Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Воспользуемся для этого, например, разнос!по!! схемой лл! и л л ил!т — и,а и!„Л. ! — и,л и" =$(х ), (6) сц = О, -с- 1, ...; р = О, 1, ..., [Т[т) — 1, аппроксимирующей задачу !(оши — — — =!1!(х, С), — оо<х(оо, 0<!<! ди ди д! дх У и(х, 0) =ф(х). Мы исследовали ее устойчивость с помощью признака Неймана в $25. Перепишем рассматриваемую схему в каноническом виде (2), определив Йл, о = стс,и и рР формулами о =(1 — г)и +ги +„г=т/Ь, р'=т'(= — р(хло С,)) Определим норму в ссс, формулой (и![=зпр1и !. Тогда функции н = (и,л) = (е! "') при любом нещестненном сс принадлежат пространству И и являются собственными функциям' ! оператора ссл'. сС ц — (! Г)Есат + ГЕ!а !о!+и — [(! Г) + Гаса) Ес~!л — Л а) ц Оценкл пОРМ степенен ОпеРлтОРОВ ЗВ9 где (7) Л(а) = 1 — г+ сего является собственным числом.
Условие устойчивости (5) ввиду независимости Л(а) от т сводится к требованию )Л(а1) ! ( 1, которое выполняется при всех вещественных а при т ( 1. Как показано в $25, условие (5) в случае задачи Коши для двуслойных разностных схем относительно одной искомой сеточной функции ие только необходимо, но и достаточно для устойчивости, если норма определена равенством (В этом случае (ее» ) не принадлежат пространству (7» и, следовательно, не являются собственными функциями, но точки (7) все равно принадлежат спектру оператора Ил ) 2. Спектральный критерий ограниченности степеней самосопряженного оператора. Допустим, что М-мерное линейное пространство (7» состоит из функций, определенных в точках Рь Рь ..., Р сетки (эта сетка может лежать на отрезке, на плоскости или в пространстве — безразлично), и что в (7» введено скалярное произведение, которое для произвольной пары функций и, о е= (1'а обозначим (и, о).
Пусть, далее, оператор 11» равномерно по й ограничен некоторой постоянной ск (8) !!Да!(< С1, и отображает пространство (уа на некоторое подпрострапство бас (!л размерности йl < М, причем на подпространстве Оа оператор )г1, является самосопряженным, т. е. (1гли, и) = (и, Дло) для любой пары функций и, о а=О». Как известно из курса линейной алгебры, в этом случае в подпространстве О» существует ортонормальный базис (9) я(1о! 1)1(Э ф!н! состоящий из собственных векторов оператора Дл. Обозначим через Л1, Ль ..., Лн соответствующие (вещественные) собственные числа: 1гля)1!»1=Л»ф!а!, й =1, 2, ..., У. (10) Теорем а 1. Для выполнения оценки (3) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство (11) !пах! Л» !(1+ сат, с» =сопз1.
!3 С. К. Го»елее, В. С. Ря»еяяяяа КОНСТРУКЦИЯ ОПВРАТОРА ПСРЕХОЛА !Гл. 13 зво !А»1=(Е).лгт) ~ ; м;ч, (гпах(Л» Р'(~ ~ ал! =гпах1Л» Р~ 11о11. (12) л л=, л Принимая во внимание, что благодаря (8) 11 о 11 = 11 )тли 11 ч= с, 11 и 11, а также условие (11), из оценки (12) выведем (3): 11)с»Р~(с, гпах1л»Р ~!(с>(1+ сзт)Р (с,(1+ сат) м(се" =К. Ниже мы установим некоторые признаки самосопряженности оператора й» и укажем некоторые способы оценки собственных чисел. 3. Признаки самосопряженности.
Введем обозначение (и, о) = — ~~~~~и(Р») о(Р») ! (13) и будем считать, что скалярное произведение в пространстве У» определено равенством (и, о) = [и, о]. (14) Пусть, далее, оператор Йл, Ь = ала, задан формулами Ь(РА) = ~ ал,а(Р,), Рл где Р, и Рл пробегают все множество точек сетки. Оператор )хл является самосопряженным в том и только том случае, если (15) ໠— = а,л. В не зависящей от нумерации точек форме этот признак означает, что при вычислении Ь(Р) в произвольной точке Р сетки значение аЯ) в другой произвольной точке Я должно входить с тем же коэффициентом, с каким значение а(Р) входит в выражение для ЬЯ).
Доказательство. Необходи масть доказана в п. 1. Докажем даст а то ч н о сть. Пусть и ен Ул. Разложим вектор Или= о ен 0» по базису (9): о =~ а»Ф!л'. Тогда в силу (10) м рхлли=(хй 'о = 2' (Лл 'ал)ф~ 1, л-1 $43) Оценкл нОРм степенеит ОпеР»ТОРОВ зэ! Если среди точек сетки (Р») выделено некоторое подмно- жество Г» (граница области) и оператор 14» задан формулами Ь (Р,) = х' а»,а (Р,), Р» И Г„, и (16) ЫР») = О, Р» ен Г», то иа подпространстве 0» формулы (!6) равносильны следую- щим: Ь(Р») = ~ а»,а(Р,), если Р» И Гл, Р, а Г, Ь(Р») = О, если Р, епГ».
Условие самосопряженности оператора )7» на подлространстве О» тогда, как легко видеть, состоит в равенствах а»,=а»ы Р»ИГ», Р»ИГ». (17) 1ак, например, оператор Ь = )4»а, Ь» = (1 — 2г) а»+ г (а» 4 + а»+4), й = 1, 2, ..., М вЂ” 1, Ь =Ь,„=О, возникающий при приведении разностного аналога уравнения теплопроводности на отрезке к каноническому виду (2), удовлетворяет условию (17), но не удовлетворяет условию (!5). 4.
Оценки собственных значений оператора )тл. В некоторых случаях собственные значения можно указать точно, как это было сделано в э 27 для оператора Л„„над функциями на сеточном отрезке, обращающимися в нуль на его концах, а также для оператора Л„„+Л, над функциями на сеточном квадрате, обращающимися в нуль на его сторонах. Для самосопряженных разностных операторов можно пользоваться вариационными методами. Известно, что в этом случае (Й»и', и') Я»4', и') ГП!П, ', = Л»4», ГнаХ вЂ” ',, = Л»4»х (18) и' ~ и» (и' и') ' .
(и', и') и 4 и Пусть, например, оператор Л + Л„действует на сеточные функции пространства (7», определенные не на квадрате, а в более сложной области, составленной из квадратов, и обращающиеся в нуль на границе этой области. Поместим эту область в достаточно большую квадратную сеточную область и рассмотрим оператор Л „+Ли», над функциями из Л, определенными на сеточном квадрате и обращающимися в нуль на его границе. »(оопределнм каждую функцию и' из (7» до некоторой функции пи из ())„положив ее тождественно равной нулю во всех тех точках сеточного квадрата, которые не принадлежат (гл. о конствткция опвилтовл псвсходл первоначальной области.
Легко видеть, что для каждой такой функции благодаря ее обрашению в нуль на границе первоначальной области выполнено равенство (Или', и') (йли", и") (и', и') (и, и ) °, ° = '- *а )ли=Лак+Ли . и. Поэтому при переходе от формул (18) к формулам (йли'С и") и и ~п (пии и ) и (и.и ) гпах „'„= Л,„,х «ил г„ где Гл — граница сеточной области )9л и во внутренних точках задано выражение 1 ~йл юп — Ла (а(х + —, у„)(и аь„— и „)— а — а(х 2 ° У)(и и и -ь )~+ 1 л 'л + аа ((Ь (х уп+ 2) (ип, пн и ) у„— ~)(и „вЂ” и,„-~)~, а(х, у) ) О, Ь(х, у) ) О, Ьх — Ь (х может лишь уменьшиться от замены переменных коэффициентов а(х,у), Ь(х, у) на постоянные а = гпах а (х, у), Ь = шах Ь (х, У).
к,у к, ц Это доказывается так же, как аналогичный факт для дифференциальных уравнений, см. (19). получим числа Л" ы и Л" „, которые удовлетворяют оценкам Лпяп ~ ~Лпнп~ Лапах ~~ Лапах (19) Но в случае квадратной области собственныезначения известны, так что Л" ьп и Л",х известны, и мы получили оценки (19) границ спектра оператора Л + Лип над функциями из Ул, определенными в первоначальной области. Во многих случаях можно применять вариационные методы оценки собственных значений, аналогичные вариационным методам для дифференциальных уравнений. Например, первое собственное значение задачи ОЦГНЛА !ЮРМ СТЕПГНЕЙ ОПЕРАТОРОВ 393 В случае постоянных коэффициентов можно псрейти от исходной области к квадратной и получить оценки, подобные оценкам (19). Собственные числа оператора ОЛ „+ЬЛ„Р в квадратной области легко вычислить точно.
5. Выбор скалярного умножения. Пусть оператор )тл, о = = )л!!,и, задан равенством Ва" = Али, (20) причем при некотором фиксированном выборе скалярного умножения (и, о) = [и, О] не обязательно по формулам (13), (!4) операторы Аа и Вл — самосопряженные: [А»и, о] = [и Ало] [Ваи о] — = [и, Вло]. Пусть, далее, Вл ) 0: [Ваи, и] ) О, если и -а О. Тогда оператор В» =В» Аа является самосопряженнымв смысле скалярного умножения (и, )ва — = [Вли, ].
(21) В самом деле, (Вь Али, о)аа — — 'ЬВ»(В»н'Ал)и, ОЗ = [Али, о] = =[и, Аао] =] Вл!Вли, Ало] =] Вли, Вл!А»О1 =(и, Вл!Аьо)ва. Доказанное тождество по и и о (Вь А»и* п)ва = (и, Вл Аао)ва и что расположение всех собственных чисел Ха на отрезке — 1 ~ Х ( 1 необходимо и достаточно для выполнения нера- венств 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
