Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Птак, если спектр семейства операторов (Я,) ие совпадает со своим ялром Л(0) показателя а = 0 при аадаииом выборе норм, как это ил~еет мество в рассмотренном выше примере (2) при норме !!и!! = гпах)и„), то за счет выбора лругой последовательности норм можно получить в качестве спектра более узкое множество Л(0). Однако в теории разпостиых схем используются не вполне произвольные нормы Обозначим через 1! )г норму, равную максимуму абсолютных величии всех компонент, образ)чошнх сеточную функцию (или вектор-фуикцшо) из Вя Выделим класс последовательностей норм !) )), для которых существует иатуравьиое з, зависящее от последовательности, и такое, что при всех достато иш больших Л( справедливо неравенство (4) ацр ))и)1,~(ЛГ' )п! !!и!! )яй Очевидно, что салга норма )! )гм и все встречавшиеся иам в связи с разностиыми уравнениями нормы при возрастающем Л' образуют последовательности из указашюго класса (4).
Те ар е лг а 4. Ядро Л(а) показателя а щ(0, 1] не завигмт ог выбора последовательности норм из числа йдовлегворяющих требованию (4). До к а за тел ь ство непосредственно следует из определсший Рассмотрим теперь семейство операторов (Яг,), определенных равсистввми (1В) и (19) из й 45, предположив дополнительно, что матричные коэффициенты Ал и Вл постоянны: Ал(х) =— Ал(0), Вл(х) — = Вл(0). Для этого семейства операторов справедлива следующая важная I Теорем в 5 (А. В. Соколов), Если в пространствах (Ув — — Ею где действ(глот оиерагорыЯ = Я, введены норлгы )! !1,, го ядро Л(1) показателя в м' а = 1 спектра селгег!сгва операторов ()с ) совладает со всем гиехтрол этого семейства операторов.
Из этой теоремы и тсоремы 4 следует, что при люболг выборе последовательности норм из класса пори, удовлетворяющих условию (4), спектр семейства операторов ()(м) содержит спектр семейства операторов ()см), полу. чеииого ири использовании норм ) )), , способ вычисления которого описан в п. 2 й 45. Поэтому если ие выполнено спектральное условие ограниченности норм стспсией опсраторов Я (теорема 1 из й 44) при выборе норм )) )), то оио ис выполнено и при любом другом выборе последовательности пари из числа удовлетворя1ощих условию (4). Доквзательстпо теоремы Л В.
Соколова требует сложного исследования, и мы сто пе излагаем. В 47. Об устойчивости итерационных алгоритмов решения несамосопряженных разностных уравнений Рсшеппс стационарных задач установлением можно попинать как иекоторып итсраппоипый процесс, а результаты, полученные на очередном временном слое, — кзк соответствующее приближение. В й 35 была рассмотрсиа в качестве примера разиостиая задача Днрихле для уравнеиин Пуассона. устончнвость нцслмосонряжинных злдлч (гл.
и 416 и=Я„и+(„ — семейство линейных уравнений («разностное уравнение») относительно не- известного элемента и из некоторого У-мерного линейного нормированного пространства Ун, зависящее от натурального параметра й(. Мы будем рас- сматривать итерационный процесс иы+г =Я и +(, т=й.!, м у (2) вычисления решения и. Будем предполагать, что все собственные зна|ечня йл = Хл(йг) оператора )(и по модулю меньше единицы ! йл ((р, <1, (3) т. ц что известный критерий сходимости процесса (2) выполнен, причелг |и — и ||= 0(рм). (4) Пусть теперь вычисления (2) ведутся приближенно с некоторым числом р = у+ а десятичных зпаиов, т.
е. по формуле й +' =)( й" +( +1О-Я((й |!6, ю и ы' (5) где й е Уп, (! й !)(~ 1 произвольны. Зададим натуральное д и буделг требовать, чтобы при произвольных бл, | бл | ( 1, й = О, 1, ..., выполнялось неравенство 1(га ||и — й (((16 "|и|. (6) Неравенство (6) обеспечивает возможность вычислить решение и по фор- мулам (5) с ошибкой, пе превосходящей единицу д-го десятичного знака (в смысле нормы в Уп). Л е м м а. Дяя вьшолпетагя требования (6) пеобходлто, чтобы шсяо а «запасных знаков» в формуле (5) удовлетворяло неравенству (1 — !О а) ф ( !Оо, и достаточно, чтобы а удовлетворяло неравенству (1 + 1О ч) ф ( 10а, где пл ф = Вгп шах ~ ~ К'" лбл ь )вй!! ! я-о Доказательство предоставляем читателю, В случае нулевых условий на границе — это самосопряженная разностиая задача.
В соответствии с этим в процессе установления можно было разлагать ошибку по полной ортогональной системе собственных функций. По расположению собственных чисел можно было судить одновременно и о скорости убывания погрешности, и о влиянии ошибок округления, вносилгыт па промежуточных слоях. Оказывается, при решении несамосопряжениых разностных уравнений установлением дело обстоит, вообще говоря, ие так. Может возникнуть, несмотря на сходимость итерационного процесса, неустойчивость из-за большой чувствительности к ошибкам округления. Это явление мы здесь точно определим и обсудим. При этом окаялетси полезным понятие спектра и ядра спектра семейства разиостцых операторов. Пусть $ чг] устОйчиВОсть АЯГОРитмОВ Решения уРАВнений 417 Отметим, что существование гр = гр(М) следует из условия (3).
В дальнейшем будем понимать под сс = а(М) наименьшее целое, обеспечивающее выполнение требования (б). Из леммы видно, что такое число существует, псогрицательпо, ат д зависит несущественно либо не зависит вовсе. 0 п р е дел е н не. Сходящийся итерационный алгоритм (2) будем называть усгойчпвыль если существует не зависящая от М постоянная С, при которой выполнено неравенство а(М) < С; (7) сходящийся итерационный алгоритм будем называть слабо устойчивым, если существует не зависящая от М постоянная С, при которой выполнено неравенство а(М) ~С ]п М, (8) но устойчивость места не имеет. Наконец, сходящийся итерационный алгоритм будем называть неустойчивым, если он не является ни устойчивым, ни слаоо устойчивым.
П р п и е р. Запишем уравнение — 2пп+ "пш — !в=О, л=б, 1,..., М вЂ” 1, ) н =О в форме ип=(1 — 2г) па+ гпп+1+ г!и и =О, 1, ..., М вЂ” 1 ) п,=б, (!О] где г — параметр. Итерационный алгоритм (2) для уравнения (!О) примет вид ииж' =(1 — 2г) и,',и+ гн'„", + г!и л = О, 1, ..., М вЂ” 1, (Н) так что оператор (7п, и ]7пн запишется формулаии оп=(1 2г)нп+гппжь и=О, 1, ..., М вЂ” 1, и =О. м Оператор ]]п имеет, как легко видеть, только два собственных значения ]Ч (М) = 1 — 2г и Хг(М] = О. Неравенство (3) выполнено и итерационный алгоритм (Н) сходится при 2 г < 1.
Примем за норму ]и!! = Шах !ип. Покажем, что при г < — он устой- и 3 2 2 чив, а при г > — неустойчив. Действительно, если г < †, то 3 3 ' шах ) оп ) < гпах ( ) 1 — Зг (, (! — г ) ) гпах ) ип ), и и 1 так что ~ (7,)(~ (шах(1! — Зг(, ) 1 — г() = р <!. Поэтому ф(М) ~ (— и в силу лел1мы имеет место опенка (7) с постоянной С = — 21п(1 — р). 2 о Пусть теперь г > —. Положим в (1!) (п = О, ип = ( — 1)". Легко видеть, что 3' в таком случае и„" = (1 — Зг)и ( — 1)", л = О, 1,, М вЂ” пь Отсюда следует, что ~(](м~ () ~р~, и = 1, 2,..., М вЂ” 1, где р =(1 — Зг) ) 1 Поэтому гр(М) > р", а в силу леммы а пв М13р, что доказывает неустойчивость Можно пока- 2 зать, что при г = — итерационный алгоритм (!1) слабо устойчив. 3 УСТОЕ!ЧНВОСТЬ НЕСАМОСОПРЯ!КЕННЫХ ЗЛДЛЧ 418 Таким образом, спектральный критерий сходпмостх (3) птераинопного алгоритма це определяет его устойчивости.
Спектральный критерий и приз!шкн устар!чивости формулируются ие в терминах расположения спектров каждого из операторов )(, а в терминах расположения спектра н ядер спектра семейства операторов Яя). Именно, в предположении, что семейство операторов ()Ск) равномерно ограничено, !!)Сн (! ( С, легко проверит! следу!о!цпе утверждения. Л е м и а. Для того чтобы при всех достаточно болыипх значениях Л' итерационный алгоритл! (2) был сходяи!имея, достаточно, чтобы радиус р какого-нибудь лдра спектра сел!ейстаа оператороо (Дн) был строго меньше единицы.
Кригер и й уста йч и вост и. Для устойшвости итерационного алгоритма (2) необходимо и достаточно, чтобы спектр семейства операторов ((сч) лежал строго внутри единичного круга. Те о р е м а. Для того чтобы итерационный плгор!сгл! (2) сходился и был устойчив или слабо устойчив, достаточно, чтобы радиус р ядра Л(1) спектра семейства операторов (Йн) был строго меньше единицы; для неустойчивости сходящегося итерационного алгоритма (2) достаточно, !тобы радиус р этого ндра спектра семейства операторое (Дн) был строго больше единицы. В 6 46 показано, что ядро Л(1) спектра семейства операторов (((н) пе зависит от выбора норм из естественного для раэпостиых уравнений класса (4) 5 46. Отсюда следует, в частности, что если операторы )с» являются равномерно по гУ сжимающими, ((Дк!! ( р < 1, так что спектр, а значит, н ядро Л(1) спектра семейства операторов ()(я) лежат в круге (Л( ( р ( 1, то итерационный алгоритм (2) устойчив и остается устойчивым (снльно илп слабо) и в любой другой норме (4) 5 46, в которой операторы )тя могут перестать быть сжимающими.
В рассмотренном вь!ше примере спектр семейства операторов (Й к) состоит из круга (Х вЂ” (1 — 2г) ) ( г и точки к = О, причем совпадает со свопм 2 ядром Л(1). Утверждение об устойчивости алгоритма (И) при г < — и ие- 3 2 устойчивости прн г > —, можно сделать поэтому и с помощью спектральных 3 признаков. Для вычисления решения (несамосопряженного) уравнения вида Ами+(и =6 (12) можно пытаться строить итерационный алгоритм в форме Внии+! =Впи +(Ачи +(м).
(13) Прп этом оператор Вь надо подобрать так, чтобы его было легко численно обратить и чтобы спектр семейства операторов !Вм~Ак) имел воз. можно меньший радиус р, р ( 1. В силу оценки !!((У<С(а). (р+ е)ы, где а > 0 произвольно, а С(в) не зависит от Ф, это обеспечит быструю сходпмость, а в силу критерия устойчивости, сформулированного выше,-- устойчивость итерационного алгоритма (!3). ПОПОЛНЕНИЕ МЕТОД ВНУТРЕННИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ В теории краевых задач для аналитических функций, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
