Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(2) где р пробегает все значения, при которых р" определено; 2' (!ка(!(Кг!! Рм ((ла. При зтом оператор /сь можно выбирать по-разному. Цель приведения к виду (2) состоит в том, чтобы по оценкам величин !! //р'й можно было судить об устойчивости. Было показано, что оценка /ела!! < К р = 1 2 ~Т т! (3) обеспечивает устойчивость, если только оператор /са и нормы выбраны так, что выполняются условия: !' )! р (! ( К, !! ~Рм ((„ зте коистРРкция ОпеРАТОРА пеРехОдА 1гл.
~з В примерах, рассмотренных в 5 41, оператор КА удавалось выбрать достаточно простым и в то же время обеспечить выполнение условий 1' и 2'. Однако могут встретиться и такие примеры — один из иих мы рассмотрим в этом параграфе, — когда условие 1' является слишком жестким, так что оператор йь с учетом этого условия нельзя взять достаточно простым. В этом параграфе будет показано, что оценка (3) остается достаточной для устойчивости, если условие !' заменить менее ограничительным условием 1'.
Благодаря замене условия !' условием 1' оператор !ТА при приведении разиостиой схемы к виду (2) можно выбрать тем проще, чем больше сведений имеется о решениях рассматриваемой разиостиой задачи (1). В частности, структура оператора г!А, пригодного при приведении разиостиой схемы к виду (2), упрощается, если известны некоторые частные решения разиостиого уравнения, входящего в состав разиостиой краевой задачи (!). Соответственно упрощается доказательство неравенства (3), из которого вытекает устойчивость. Все это мы поясним позже примерами.
Перейдем к формулированию условия !'. Пусть гоо — какая-нибудь сеточная функция иа УА, зависящая, вообще говоря, от !ПА!. При приведеиии разиостиой схемы (1) к каноническому виду (2) мы расслаиваем сеточную функцию иеп иа функции иР~ИА. Проведем такое же расслоение функции г<А! Па функции гР ев УА и предположим, что ЕР удовлетворяют неравенствам вида !!гР !!~К!!Р~!)Р„, (4) где К вЂ” некоторая постоянная, а р пробегает те значения р = = О, 1, ..., ры при которых гР определено. У с л о в и е 1'. Существует функция г~ь!, удовлетворяюи!ая неравенствам (4) и такая, что справедливы оценки )!р' — — (га ы — ))~~')~ ~( К !! Р' !!Р„ Если в качестве г!А> можио взять гео = — О, то выполняется ие только условие !', ио и более жесткое условие 1'.
Те о р е м а. Если разностная задача (1) записывается в каноническом виде (2) с соблюдением условий 1' и 2; то из оценки (3) вытекает неравенство !! иР !! ( с !! ) <А' !!Р„, (5) означающее устойчивость. Постоянная с может быть выбрана по формуле с = К(2Кг+ 2К+ ТКь) + К 377 ИГПОЛЬЗОВАНИЕ ЧАСтпЫХ РЕШЕНИЯ $42> Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем функцию ш>"> = и>"> — г>л>, для которой из уравнения и +' =И„~~+ тр вытекает равенство 4Л4Р4-> = Я 24>Р+ Гро где 1 рР = рР— — (ЕР+> — ЯлеР), т (6) В силу условия 1* имеем Ц РР Ц ( К, Ц[>л> Ц Пользуясь равенством (6) и неравенством (3), без труда находим, как мы много раз делали, Ци>РЦ б-.КЦ и>'Ц+ ТКгпахйрРЦ(КЦ ц>о[+ ТКК, Ц1м> ЦР„. (7) Далее, Цш'Ц(2(К + К) ЦЦ>л> ЦРл. (8) Это следует из неравенств Ц шо Ц = Ц ио — ао Ц ( [ ио Ц + Ц ео Ц Ц" Ц(К,Ц[м Ц,л, ЦеоЦ(КЦЦ Ц,л, второе из которых совпадает с условием 2', а третье — с нера венством (4) при р = О.
Подставив оценку (8) для Ц ц>о Ц в (7), находим, Ц ц>Р Ц ( [2 (К, + К) К + ТКК>! Ц [>л> ЦРА. Остается только заметить, что ЦиРЦ=Цц>Р+ ЕРЦ(Ци>РЦ+ Цго[( <~ ([2К (К, + К) + ТКК>! + К) ! 1~м ЦРл 4 ( [К (2К2 + 2К + ТК>) + К[ Ц 1м> ЦЄ—— с Ц 1>л> Црл, Благодаря замене условия 1' условием !' при исследовании устойчивости можно распределить трудности между построением такого опеРатоРа >гл, ноРмы степеней котоРого не слишком трудно оценить, и доказательством существования функции г>л> Потребовав с самого начала, чтобы условие 1' выполнялось при г>л> = О, т.
е. чтобы было выполнено условие 1; мы накладываем тем самые жесткие ограничения на выбор оператора Ял. Может оказаться, что любой оператор >гл, который нам удается подобрать с выполнением условия 1', имеет сложный вид. конструкция ОпеРАтОРА перехОдА зтв !Гл. 13 Это разностная задача аппроксимирует задачу иг — и„=~р(х, Г), 0<х<1, 0<г<Т, и(х, 0)=ф(х), 0<х<1, и(1„!) = ф (!), 0 < ! < Т, при следующем выборе норм: !!и<м!!ОА —— шах шах!ир ), р т !! )чА' !!,„= шах гпах ! ~рр ~ + гпах ~ ф (х ) ~ + Р т т Ф (гр+~) — Ф~ (гр) + гпах! ~>~ (! ) ! + шах ~ Р Р Для приведения задачи (9) к каноническому виду (2) положим иР=(ивР, иР„..., иРм), !!и))=шах~и Р1 (! 0) так что оценка нормы его степеней слишком трудна.
С другой стороны, выбрав оператор !гь предельно простым, скажем единичным, и не увязав его с разностной задачей, мы перенесем всю трудность на проверку выполнения условия 1", т. е. на по.лучение оценок для функции х~">, которую в этом случае наиболее естественно выбрать совпадающей с и~А~.
Введение такого оператора )гл и такой функции г!А! нисколько не продвинуло бы нас и исследовании устойчивости. В качестве оператора ИА надо стараться брать как можно более простой оператор. Однако )гА должен настолько полно учитывать свойства разностной задачи Ели'А> = )'А>, чтобы выполнение условия 1', т. е. существование функции г<">, было достаточно очевидным. Часто удается воспользоваться свободой в выборе )гь, которая возникает благодаря тому, что вместо условия 1' должно выполняться лишь менее ограничительное условие 1*, для облегчения доказательства устойчивости. В качестве функции гро при этом используются функции, которые строятся из решений разностных задач при правой части )ЧА> того или иного специального вида. Мы сейчас покажем на примерах, как пользоваться предлагаемым приемом.
Пример 1. Рассмотрим разностную краевую задачу (1) вида и' = ф (х ), гп = О, 1, ..., М. ирм = Ф, (!Р) р = 1, 2 . (Т(т!. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕ!П$Н Оператор )г», Ь = К»а, переводящий элемент а = (ао, а!, ... ..., ам) пространства Г» в элемент 6 = (Ьо, Ьь..., Ьм) того же пространства, определим равенствами Ь =(1 — г)а +га ьн т=О, 1,..., М вЂ” 1, Ь„=О, = т!Ь. Тогда, очевидно !!!! (гр+!) ! р = (!г !р ° 'рр, ) ° Ясно, что условие 1' !!р'!!(К !!)'!»)!1~„ не выполнено из-за того, что последняя компонента вектора ро* !р! ((р+!) есть и растет при т-~0. (В этой задаче легко было бы задать оператор )г» так, чтобы условие 1' выполнялось.
Для этого достаточно в определении оператора й!» равенство Ьм = О заменить равенством Ьм — — а»,.) Между тем нетрудно указать такое гр, что условие 1* ))ро (2р !! !С»гр) )((~д !1(! ! !!Г окажется выполненным. Левая часть этого неравенства записывается в виде ((, Ф ((р+;)~ !Рр !р р грр ) — — (г'+ ' — )г»гр) ~ . ~о !1 м!1 т ) Поэтому для доказательства выполнения условия 1' достаточно построить функцию г!»), удовлетворяющую уравнению — (гр+' — )Г»гр) =(О, О, ..., О, Ф(гр+!) ! которое можно записать в виде 2'+' =й»го+ т(0, О... „О, !р! (гр+!) ! или — = О, т = О, 1, ..., М вЂ” 1, гр+! — ф (( ) В слУчае, если !!!!(!Рч.!) не зависит от (, эта задача имеет стационарное (пе зависящее от р) решение г" = ф, =сонэ!.
коистРукция ОпеРАРОРА пеРеходА 380 )гл. 1з В общем случае ф,"=ф,(() зависит от р, но при ограниченной 1 Ф (гр+~) — )Р1(гр) норме 11)А) !!р„, содержащей член ~ ' ~, не может быстро меняться. Поэтому функция з)А), определенная равенством гр — ф,(г ), хоть и не будет стационарным решением (да и вообще решением) задачи (! 1), но «почти» удовлетворяет соотношениям (11). Именно ! г'1Р~ (грн) — $1(гр) Ф (гр ы) — чч (гр) — (гре' — й' гр) — (х т А (, т г "~' (~р+~) — Ф (гр) чч Ор+~)) т Поэтому Ф Ор+ ) — Ф (гр) Р' — — (г'+' — ОАЕ )!1 = Р т о $1(гр+1) — Ф ('р), чч (грэ ) — ~Р1 (гр) )~ % т ° 'Рм-1 ~~!) (~РЯ ~РП .
э ~Рм 1 О) ~ + +~ О ((!(1, 1, ..., 1, 0)!!е !!)" !1„„ Условие 1* выполнено; К=1 и г)М удовлетворяют неравенству (! г р )! = гп ах ! г'„~ ~ (!! ()А) )!РА Условие 2' (ио(~~У;,)(1' )!!РА также выполнено: ! из )! = гп ах ! и' "! = гп ах ! ф (х ) ! < )! (<А> !1 И$ р1 Для доказательства устойчивости, которая имеет место при т ( Л, достаточно показать, что 1)гь~~(~1.
Справедливость этого вытекает из оценки )! )хь )! ( 1: !! )гза ! = гпах ! а (1 — г) + га„+, ! (гпах ! а ! = (! а )1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИИ ЗВ2 П р и м е р 2. Рассмотрим в качестве более сложного примера другую разностную схему для той же дифференциальной краевой задачи (10): цо+2 цо ~2Р и2Р 2и,'„+ и,'„ 22 2 2Р22 1, 2, ..., М вЂ” 1, ~ ..., М, ..., ]Т/т] — 1, Р Р и,„+ 2 — и„, с и Р (12) 1, ..., [Т/т] — 1. > Порядок по х разностного уравнения„входящего в эту схему,-- второй, а порядок соответствующего дифференциального уран- нения (10) — первый. Поэтому на левой границе х = 0 (т = 0) добавлено условие ир+2 — цО цо — ир О О 2 Π— 2РР т Ь вЂ” о иР+2 =(1 — г) по+ га', + т2Р,', Разностную схему (!2) мы уже рассматривали в $23, где обсуждались вопросы аппроксимации. Норма в пространстве РА там была введена следующим образом: если 1(А)=! С' ,Ро га = 0 р=О р=О т=! р=о, то ср+2 — со ]]/!А> ]]„= й щах ] со ] + й гпах ~ + "А р т и ч Ьо+2— +(й~ ]а ]21 +щах](2Р]+щах~ Р Ьо + гпахгпах] 2РР ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
