Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Эти + — > числа Л и есть собственные значения оператора сг. В нашем примере уравнение Яи — Ли = О имеет вид (1 — г — Л)и +ги 4,=0, пс=О, ~1, ... Всякое решение этого обыкновенного разпостного уравнения первого порядка, как вытекает из 2 1, может лишь постоянным множителем отличаться от сеточной функции сс„, = с!'", сп = = О, 4-1, ..., где е — корень характеристического уравнения (1 — г — Л)+ гс) = О. Связь между числами Л и е можно записать также в форме Л=! — г+гс~. Решение и = д"' ограничено при т- +Оз н при т- — оо только в том случае, если ) сС) = 1, 41 = есч, О < сс ( 2п.
Поэтому множество тех значений Л, при которых решение и„, = с)"' ограничено„получается по формуле Л = 1 — г+ гс) = 1 — г+ гас~, когда с) = есч пробегает единичную окружность (д) = 1 на комплексной плоскости. Точка Л пробегает при этом окружность Л радиуса г с центром и точке 1 — г (рис. 26, а, стр. 289). Вычислим собственные значения оператора Д, т.
е. те Л, при которых уравнение Сти — Ли = О имеет решение и =(и,, ис, ..., и, ...), стремящееся к нулю при т- + О. Уравнение )ти — Ли=О в развернутом виде можно записать так: (1 — г — Л)и + ги +, =О, т=О, 1, Его решение и = с!'", т = О, 1, ..., стремится к нулю при гл- +Оз, если (сС~ (!. Соответствующие собственные значения <- -> Л= ! — г+гс! заполняют при этом внутренность круга Л радиуса г с центром в точке 1 — г (рис. 26,б). Алгоритм вычисления собственных чисел оператора сг аналогичен алгоритму вычисления собственных чисел оператора )О Уравнение г(и — Ли =О запишем развернуто: (1 — г — Л) и + ги„+с — — О, т =..., — 1, О, 1, ..., М вЂ” 1, с (6) Лилс = О. 407 АлГОРитм вычисления спьктэх Всякая сеточная функция и = (и„,), гп = М, М вЂ” 1, ..., удовлетворяющая первому из этих соотношений, с точностью до постоянного множителя по-прежнему имеет вид и„, = д'", причем Х н д по-прежнему связаны равенством Х = 1 — г+ гд.
Решение и,„= д'", т = М, М вЂ” 1,, стремится к нулю при пт- — оо, если 1д)) 1. Второе соотношение (6), т. е. равенство — Хим — — О, накладывает на решение и,„= д'" дополнительное требование — Хпм —— — Лдм = О или Х = О. Если точка Х = О лежит вне круга радиуса г с центром в точке ! — г, изображенного на рис. 26, в, т. е. если г ( '/м то ей соответствует некоторое значение д, )д!) 1.
Множество Л тех Х, при которых урав<- пенис /ги — Хи =. О имеет стремящееся к нулю при т- — со решение, состоит из одной этой точки Х = О. В случае г ) '/м как следует из проделанного анализа„уравнение /7и — Хи =О не имеет стремящихся к нулю при т- — оо решений ни при каком комплексном (или вещественном) Х. Объединение собственных значений операторов й, /7 и /г изображено для случая г ( '/, на рис. 27,п, а для случая г ) '/, на рис.
27, б и 27, в.' Докажем теперь, что спектр семейства операторов (!4ь) сов- ~ — > -> <- падает с объединением Л множеств Л„Л и Л собственных Ф-> + + значений вспомогательных операторов /7, /7, /7. Надо показать, что каждая точка множества Л принадлежит спектру семейства разностных операторов Яь) и что других точек спектр не содержит. Сначала покажем, что всякая точка Хоев Л принадлежит спектру семейства разностных операторов. Для этого достаточно установить, что, каково бы ни было а ) О, неравенство !!!тип хои!1(а!!и!) (7) имеет решение и при всех достаточно малых положительных значениях й.
Решение и=(им иь .., им) можно назвать «почти собственным вектором» оператора Йм поскольку решение уравнения Йхи — Хи = О в алгебре принято называть собственным вектором. Построения, с помощью которых проводится доказательство, зависят от того, какому из трех множеств Л, Л или Л принадлежит точка Хо. Начнем со случая Х, ~ Л. Покажем, что при любом а ) О и всех достаточно малых й неравенство (7) имеет решение и.
Переходим к построению функции и = (им иь ..., ихг). По С-~ определению множества Л существует до, !да) = 1, такое, что 400 тстоичпвость несамосопеяженных зэлзч !ГЛ. !4 очевидно, удовлетворял бы уравнению ?грп — Лри = О, которое в развернутом виде записывается соотношениями (1 — г — Лр) о„, + ги„,ь г = О, гп = О, 1, ..., М вЂ” 1, — Л,ом =О, если бы не нарушалось последнее из этих соотношений. Соотношение — ?юпм = 0 можно считать граничным условием для решения обыкновенного разностного уравнения (1 — г — Лр) и,„+ гггм»г — — О, т=0,1,...,М вЂ” 1. и? ?? Чтобы удовлетворить этому граничному условно, которое задано при пг = М, т. е, на правом конце отрезка О ( х ( 1, «подправим» вектор о=(1, г?р,...
..., г?ргг), помножив каждую нз т его компонент п,„на множитель гУ (М вЂ” т) Ь. Нолучепный вектор обозначим и = (и„иь .. °, им) и =(М вЂ” т)йй . На рис. 55 приведены графики функций и = (и,») н и = (и„,) в случае г?р = — 1. Норма вектора и равна единице: !1 и ~! = гп ах ! и ! = гпах ) (М вЂ” т) йг?м '! = МЬ = 1, т 6$ г() г? Оценим норму вектора ш = (игр, игг, ..., ш»г), определенного равенством иг =— ??ри — Лри.
Для координат вектора иг получаем следующие выражения: ( иг ( = ) (1 — г — Л ) (М вЂ” т) Ьг?'," + г (М вЂ” т — ! ) йг?р»' ь г ( = = )~(1 — г — Л,)+гг?Д(М вЂ” т) йг?, — г?гг?™4 г(!= =(О (М вЂ” гп)йг?'," — гйг?„"+г!=гй, т=О, 1, ..., М вЂ” 1, (ш 1=Π— Л, О=-О, Лр =(1 — г)+гг?р, а уравнение (1 — г — Лр) и», +гц«4г = О, пг= О, ~1, ..., имеет ограниченное решение о,„=г?р'", т=О, .+-1, ... Будем рассматривать это решение только при т = О, 1, ..., М, сохраняя обозначенце о, Вектор и = (ом пн ..., и ) = (1, г?м ..., г?рм), ллгОРитм Вычисления спектРл 409 Отсюда видно, что Циуй= гй, и при й ( егг выполнено неравенство ЦиуЦ=Ц)гйи — «оиЦ( ЕЦий. Этим и завершается доказа- в-» тельство того, что точка «оо ен Л принадлежит спектру семейства разностных операторов ()гй). Покажем, что если точка Хо принадлежит одному из множеств Л или Л, то она является точкой спектра семейства операторов («оо).
Пусть для определенности «ооон Л. Тогда по определению множества Л уравнение )то — Хоп = О, которое в развернутом виде записывается равенствами (1 — г — «о)о +го н=О, т=О, 1,2, ..., имеет решение и =у«о, )у«,~ < 1, т=О, 1, ... Будем рассматривать это решение только при т = О, 1, ... ..., М, положив и =(и„и„..., им) = (1, У«„..., У«ом).
Вычислим для этой сеточной функции уь график которой в случае у« = у1й изображен на рис. 56, норму вектора и — = Йу,и — Хои. Из равенств ~ш ~=!(! — г — «о)г«~+гу«о+1=О, т=О, 1, ..., М вЂ” 1, 1иум1=!у«! следует, что ! ну!1 = 1у«о1и = !у«о1и". Если й настолько мало, что !у«о1и" ( е, то ЦиуЦ= Ц)гу,и — «аоиЦ ( е = ВЦиЦ, поскольку ЦиЦ = 1. Итак, доказано, что в нашем примере все точки множеств и — > -в <- Л, Л и Л принадлежат спектру аув семейства разностных операто- а« ров. Покажем теперь, что всякая точка «ао, не принадлежащая и-> о« уу множествам Л, Л и Л„не принадлежит спектру семейства ()уу„).
Именно покажем, что существует число А ) О, не зависящее от Ь и такое, что для любой функции и = (ио, иь ..., им) выполнено неравенство Ц)гои — ЛоиЦ) АЦиЦ. (8) Тогда при е( А неравенство Ц)гйи — ХоиЦ( ВЦиЦ не имеет решения и точка Хо не принадлежит спектру. Обозначим 1 =— = )уау и — «ои, тогда неравенство (8) запишется так: Ц у Ц)АЦиЦ. (9) 14 С. К. Уадував, В, С. Рвйвшиий [Гл [4 4!О устопчииость несАмосоппяженнь[х ЗАдАч Эту оценку мы и будем обосновывать. Равенство Яои — Хои = [ запишем в развернутом виде: (1 — г — Хо)и +ги о[=[,„, т=0,1,..., М вЂ” 1,! 1 (10) Аоам = [м. Вудем рассматривать эти соотношения как уравнение относительно и, а ! будем считать заданной правой частью.
Запишем решение и = (и„,) в виде суммы, положив (11) и =а,„+ба, т=О, 1, ..., М, где аа,— компоненты ограниченного решения а = (и ) следую- щего уравнения: (1 — г Ло)а +га +[=Р„,= О, если т(0, 1, если т= О, 1, ..., М вЂ” 1, (12) О, если т)М.
Тогда в силу линейности вектор 6 = ((1 ), компоненты которого входят в равенство (11), есть решение уравнения (1 — г — Хо)6,„+г([ э[ — — О, т=О, 1, ..., М вЂ” 1, Г"онм — [м+ Аоам. Для доказательства оценки (9), которую при сделанном вы- 1 боре нормы можно переписать в форме ! и ! ( Л гпах! ! 1, в га силу соотношения ио, = а,„+ 6о, достаточно установить оценки вида ! а,„!( А[[пах! ['„, !, (14) !([ ((А,шах~'! (15) где А, и А,— некоторыс постоянные. Начнем с оценки (14). Заметим, что уравнение (12) есть уравнение первого порядка вида аа +Ьа Р[=Ь, т=О, ~1, где а = 1 — г — 1,х Ь = г. Уравнение такого вида было рассмотрено в $ 2, где получена оценка гпах(Лт[ гпах[!м! ! — !Ь[ !и! — !ь! ' (16) В рассматриваемом примере !а) — !Ь!) бо/2, где бо — рас.
<> Ъ Е стояние от точки 34 до множества Л+ Л+ Л. Из (16) поэтому ' илгоРитл! Вычислвю!я спсктРл 411 б 4Я 2. Алгоритм вычислении спектра в общем случае. Т е о р е м а Пусть оператор Вь, Ь = Йл,а, а, Ь лм Уь, задан равенство!! В!,Ь = Аьа, где Аь и Вь — некоторь4е линейные операторы, определенные на конечнол<ернол! линейнол! нормированном пространстве П» со значенпялн! из некотороео линейного нормированного пространства Рь. Пусть, далее, операторь! Аь и Вь равномерно по Ь ограничены, а очератор Вл иллеет ровнолгерчо ограниченный обратный Вт, !: ! А, (, ! В, !), '!! Вт, ' !! ( с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
