Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Но, вообще говоря, это предположение ошибочно. Рассмотрим оператор ((л, о = )Али, задаваемый равенствами о,„= (1 — г) и + ги ь „т = О, 1, ..., М вЂ” 1, им=О Л)г( = 1. (11) Оператор (1!) действует в (М+!)-мерном линейном пространстве и описывается матрицей (5). Известно, что спектр матрицы состоит из ее собственных значений, т.
е. из корней Л уравнения де1()4(, — ЛЕ) = О. Мы вычислили эти собственные значения в п. 1. Это Л = О и Л = ! — г. Таким образом, спектр оператора )(л при любом Ь состоит из двух точек Л = О и Л = 1 — г, не зависящих от !ь Однако спектр семейства операторов ()4А), как будет показано в $ 45, состоит не только из этих двух точек, чего, казалось бы, можно было ожидать, а еще и из всех точек круга )Л вЂ” 1+г((г радиуса г с центром в точке Л = 1 — г (рис. 27, стр. 248).
При г < ! спектр семейства операторов (йл) лежит в единичном круге !Л~ < 1, а при г ) 1 этот необходимый спектральный признак устойчивости не выполнен: неравенство (!)сД < К не может выполняться равномер но по Ь. 40! СПЕКТР СЕМЕПСТВЛ ОПЕРЛТОРОВ На рис. 53 приведены графики зависимости величин !! !4»1 от рт = рта в случае г = г(г для различных значений 6. В этом случае спектр каждого оператора !4» состоит из двух точек Х = О и Х = — '/м лежащих внутри единичного круга. Этим предопределяется поведение графика величины !!КЦ при больших значсниях рт. Величина !!Щ!) стремится к нулю при рт- ьо, т.
е. ось абсцисс является асимптотой (в подробных кур- /Я»л!!' сах алгебры доказывается, что норма степеней матрицы стремится к ну- 1Ф лю при росте показателя степени, если все собственныезначения матрицы по модулю меньше единицы). То обстоятельство, что спектр семейства оператоРов (й») не целиком ле- д г=д ег жит в единичном круге, сказывается на поведе- Рис. 53. нии величины !!!т»!! прн й- О и при не слишком больших значениях рт. Наибольшее значение величины !!!ТД на отрезке О < рт < Т (Т вЂ” произвольная положительная постоянная) быстро растет при уменьшении Ь.
Но это и означает неустойчивость на отрезке О ( ! < Т, в то время как поведение !!)т»!! при рт — с, связанное со спектром каждого отдельного оператора !4», совершенно несущественно при исследовании устойчивости. 5. Близость необходимого признака устойчивости к достаточному. Справедлива следующая Теорем а 2. Пусть оператор !4» определен на конечномер- Р ном при каждом Ь нормированном пространстве О» и равномерно по й ограничен некоторой постоянной с; !!йи!!< с. (12) Пусть, далее, спектр семейства операторов (1т») целиком лежит в замкнутом единичнол~ круге )Х!( !.
Тогда при любом а ) О норл~ы степеней операторов )т» удовлетворяют оценке !! 14»Р )! ( А (в) (1 + е)Р, (! 3) где А чь А(а) зависит только от е, но не от Ь. Факт, устанавливаемый этой теоремой, означает, что расположение спектра семейства операторов ()т») в единичном круге [гл. и УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСЛМОСОПРЯЖЕИИЫХ ЗАДЛЧ 402 не только необходимо для устойчивости„но и гарантирует от «грубой» неустойчивости.
При выполнении условий теоремы величина гпах 1~ /44ла! ~~Р~!Гна при й — О остается ограниченной либо растет медлеянее степени р!Тй! с любым основанием р = 1+ В, превосходящим единицу. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предварительно покажем, что если спектр семейства операторов Я,) лежит в круге !Л) ( р, то для любого Л, удовлетворяющего неравенству (Л)~ р+ В, В > О, существуют числа А = А(е) и /44 > О такие, что при любом /4 ( ЬВ и любом и ен !/м и Ф О, выполнено неравенство !!/~Ам — ~!! > — ',,',„'!!н~~ (14) Допустим противное.
Тогда найдутся е > О; последовательности чисел Ьл > О, Ьл - О; комплексных чисел Лм /ЛА! > р + В; векторов иА ен !/А такие, что !!ЙЛЛиА — ЛАиь (( '!ИЛ (!. (! 5) При достаточно больших значениях й, при которых — ( 1, р+е числа Лл в силу (!2) не могут лежать вне круга )Л)( с+1, так как вне этого круга '!Йлли — Ли~~(! Л! — '(/7А !)(и(:В!~и!!. Таким образом, последовательность ЛА ограничена, а следовательно, имеет предельную точку Л, (Л~ > р + В. Легко видеть, что в силу (15) точка Л принадлежит спектру семейства операторов (/7А), вопреки предположению, что спектр лежит в круге )Л! ( р. Пусть теперь /! — линейный оператор, переводящий некоторое конечномерноенормированноепространство (/ в себя.
Пусть для любого комплексного Л, !Л( > г > О, и любого и ен (/ при некотором а = сопз! > О справедливо неравенство !! /Ти — Ли!!) )а !! и !!. (16) Тогда Р+1 ! У' ! ~ (— ',, р = 1, 2, ... (17) Неравенство (!7) вытекает из следующего известного равенства: Л'= —,1, ф Л'(И вЂ” ЛЕ) '4(Л, (18) 1А! г АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ СПЕКТРА 403 5 45) и условия (16), в силу которого )((Я вЂ” ЛЕ) ')!( —. Для дока- зательства неравенства (13) положим а =, г = р+ е, р+е А (е) ' р = 1, тт=)кен ТОГда (17) СОВПадаЕт С (13). В заключение пал4етил4 доказательство равенства ()8).
Положил4 и = )1ив, и (Л) = ~~ —. и' ~-Л ' р-е Уиножим обе части равенства иры = йир на Л-р и просул4мируем по р от р = О до р = оо. Получим Л(((Л) — Ли' = Иl (Л), или (й - ЛВ) и (Л) = — Ли, и (Л) = — Л (Д ЛВ)-' ие. из определения (т(л) видно, что нт является вычетом вектор-функнни Л вЂ” и(Л): ( Х, и = — ~у Лр-~(( (Л) 4(Л = — —, 2н( 3 2н4 З Л ()1 — ЛЕ) и 4(Л. и )А! т ~ь! т Но пв = 4трнв, так что последнее равенство равкосильно операторному равенству ()8). В этом параграфе мы сформулировали спектральную поста- новку задачи об устойчивости эволюционных разностных схем, имеющую смысл для любых эволюционных разностных схем, приводимых к виду ир+4 =)саи +трн, и' задано так, чтобы выполнение условия )~йал~<К, р=!,2, ..., (7Я, было равносильно устойчивости.
Это могут быть двуслойные, многослойные схемы, схема расщепления н так далее для задач на отрезке, в многомерных или составных областях. Эта спектральная постановка задачи требует выяснить, лежнт ЛИ СПЕКТР СЕМЕйСтВа ОПЕРатОРОВ (ткь) В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ )Л) < 1. В 45. Алгоритм вычисления спектра семейства разностных операторов над сеточными функциями иа отрезке В этом параграфе мы опишем алгоритм вычисления спектра семейства разностных операторов Яь) над пространствами сеточных функций (или вектор-функций) на отрезке. За норму функции (или вектор-функции) примем максимум абсолютных УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ЗАДАЧ 404 4ГЛ.
44 величин значений, принимаемых функцией (или компонентами вектор-функции) . 1. Характерный пример. Семейство операторов (Йл), о = = Йли, определим равенствами о =(! — г)и +ги +ы о4=0, 1, ..., М вЂ” 1, ом =О. (!) Оператор Йл, определенный равенствами (1), возникает при ес- тественном приведении разностной краевой задачи А+4 Р Р Р и +' — и"' и,„+, — Им — =4Р(х, 1р), р = О, 1, ..., [Т т) — 1, ив+' = О, и' =ф(х ), и4 = О, 1, ..., М вЂ” 1, ~ к виду иг+' = Йлил + трР, ил задано. Соотношения (2) являются разностным аналогом дифференциальной краевой задачи и4 — и„= 4р (х, !), 0 а~ х ( 1, О < 1< Т, и(х, 0) =ф(х), и(1, !) =О.
Мы уже рассматривали разностную схему (2) в п. 2 $ 26 в качестве примера, иллюстрируюшего применение признака Бабенко — Гельфанда. Напомним, что согласно этому признаку исследование исходной задачи на отрезке следует разбить на исследование трех вспомогательных задач: задачи без боковых границ, задачи с одной только левой границей н задачи с одной только правой границей, для каждой из которых надо найти все собственные значения операторов перехода от иР к иР+'. Оказывается, что алгоритм вычисления спектра семейства операторов (Йл) совпадает с процедурой Бабенко — Гельфанда.
Чтобы описать алгоритм вычисления спектра семейства операторов (Йл), наряду с оператором Йл, заданным равенствами 4 —.Л .~ <- (1), рассмотрим три вспомогательных оператора: Й, Й и Й. 4 — -Ь. А — > Оператор Й, о=Йи, задается на линейном пространстве ограниченных функций и = (..., и ь им иь ...), определенных на ВСЕЙ СЕтОЧНОй ПРЯМОЙ вЂ” ОО < П4й < оо, ПО ФОРМУЛЕ о = (1 — г) и + ги +4, п4 = О, ~ 1. (3) Эта формула получается из равенств (1) при удалении левой границы в — ОО, а правой в +ОС, что отражено стрелкой с двумя концами в обозначении оператора: Й.
Оператор й, АлГОРитм ВычпслГипя спж<тРА 4 45! 405 о=)си, задается па линейном пространстве сеточных функций и = (ио, и!, ..., и>и ...), определенных на сеточной полупрямой х„, = и!4, и = О, 1, 2, ..., и стремящихся к нулю при и- +се. Он задается формулой о>4 = (1 г) ит + ги <.~.4, гп = О, 1, Эта формула получается из формул (1) при удалении правой границы в +се, что отражено мнемоническим зпачком— в обозначении оператора: Л. <. Наконец, оператор )Г, о =)Ги, над функциями и=(..., и„„..., им-4, им), и — О при и- — сю, определенными на сеточной полупрямой х„, = гпп, гп = ..., — 2, — 1, О, 1, ..., М, зададим формулами и =-(1 — г)и,„+ги 44, и=..., — 1, О, 1, ..., М вЂ” 1, 1 (5) из формул (1) при удалении левой отражено в обозначении оператора:444. Эти формулы получились границы в — сс4, что также й«лт</У «и-.
е<пт ><им 'т' Рвс. 54. Мы видим, что операторы )с, )Г и )х от й не зависят. Области определения функций и = (и„,) для операторов (!), (3), (4) и (5) показаны на рнс. 54. Будет показано, что совокупность собственных значений всех трех операторов и составляет спектр сел4ейства разност~ых операторов Я,). < » - <- Собственные значения операторов )х, 14 и й4 мы уже вычисляли в ф 26, однако воспроизведем здесь нх вычисление, так как, прежде чем переходить к доказательству сформулированного утверждения, надо отчетливо представить себе структуру «-» - <- собственных функций операторов Й, 14 и )т. Прежде всего выясним, каково множество точек л, на комплексной плоскости, для которых уравнение )си — Хи=О 4ое устопчивость негАЧОгопеяженпых 3АдАч сгл, сс имеет ограниченное решение и = (и,,), и = О, ~1, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
