Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Выбор этого оператора можно осуществить по-разному. Мы будем выбирать его так, чтобы устойчивостьразностной схемы оказалась равносильна ограниченности норм его степеней. Это позволит с единой точки зрения взглянуть на уже встречавшиеся приемы исследования устойчивости эволюционных разностных краевых задач, как на способы исследования свойств степеней оператора Ям а также сформулировать понятие спектра семейства разностных операторов и спектральный признак устойчивости несамосопряженных разностных краевых задач. КОНСТРУКЦИЯ ОПЕРАТОРА ПЕРЕХОДА 362 Ггл. >3 гллвл >з КОНСТРУКЦИЯ ОПЕРАТОРА ПЕРЕХОДА $40.
Слоистая структура решений эволюционных задач Во всех рассмотренных выше примерах эволюционных разностных схем Т.„и[л> — 1>л> (1) задавались значения решения и>л> на одном или нескольких на- чальных слоях сетки. Значения и>л> на последующих слоях шаг за шагом определялись нз уравнений, составляющих разностную краевую задачу (1). Под слоем мы понимаем совокупность то- чек сетки Т>л, лежащих на прямой (или плоскости) ! = сопз1. В дальнейшем будем считать, что рассматриваемые разностные схемы (!) обладают указанной слоистой структурой. П р и м е р 1.
Рассмотрим разностную схему и" +' — и" = л,„ии + >р (х, ! ), иР+' =А!>>(! +), ии+'=ф,(! +), ил =.ф(х ), т=О, 1, ..., М; р=О, 1, ..., (Т)т~) — 1, аппроксимирующую задачу о распространении тепла ди д'и — — —,+>р(х, !), 0<х<1, 0<1<Т, и(0, 1) =А!>>(!), и(1„!) = АР>(!), и(х, 0) =ф(х), 0 < х < 1. Зная значения решения и>л> в точках слоя ! = !Р—— рт, т. е. зная сеточную функцию ии=(ии), т=О, 1, ..., М, (4) (7) аргумента т, мы можем последовательно вычислить значения сеточных функций и'+' = (ил+'), ии+' и т.
д., пользуясь формулой и>'+' =(1 — 2г) и>' + г(и>', +ии,)+т>р(х, 1). (5) Сеточная функция иа = (и' ) = (>Р(х„)) задана. Итак, решение и>л>, определенное на двумерной сетке (х„,„!Р)=(т!>, рт), т=О, 1, ..., М; р=О, 1, ..., (Т(т) (6) в плоскости Охй естественным образом расслоилось и заменилось последовательностью функций и', и', ..., ии, р =(Т(т1 !ей слоистля стямктгпл ишпенип эволюционных злдлч заз определенных на одномерных сетках.
Одномерные сетки, на которых определены ии, Р=О, 1, ..., р, при всех р одинаковы (рис. 51, а), так что их можно считать различными экземплярами одной и той же сетки. Мы изобразили эту одноыерную сетку на рис. 51, б. Рассмотрим линейное пространство У' функций, определенных на одномерной сетке (см. рис. 51, б). К нему принадлежат, в частности, сеточные функции иг, р = О, 1, ..., р. Это линейное пространство будем считать нормированным.
Норма элемента и = (им иь..., им) может быть задана, например, одним из ра- и4 венств !!и~1=гпах!и 1, и хэ, ) ~~,~~=(л П ~ Т) . ! (8) а) В определении устойчивости и сходимости участвует норма ия !!им'!!ц„решения разностной крае- а) вой задачи (1). Мы будем пользо- Рнс. 51. ваться только такими нормами !!и1"1 !!цл, при выборе которых учтен слоистый характер решения иы1, а именно выполнено равенство !! иеи !1ц — — гпах !! ил 11, цл— (9) ,г — р(х" ~.) (! О) гн = О, ~ 1, ...; р = 1, 2, ..., (Т!т) — 1, которое является разностным аналогом дифференциального уравнения —,— —,=<р(х, 1), О <1< Т, — ца <х < аа.
(!1) В отличие от примера 1, решение игл1 этого разностного уравнения еще не определяется по своим значениям в точках сетки одного слоя 1= Рт. Здесь необходимо знать значения игь1 где р пробегает значения р = О, 1, ..., (Т)т), т. е, все те значения, при которых области определения сеточных функций на = =(ил) принадлежат двумерной области определения решения и(л) П р и м е р 2. Рассмотрим разностное уравнение КОНСТРУКЦИЯ ОПЕРЛТОРЛ ПЕРЕХОДЛ ~гл !3 364 в точках сетки двух слоев: 1 = рт и 1 = (р + !)т, т. е. век-ор-. функцию (рис.
52, а) ...ир+' ир+' ир+ ... о ~ ° ° при ... ир ир ир -! О ! По значениям ир в силу уравнения (10) последовательно определяются ир+', ир+' и т. д. В связи с этим за пространство о» примем пространство вектор- функций (рис. 52,6) »~ (...Ь, Ьр Ь,...~ аг ау с некоторой нормой 1 и 1~. Отноир сительно этой нормы,замстнм й следующее. Решение дифференци аль ного уравнения (1!) опреде. Ю , ляется двумя функциями: ди(х, ~) Рис. 52. и(х, го) и разностными аналогами которых являются соответственно сеточные функции ...,и,,и,и,,... р р р р рю — и~ ир+ ~ ир ир.н ир — и» т т Поэтому всякая естественная норма в пространстве У» должна зависеть от обеих этих сеточных функций. Можно положить, например, 11и11=вцр1а 1+еир~ ) или После введения нормы в пространстве У» автоматически по формуле (9) вводится норма в пространстве ()» сеточных функций, определенных на двумерной сетке: )1 и~»> 1'ю — — гп ах а ар )1 » запись Рлзностных краевых задач 365 54Ц Номер р пробегает все те значения р = О, 1, ..., (Т(т1, при которых области определения сеточных вектор-функций принадлежат двумерной области определения сеточной функции и4ю.
При нашем условии всегда пользоваться нормами вида (9) неравенство )! и4гв ))и» < с ))14"1 ))и„, означающее в случае линейности оператора 1.ь устойчивость, равносильно выполнению неравенства ! иР )! к с ! 1141))Р при всех тех р, при которых функции ир определены. Это оказы- вается удобным при исследовании устойчивости. ЗАДАЧИ х 1. Указать пространство 1)а для разностной схемы Р+4 Р ! итл Нтл ххлтл + Рдлтл + 'р (хт рл гр)' и л! = О илт = гр(х р ) р=о, 1, ..., (Т)т) — 1; (х, рт Гр) = (тй, 44й, рт), Г состоит из тех точек сетки, которые лежат на боковой границе параллелепипеда О ( х, и ( 1, О ( Г ( Т, 2.
Указать пространство 0а для разностной схемы расщепления лле~ а тл тл о4-4 =А,„.„'„+Ч(хлн Рт 1,), л йтл ал1 „ т = А„, П,лл, т, л = 1, 2, ..., М вЂ” 1; МИ = 1; р = О, 1, ..., !Т)т! — 1; à — боковая граница параллелепипеда О ( я, и ( 1, О ( г ( Т. $41. Запись разностных краевых задач в виде ил+1 = 'хсаиР+ трР 1. Канонический вид.
Разностную схему ит нлх ит4-4 вт Р Р = грР г й т' и" =ф, р =О, 1, ..., (Т)т! — 1 збб констеткция опее»тоел пеееходл <гл. м для задачи иг — и„= ф(х, !), О < ! < Т, и(х, О)=ф(х), — со <х< оо, запишем в виде иеы=((1 — г)и" + ги' ) +тф», и" =ф, г=т/й.
Положив и»+~ =(1 — г)и".+ги~~+и р' =ф" (2) перепишем ее в виде и'+' = о'+'+ тр' и' = ф ш Слагаемое па+' полностью определяется по и'=(ие), так что его можно записать в форме ее+' = К»и», где 1т» — оператор, который каждой сеточной функции иг е= У» ставит в соответствие сеточную функцию о»+' еи 0» по формуле (2). Запись (1) примет тогда вид ил ы = Я»и»+ тре '! (3) ио задано.
В этом параграфе мы покажем и на других примерах, как осуществляется приведение эволюционных разностных краевых задач Т.»ики = Р> (4) к виду (3). Мы установим, что если при таком приведении удов- летворены некоторые естественные требования, то устойчивость задачи (4) на отрезке О < ! < Т равносильна выполнению не- ,равенств !!и'(~(сЦ!' 'Ц„„. (б) )РХ~~< К, р=!, 2, ..., (Т(т), (5) где К вЂ” некоторая постоянная, не зависящая от й, и сведем, таким образом, исследование устойчивости к оценкам величин ,11тЦ, т.е норм степеней оператора перехода 1т». Аналогичные построения и рассмотрения были проведены в Я 15 и 16. Напомним, что в $ 4! изучение устойчивости было сведено к рассмотрению неравенств % 40 з»ппсь п»зностных кв»ввых з»д»ч Именно было установлено, что устойчивость равносильна существованию числа с, не зависящего от й и р»! ен Р» и такого, что неравенство (6) выполняется при всех р, р = 1, 2, ..., 1Т)т)!.
Теперь приступаем к реализации намеченного плана, причем начнем с примера приведения разностной схемы к виду (3). Рассмотрим разностную схему и„+' — и~„ и,„+, — 2иц„ + и„, мР т »р мз р=О, 1, . ° °, (Т!т) — 1; т=1, 2, ° ° ., М вЂ” 1, и~=ф,(г ), и' =ф,(г,), р=О, 1, ..., (Т)т), и' = ф (тй), т = О, 1, ..., М, (7) г = †„,, т = 1, 2, ..., М вЂ” 1; р = О, 1, ..., (Т)т) — 1, и использовать равенства ирц+' = ф, (~р+д им+' = фр(1»ю)' Поэтому примем за У» пространство сеточных функций и=(ир, и„..., им) с нормой ! и !( = гпах ! и !. т Запишем теперь разностную краевую задачу в виде ир+' = Й»ар+ тр», ир задано, (8) обозначив через Й» оператор, который каждому элементу а = (а ) пространства У» ставит в соответствие некоторый элемент Ь = (Ь ) того же пространства по формулам 2г)а +г(а,+а +), т=1,2, ..., М вЂ” 1, (9) Ь,=ар, Ь =(!в Ь =ам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
