Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

о т 2Ь 2 р=о ! ° ° ]Т/т] 1; т= и' = 2Р (х ), пг = О, 1, иом'2 = 2Р2 (! „,), р = О, 1, т = Ро, р=о, Ь о которое мы будем использовать в форме в точках (тй, 0), в точках (1, рт), в точках (О, рт), в точках (тй, рт), 1,...,М, 1, ..., (Т/т]. 1, ..., (Т/т] — 1, 2, ..., М вЂ” 1; 1, ..., (Т/т] — 1 коистяккция опвглтогл пегвмодл 382 !гл. !з Как было показано в $23, аппроксимация в этом случае имеет порядок Ло.

Покажем, что при выборе нормы 1~и!о>1~л по где г ( 1 наряду с аппроксимацией имеет место и устойчивость Мы проверим устойчивость, приведя разностную схему (12) к каноническому виду (2). Положим для этого ил = (ио' ио имо) с нормой м»»а ь'!!-(-",!г!'->» Т ! .г) . »» ! Оператор )сл определим следующими формулами: Если а=(ао, а„..., ам), Ь=(Ьо Ь! ., Ьм) и Ь =Ила, то Ьо = (1 — г) ао + га,, »„=( — —,'+ — "),,+(! —,'! „+( — '+ — "), „,~ т=1, 2, ..., М вЂ” 1, В таком случае Условие 1', очевидно, при нашем выборе норм не выполняется.

В самом деле, если, например, 0 в точках (тЛ, 0), 0 в точках (1, рт), 1 в точках (О, рт), 0 в точках (тЛ, рт) то 1! 1!л! 11" л так что нн при каком К! не может выполняться для всех Л неравенство 1) р о )1 ( К 1) 1 (л! 1) формуле м х»а !. !.,— -(~!ч~ч-» Т. !"„!) л» 1 »)»! (!р+!) 1 ро (о)!Р !рл !рл т=О, 1, ..., р=0,1,..., р=0,1,..., т=1, 2, ..., р=О, 1,..., р =(1, О, ..., 0), ))р'11==" ч»»Г »»2 М, (Т(т), (Т(т) — 1, М вЂ” 1, (ТЯ вЂ” 1, 383 использовлние частных Реше4из э 421 При сделанном нами выборе пространства 0», состоящего из векторов ил=(иоп, ип,, ..., 44Рм), и при нашем выборе норм, по-видимому, нельзя указать оператор )14» так, чтобы условие 1' выполнялось, но условию 1' удовлетворить можно. Прежде чем доказать последнее утверждение, заметим, что если изменять норму )) 11 1)(Р„, положив м и ЬР ив ь,- й -.

~ " ~+ 2 и 44) + - 1 — ', 1+ - - ~ с Ь Р т О то оператор )44, определенны(4 формулами (13), будет удовлетворять условию 1', но порядок аппроксимации будет не йа. а только И 1С Иы умеем, не меняя норм, привести разностную краевую задачу (12) к каноническому виду (2) с соблюдением условий 1' и 2; если за 0» принять совокупность сеточных вектор-функций Г ип+ т РР=~, =а, 1, ..., И. и пт При этом услоасн44тся конструкция оператора В, и оценка нормы его степе- ней. Поэтому мы не будем рассматривать такое приведение. Покажем, что при сделанном нами выборе (13) оператора 1444 существуют ЕР, удовлетворяющие условию 1*: ! — -'(е"' — Л еа) ~ < К,)) ~ьм()Р .

! -' Для построения функции г1»1 поступим аналогично тому, как мы делали в примере 1, и выпишем стационарное (не зависящее от р) решение задачи р-~- 1 п п Зп$ ат Зт+~ Зт ~ т Зтч ~ йат + ат ! т 2» 2 Ьз лт = 1, 2, ..., М вЂ” 1, ао зо а~ ао о Еп — фР м в предположении, что сроп и зйл фиксированы и от р ие зависят. Это решение имеет вид "='""1(=) -(.+1) 1+ ' Функция (ЕР) удовлетворяет оценке ))» ()~КИ1»'))Р„, К =2.

констрткция опарлторл пгреходл 1гл. !з 384 Действительно, м л,'а !*'! =(у !*;!'4-Р 1' ! ' !'! ( т=! < 2г! !пах ) гав ) + гп ах ! а(!, (1 ) ) ( 2 !! ~ !и !! Пусть р+! )т р где ЬР = (чР, О, О, ..., О, — , ~ ~р>х Поэтому ~Р р+! Р ! .йр так что :) ",'1 -(:+~) ]+ + (!Р! (рр+!) — !Р! (!р)) + т!РР, т = О, + (!р! (1р+ ) — Ф (гр)), 1 ( т ( М, Цгрр+ !— ь (ч!р+! т=М. 1 р координаты вектора р' =рр — — $» имеют вид О, Следовательно, (!рР+! !рР) ~1 ( ) ~ т=О, Ф! (гр~.!1 Ч!! (!р) Л ! + г (Г г 1 ! ((ар+! р) т т 0 о 2 11,г+1у -( —;,1,) ]+~р, О<т<М, т = 'р!. О, Неравенство, означающее условие 1' !!Р'!!=~р' — — (~'+' — Р ар)~~К )!Р"'!! „, т Поскольку ар — решение стационарной задачи, можно написать ар !'! ..Р ! йр ИСЛОЛЬЭОВАНИЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИИ л ен 388 выполнено: м-! л!с, ! е' !! = ( — ! и !' !. л 1; ! ел !') < са ! и ) е(сс (сл+!) с!сс (ся) ~+ л ! чсл чсе! 1, ) ~ 11 я!А!!! т т ы "л Выполнение условия 2' 1и !1<К,1(и 11,л очевидно и 'л'С* я м 'А1Се !!.ч-(4! с!";е с, !".г) <! е с.

~«,'.с) <с! "с„. ея ! сл О Для доказательства устойчивости, которая имеет место при г < 1, остается показать, что при этом условии ~~~ил'1<.К, р= 1, 2, ..., (Т)т). (15) где К вЂ” некоторая постоянная, ие зависящая от (!. Докажем сначала, что для любого вектора и = (ио, иь ., им), компо- нента им которого равна нулю, справедливо неравенство 1! ст„и 1! ( (11 и !1.

(16) Далее, применяя оператор 1Асл к вектору (О, О, ..., О, 1), полуг гя чим вектор (О, О, ..., О, — + —, 0), норма которого не превосходит ~сс(с. Поэтому для произвольного вектора и = (ил, иь ..., илс), компонента которого ил, не обязательно равна нулю, имеем с учетом неравенства (!6), справедливого для вектора и вида и = (ио, ис, , им-ь 0), 11)(А!с~1=!117л(сср, ии ..., им „0)+им!с!,(0, О, ..., О, 1) 1~(~ <1~)лл(ил, и„..., им-! 0)!!+~им!1й ~< ~1!(ил, ссс, ..., им-с, 0) 1!+ ~1(0, О,..., им) !(<21!и)1, 1 сел 1! ~ <2.

(17) Теперь докажем неравенство (!5). В силу определения опе- ратора )тс, вектор и=стс,и имеет нулевую компоненту пм, пес=О. Поэтому, используя (16) и (17)„получаем !!КРАН%=с!!Я '(!тли)!|=Цел 'п!~~1)п(1= 1стс,и!~~21!и!1 )(!7~л!)(~2 К Остается обосновать неравенство (!6), на которое мы опира- лись, т. е.

доказать следующее предложение. Пусть и = (и,, иь..., им ь 0) — произвольный вектор, ком- понента ил! которого равна нулю, и пусть и = — стс,и. Тогда сля!3 С. К. Геялпее, В, С. Рябеяыяж копстРукция ОпвРлтоРл псРвходА 386 сгд со ))п))())и)), т. е Ас; С. м 'с! — о„'+1! ~ и') (~ — ио+гс ~~с сс') I! 2~ а !и ! о! ! (18) Напомним, что в силу определения (13) оператора )то оо = (1 г) ио + ги! "-(--; !) -- — " (1 Я- ~ = о. А! 1 <2И~+ ~:,Р Ю-! и Отметим неравенство в' (~( — —,' + — ') и, +(! — г") и +( — '+-'-) и ос~ + го (1 — г') + 4 (и ! — 2и +и„)2= гс (1 г) г! (1 + г) — ио +(! — го)и' + ссо — г(1 — го) и ссс,„+ г(! — го) и и которое выполнено при г~ 1, а также очевидное тождество г! ( 1 — г) , 1 2 , г' (1 + г) 2 Теперь при г ( 1 легко проследпть справедливость следующей цепочки нераненств, не считая прн этом, что им = О: М 1 — в„'+ ~ и,'„< фссо(1 — г)+ и,г)2+ о! ! м-! ~! [г'( — г) 2 1 (! 2) 2 1 г'(1+г) 2 со — ! т 2 !оо! о! ! — г(1 — го)и,и +г(1 — го)и и м 1 = 2 (ссо(1 — с)+исг)2+ ') ио + т=! Г г'(1 — г) г'(1 + г) 1 г! (1 — г) +(, и— о 2 и — г(1 — г)и и 2!— 2,п-! сс,' м = ~ 2 по+ ~ сс,„~ — и (по+ ь(1 Г)!со+ гсср ) — 2 ич 2 г(1 ос ! ОЦЕНКА НОРИ СТЕПЕНЕЙ ОПЕРАТОРОВ ззт Я 4А! Полученное энергетическое неравенство ,и м — о,'-+ ~~ о-'„( — и,'+ ~ и'„ ~44 ! 4П ! сильнее неравенства (18), которое мы доказываем.

Итак, устойчивость схемы (12) при г ( 1 установлена. При г ) 1 устойчивости нет ни при каком разумном выборе норм, так как нарушено необходимое условие устойчивости Куранта, Фридрихса и Леви. $ 43. Некоторые способы оценки норм степеней операторов В Я 41, 42 было показано, что эволюционные разностные схемы Сап!А! = )4А! (1) обычно можно привести к виду иР+! = !ТаиР+ трР, и' задано (2) $ !типов з! = ! ла !'[[и4"'[[, и поэтому [)САР~[) ! !!.А [Р.

Поскольку )4л — произвольное собственное число, то ~!) А!А (! ) [шах ! 7!А [) Р, р = 1, 2, ..., [У[т), (4) где п4ах[А.4,[ — наибольшее из собственных чисел оператора !4!А. В силу (4) очевидно (см. ~ 15), что для выполнения условия (3) дог'кен существовать круг ! Х [(~ 1+ ст (5) 4/4! 34 так, чтобы устойчивость была равносильна равномерной по г! ограниченности норм степеней оператора перехода !!!4А![<К, р=1, 2, ..., ["4"7т). (3) Поскольку условия (3) равносильны устойчивости, то любой способ исследования устойчивости есть также способ проверки того, выполняются ли неравенства (3). Здесь мы изложим с точки зрения оценки норм степеней операторов некоторые подходы к исследованию устойчивости, встречавшиеся уже в гл. 8, дополнив эти подходы новыми аспектами. 1.

Необходимые спектральные условия ограниченности !! )ТАР ~. Пусть ) А — какое-нибудь собственное число оператора )тА, а и!"! — соответствующий собственный вектор, !сан!А' = 7!Аи4А!. Тогда констп лсция опеглтогл псггходл сгл. сз па комплексной плоасосгп с постоянной с, пе зависящей от и, в котором лежат все собственные числа оператора ссл. Проведспные рассуждения лишь несущественно усложнятся, а результат не изменится, если в качестве лс, рассматривать не только собственные значения оператора Йл, но и все его точки спектра. В слу !ае, если Ул — конечномерное пространство, спектр оператора ссс, пс зависит от выбора нормы и целиком состоит пз собстгсепных значений. Это — важнейший случай, естествен!и! возникающий при аппроксимации дифференциальных красных задач в ограниченной области разпостнымп задачами иа сстке 0л, состоящей из,конечного числа узлоа. В этом случае условие (5) необходимо для пыполнеиия условия (3) независимо от выбора нормы.

Если необходимый спектральный признак ус!о!счивости ис выполнен, задача безнадежно неустойчиоа — этого нельзя поприаить никаким разумным выбором норм. Лпалос!~чнусо ситуацию мы подробно разбирали для случая обыкпопсппых разпостпых уравнений в й 15. Выявим связь между спектральных! признаком Неймана устойчипости разпостной задачи 1(оши, рассмотренным в Э 25, и спектральным признаком (5) равномерной ограниченности (3) норм степеней оператора ссл.

Характеристики

Список файлов книги