Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 52
Текст из файла (страница 52)
этого неравенства была возможно меньше. При этом подчинение базисных функций каким-либо граничным условиям не является обязательным, в отличие от того, как это было в предыдущем примере. 4. Проекционный метод Галеркина. Б. Г. Галеркнн в 1916 г. предложил численный метод решения краевых задач, не требуюший знания нх вариационной постановки. Изложим этот метод на примере краевой задачи (А), причем, как в п. 3, будем считать, что г+ ! 1(х у)=0~ (х~ у)енй1 (36) и(г =О. Вновь выберем систему базисных функций (22), но будем считать (временно!), что функции в~ (х, у) имеют непрерывные вторые производные. Вновь будем искать приближенное решение в виде линейной комбинации н!А! (х, у, а!, ..., ан) = ~ а„в„" (х, у).
(37), а ! '342 ВАРНАш[Онно. и пРОекционно-РАзностные схемы [гл [2 Подставим выражение (37) в левые части уравнения и краевого условия (36). Получим д-' д' д„. [[ЕА[(» У и[ ° ° ° ах)[+ д г [шх(х У о[ ° ° пх)[ [(х У)= = — 6А[(х, у, а„..., ащ), ц[м [г = О, где бм(х, у, а[, ..., ах) — возникаюшая невязка. Введем в пространстве [Р', наряду со скалярным умножением (и[', н["), введенным выше, еще скалярное умножение [ш', ш"[= ~~ и['шчг(х[(у. о Если бы бм оказалась ортогональной ко всем функциям из [Р в смысле этого скалярного умножения, то бн(х, у, аь ..., ан) была бы тождественным нулем, а и[А было бы точным решением.
Однако параметров а[, ..., ам слишком мало, чтобы, распорядившись ими, можно было получить точное решение. Поэтому подберем их из условия, чтобы проекции. невязки на все ь[„, и = 1, ..., 6[, были равны нулю, т. е. чтобы невязка была ортогональна ко всем базисным функциям (22) ~6 1, [ЕА' [ = О, п = 1, ..., 6[.
(38) В оазвернутом виде система уравнений (38) относительно чисел .а[, ..., ан запишется так: 0('-'+"')<" "=11к" " о о л=1, ..., Лl. (39) Интегрируя по частям, видим, что благодаря условию в„"[„= О имеет место равенство ~К вЂ” '+ — "')-."""= о =-Ц( — ',": —;" + — ',„' — ',"„')'"= о ф о ВлРилционные и ПРОекционные метОды Поэтому система (39) перепишется в виде ~, а,. (ш,"', шх) = — [), юм), п =1, ..., Л) (40) г ! и при сделанном выборе скалярного умножения 1,) в точности совпадает с системой (29) метода Ритца.
От дополнительного предположения о наличии вторых про- изводных у базисных функций можно отказаться, поскольку уравнения метода Галеркина (40) сохраняют смысл и без этого дополнительного требования. 5. Способы решения алгебраической системы. При не очень больших Л)(Л/ !00) система уравнений метода Ритца или Га- леркина может быть решена точно по существующим стандарт- ным программам для систем линейных уравнений.
Далее, матрица шм системы Ритца (29) в нашем примере (а это типично) есть матрица Грама для системы базисных функций ю~, п = 1, ..., ЛГ. Очевидно, что она симметрична, и известно, что.она является положительно определенной. Поэто- му для вычисления решения системы Ритца (29) можно вос- пользоваться каким-либо итерационным методом, например ме- тодом итераций с чебышевским набором параметров.
Итерационные методы значительно облегчаются, если лишь немногие элементы матрицы шм отличны от нуля. Мы увидим, что в варнационно-разностных и проекционно-разностных схе- мах так именно и будет. 6. Вычислительная устойчивость. Мы видели, что точносгь приближенного решения при заданном числе Лг базисных функ- ций ша, п = 1, ..., М, зависит от того, насколько хорошо мол' жно приблизить решение элементами Лг-мерного линейного про- странства, натянутого иа базисные функции. Таким образом, точность зависит от выбора аппроксимирующего пространства, но не базиса в нем. Устойчивость, или свойства обусловленности системы урав- нений (29) метода Ритца, или системы (40) метода Галеркина, зависят от того, насколько матрица оз" этой системы хорошо обусловлена. С точки зрения устойчивости было бы идеальным, чтобы базисные функции ш"„', л = 1, ..., Лг, образовывали ор- тонормальный базис.
Тогда матрица аз" была бы единичной. ЗАДАЧИ Ь Показать, что решение следующей первой краевой задачи пля зллнп- тического уравнения с перемеинымн козффипиентамн д Г дич д Г дич — (а (х, у) — 1+ — 1Ь (х, у) — 1= ! (х, у), дх )ь ' дх) ду) ' ду) и )г = р (з). а(х,у)~аз)0, Ь(х,у)~йз)0 ПОСТРОЕНИЕ И СВОЯСТВА СХЕМ 345 и-й член которой в~(х, у) в точке Р~~ принимает значение 1, а в остальных точках сетки обращается в нуль: в" (Рпь)=6~, и, й=1, 2, ..., Л!. В этом случае линейная комбинация ип(х, у, а„..., а„) = ~ алвп(х, у) л ! в точке рм принимает значение ип (рп) = ал, и = 1, ..., Л!.
Поэтому можно написать и, (х, у) = ~ и (рп) вя (х, у). л 1 Система уравнений Ритца для определения таких значений коэффиЦиентов аь ...,ап линейной комбинации, пРи котоРых вариацнонный функционал достигает минимума на линейном пространстве, натянутом на базисные функции вп!, ..., в", будет связывать таким образом значения ип(Рп), и= 1, ..., Л1, самой искомой функции ип в точках выбранной нами сетки Р, ..., Р~„т.
е. окажется некоторой разностной схемой. Эта разностная схема в соответствии со способом ее построения называется вариационно-разностной. Точно также, если воспользоваться базнсными функциями в~, ..., впч, удовлетворяющими условиям (1), для реализации проекционного метода Галеркина, то уравнения Галеркина превратятся в некоторую разностную схему, которую естественно назвать проекционно-разностной. Для наглядности полезно заметить следующее. При заданных значениях и, (Р ), и =1, ..., Лl, линейную комбинацию .(, )=2. п(Р„) „'(.,у) можно понимать как некоторую формулу, доопределяющую, нлн восполняющую, функцию им(х,у) всюду в области 0 по еезначениям и„(Р„'~, и = 1, ..., Л!, в точках сетки.
Очевидно, что выбор сетки Рл, и = 1, ..., Л/, при заданном числе У, а также выбор системы базисных функций вп!, ..., влп, удовлетворяющих условию (1) и определяющих способ восполнения сеточной функции, неоднозначны. Так, например, в одномерном случае функцию можно было бы восполнять на отрезке по ее значениям на сетке кусочно-линейно, квадратнчески, строя интерполяционный многочлен Лагранжа и т. д. От выбора сетки Р„'' и базисных функций зависят вид и свойства возникающей: 34Б вхвнхционно.
и пвовкцнонно.газностныв схемы >гл. м вариационно-разностной или проекционно-разностной схемы для данной вариационной или дифференциальной краевой задачи. Рассмотрим примеры вариационно-разностных схем для задач (А) и (В) из 5 38. Прн этом будем считать, что область О, где надо найти решение, выпуклая. (Область 0 называется выпуклой, если вместе с любыми двумя точками Р и Р', принадлежащими области О, каждая точка отрезка РР' с концами Р и Р' также принадлежит О). Предположение о выпуклости области 0 пе вязано с существом дела, но облегчит изложение.
2. Пример вариационно-разностиой схемы для первой краевой задачи. Фиксируем натуральное Л/. Впишем в контур Г. ограничивающий область 0, замкнутую несамопересекаюшуюся ломаную Я>9~ ... 9~1,» с вершинами в некоторых точках Я)ч, ..., 1;>". Обозначим многоугольник Я>> ... Я"с)" ,через 0>г. Разобьем многоугольник 0>г д на треугольники так, чтобы каждое звено ломаной Я",... ...
9~1',1',~ оказалось стороной >1 одного из треугольников и чтобы каждые два треуголь- >1 г ника этого разбиения либо не ~г пересекались, либо имели об- 1>г щую вершину, либо имели общую сторону и чтобы общее число вершин Р~, ..., Р~з этих треугольников, лежащих внутри многоугольника 0м, равнялось Л/. Совокупность точек Р,", ...,Рз~ и примем за сетку (рис. 47). Теперь построим базисные функции ь>х, ..., а>"'. Определим базисную функцию ь>м(х, у), п=1, ..., Л>.
Сначала зададим ее в точках сетки по формуле (1) ь>~(Р~) =6~, п, А=1, ..., Л>. Затем зададим ее в точках ф', ..., Я~, положив ее равной нулю в этих точках. Таким образом, функция ь>~(х, у) уже определена во всех вершинах треугольников, образующих разбиение 0х. В каждом из этих треугольников доопределим ее линейно.
Осталось определить ее в области 0'~0м, где мы положим ее равной нулю. Заметим, что в тех треугольниках, для которых Рв не является одной из вершин, функция га„"(х, у) при нашем построе- 84Т ПОСТРОЕНИЕ И СВОПСТВИ СХЕМ нии окажется равной нулю. В треугольнике с вершиной в точке Р„"функция ах =ах(х, у) в пространстве хугв изобразится куском плоскости (рис. 48), проходящей через сторону, лежащую пРотив веРшины Р~ и приподнятой на единицу над точкой Р» Система уравнений Ритца (29), 5 38, для определения коэффициентов а = гвх(Ри), задающих ПРиближенное решение в Ю гвм — — Х и (Ри)в,!'(х, у), 6~ имеет вид и (Рм) ( и4 в ) 1 ~)в~я,(х др ! ! и и=1, ..., М. (2) Рис.
48. Это и есть вариационно-разностная схема, возникающая при сделанном выборе сетки и базисных функций. Матрица этой разностной схемы в~ = ~ (в„'~, в",. ) 1, и, 1 = 1, ..., Лl, имеет элементами числа Г дв~ дви да~ да~ и Очевидно, что только те числа (в~, вД могут отличаться от нуля, для которых точки Р„" и Р4 яиляются вершинами одного и того же треугольника разбиения.
Действительно, если Р„" и Р не являются соседними точками сетки в этом смысле, то области, в которых вх чь 0 и в~ чь О не пересекаются, а потому подынтегральное выражение в формуле (3) всюду в области интегрирования 0 тождественно обращается в нуль. Таким образом, и-е уравнение из числа образующих вариационно-разностную схему (2), связывает значения искомой функции в точке Р~ со значениями этой функции только в тех точках сетки, которые являются для нее соседними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
