное решение в виде линейной комбинации каких-либо фиксированных функций ф, (х, у), ...
..., фй (х, у), 1< СА где 1 площадь )) 1'й А! а С! — некоторое положительное число, не зависящее от Ь. 2'. Площадь Ян области П'ь,Пн удовлетворяет оценке Ян ( Сз!т~, С, = соп31. (9) 3'. Каждый угол а любого из треугольников разбиения области Пн удовлетворяет оценке а) ао=соп31 > О. (1О) о При сформулированных условиях для величины Кн(У, Фн)! К22(С, Фн)= р 1П1 Б(Г~ "'1+Г~, "Трхду (! 1) ь ы У ьь ы 1РН А ю = 2 сафа, Ь-1 то ни при каком выборе функций ф» (х, у) и нн при каком способе вычислении коэффициентов сь по правой части 1(х,у), нельзя получить оценки вида 11 шн 1)о = ( ч! ) () шн 1)ь = ( ч! — ), справедливые при любой 1(х.
у), дли которой решение и принадлежит нашему классу ст, Т е о р е м а 1. Пусть 0 — множество всех функций, вторые производные которых непрерывны и не превосходят по модулю некоторого числа М, и которые обращаются в нуль на границе Г Пусть для каждого Л! из некоторой возрастающей последовательности натуральных чисел осуществлен выбор точек счн1, счзн, . ° ., 1чн, т=т()ч*), Разбиение многоУгольника йн= =(,)" ,... АгЯн! на треугольники, порождающее сетку Р», Рч.... ..., Рн, как описано выше.
Пусть при этом вьтолнены следующие три условия: 1'. Длина 1 любой стороны треугольников разбиения удовлетворяет неравенству построение п спОпствл схем 851 имеет место оценка к,(и, в' )(с,й, где Сз — некоторая постоянная. (12) Ц Ц 1( ) ] + ) ( ! ) ~ г(х ну ( С,йт, (14) так как, очевидно, в таком случае выполнена и оценка (12). !!нтсграл (!4) можно разбить иа сумму (неотрицательных) интегралов по многоугольнику 0и, вписанному в область О, и по его дополнению 0ьь0и до всей области 0: Оценим кахсдое из двух слагаемых в правой части (15) н установим оценки ~ ~ (... ) г(х пу (~ А,Ь-', он (...) нх с(у ~ А й'-, (16) (17) о",он где Аг и Аг — некоторые постоянные, не зависящие от е гм У и от й.
Очсвядно, что из (!6) и (!7) в силу (!5! вытекает (!4) с постоянной Ст=А1+Аз. Для доказательства оценки (16) достаточно показать, что внутри казкдого из треугольников, образующих разбиение области 0я, выполнены нера- венства %~Вй, / ( ") /(В(н (18) где  — некоторая постояинан, не зависящая ни от и ш У, ни от й. Тогда, очевидно, оценка (16) имеет место, если за Аг принять число Аг = 2Вт)с )((плошадь О). Итак, для завершения доказательства оценки (16) надо установить оценки (18), к чему мы и переходим. Доназательство оценок (!8) мы и' (ю — о) разобьем на два этапа.
Сначала покажем, что производная Д о к а за тел ьс т в о. Достаточно установить, что для каждой функции и гм 0 следующая функция ю (х, у) = ~ в (Ра) аь (х, у), ю см йт, (13) е-! удовлетворяет оценке 352 влпнлцнонно. н проекцноннорлзностные схимы (гл. тв функции по любому направлению ! может изменяться внутри треугольника не более чем иа величину Агй, где Аг = сопз1, так что для любых двух точек (х', у') и (х", у"), принадлежащих треугольнику, можно написать ~[ ~ — ~ ~ ~~Агй. (19) Выберем затем какие-либо две стороны этого треугольника, образующие остд (и — о) рый угол сг, н покажем, что всюду в треугольнике производные 1 д (в — о) И ВДОЛЬ НалраВЛЕНИЙ 11 Н 1г ЭТИХ СтОрОН удОВЛЕтВОряЮт ОцЕНКаМ ! ~~Ай, ~ )<АЬ.
(20) Далее воспользуелгся формулами д (в — о) д (в — о) дтг дх д (в — о) д (в — и) д11 дх д (в — о) сова, + ду д (в — о) соз а, + ду 51П Оь ) (21) 51П Ог, ( и аг — углы, образованные направлениями 11 н 1г с осью Ох. Рассмад (в — о) формулы (21) как систему уравнений относительно и дх о) , найдем ГДЕ Сгг тривая д(и— ду д(и— о) з!п Яг д (в о) згп Йг д (гв — о) згп (пг а,) д(1 згп (Йг п1) д(г о) соз аг д (и — о) соз аг д (и — о) + зш (а, — а1) д(1 з!п (аг — аг) д(г (22) д(и— ду Но благодаря условию (10) угол сг аг — аг >аз > 0 и гг ~ )и — 2ггг, так что ып а > ып аа сопз( > О.
Из равенств (22) и неравенств (20) следуют оценки где (е, ц) — некоторая точка иа отрезке, соединяющем точки (х', у') н (х", у"). Если ф(х, у) до (х, у) д1 2 которые примут вид (18), если обозначить В = — Аг Мпа, Для завершения доказательства оценок (18), а вместе с тем и ((б) осталось доказать оценни (!9) и( 20), на которые мы опирались.
Докажем (19). Обозначим через з направление от точки (х', у') к точке (х", у"). На отрезке, соединяющем эти точки, любая функция ф(х, у) может рассматриваться как функция от з, где з — расстояние от точки (х', у'). По теореме о конечных прирашениях ф (х", у") — ф (х', у') = Ъ((х" — х')г + (у" — у')г .. дф(в, и) 4 зв) ПОСТРОЕНИЕ И СВОИСТВА СХЕМ 353 то до (х", д") до (х', !г') д! д! Обозначим углы между направлениями ! и з с и и р. Тогда имеют место символические равенс д — = соз а — + и!п а д! дх д д — = соз () — + и'п () дз дх осью Ох соответственно чсрез тва д др' д др' Очевидно, что д г д Х дг дг — ( — ) = сов асоз р — + (соз а злп () + в)п асов р) + дэ д! дхг дх ду дг + з!п а з!п (1 ддг Поэтому ~ д ~до(Е,П)]( = ) соз а соз () г' + з(п (а+ Р) д д' + э!паз!п Р д г' ) ~(ЗМ дго (в, л)) д'о (В П) дго (В П) дхг дх др ду' Поскольку )((х" — х )г+ (у — У')~2сА то из (23) получим неравенство — )( С 6Мс,й' до(х", рм) до (х', р') д! д! (24) где М вЂ” ллаксимум модулей вторых производных функции о(х, р) в области !), а й — диагональ какого-либо квадрата, содержащего !).
Пусть прямая у = = сопМ пересекает область О. Поскольку в концах отрезка пересечения этой прямой с Г по условию п(х, у) обращается в нуль, то в некоторой внутренней до (хг у) точке (хг,р) этого отрезка по теореме Ролля будет ' = О. В любой дх другой точке этого отрезка дв(х,у) ( ) до(х,р) до(хму) ) ) дго(й,р) ~ х, .дх ( ~ дх 12 С К. Годуяов, В, С.
Рябенькив совпадающее с (19), если принять Ал = 6Мс» Для доказательства первого неравенства (20) заметим, что на стороне треугольника, имеющей направлед (ш — о) ние !» есть точка, где ! =О. В самом деле, иа ноннах этой стороны д!г ш — и обращается в нуль по построению, а значит, по теореме Ролля в промежуточной точке производная обращается в нуль. Обозначим координаты этой точки (х', у') и воспользуемся неравенством (19), в котором примем направление ! совпадающим с направлением Рь Получим первое неравенство (20). Второе доказывается аналогично.
Завершив доказательство неравенств (!9) и (20), мы завершили тем самым и доказательство неравенства (16). Для завершения доказательства всей теоремы осталось установить неравенство (17). Заметим прежде всего, что каждая функция о гы (7 удовлетворяет усло- виям 354 ЕАРНАцнонно- н проекннонно-РАзностные схемы [гл. !т Второе неравенство (24) доказывается аналогично. Из конструкнип базисных А! функний ы„следует, что фуикиия ы(х, у) = ~ п(Р„) ы„(х, у) в области А! а ! 77'ь,!7и, по которой ведется интегрирование в левой части 1!7), есть то!кде. ственный нуль. Таким образом, благодаря оценкам (24) подынтегральная функция в левой части неравенства (17) не превосходит числа 2~Из).з, а сам интеграл не превосходит числа 2МЧ.! 3 „~ 2М'7.'С й! Таким образом, неравенство (!7) справедливо, если принять А! = 2 И!7!С!. Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
