Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 54
Текст из файла (страница 54)
3. Пример вариационно-разностной схемы для третьей краевой задачи. Рассмотрим третью краевую задачу (В) э 38; †„ + о (з) и = !р (з). (25) Пусть при некотором Л7, принадлежащем заданной возрастаю. щей последовательности натуральных чисел выбрана сетка Р",,..., Рмл и система базисных функций ыи!, ..., ым„удовлетворяющих условию (1) ы„"'(Р")=бь, и, 1=1, 2, ..., Л! Тогда для коэффициентов в (РД линейной комбинации ц!,у(х, у) = ~ тп„(РДы~(х, у), придающей минимум функционалу з(ш) на классе всех функций вида и!=а, ам!+ ... +алым,, система уравнений Ритца (35) 3 38 запишется как следующая вариационно-разностная схема: Е-.(Р;) ~.
Ю =- 5)М "~у+ ~ Ч() -:" ! ! 'в г и=!, ..., Лг. (26) Несколько конкретизируем выбор сетки и базисных функций. Для заданного натурального Лl впишем в контур Г замкнутую несамопересекаюшуюся ломаную 1„"гЯч ... Ячф' с вершинами е точках 1;)и!, ..., ян и ограничивающую многоугольник Ом. Разобъем этот многоугольник иа треугольники так, чтобы каждые два из них либо не пересекались, либо имели общую вершину, либо имели общую сторону и чтобы общее число вер- ПОСТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА СХЕМ % 391 шин этих треугольников, включая вершины ф~, ..., О~, оказалось равно Л~. Совокупность всех этих вершин примем за сетку.
Обозначим точки сетки через Р,", Ри, ..., Р~~, причем положим для определенности Рч =Яи для и = 1, 2, ... „., ги, Определим теперь базисную функцию в~и(х, у), и = 1, ..., ..., Л~, следующим образом. Сначала зададим ее в точках сетки в соответствии с условием (1): ви(Р) =бА, и, й=1, 2, ..., Л/. (27) 12* Затем определим ее в каждом треугольнике разбиения так, чтобы она оказалась в этом треугольнике линейной функцией, принимаюшей в его вершинах значения по формуле (27).
Таким образом, функция в~(х, у) уже определена всюду в многоугольнике 0и. Определим ее теперь в области 0',0и и на Г границе Г. Область 0",0и состоит из лунок, каждая из которых ограничена одним из звеньев ломаной Я," ... ЯЯ~ и стягиваемой этим звеном как хордой дугой контура Г. Фиксируем произвольно одну из этих лунок и рассмотрим треугольник из разбиения 0и, для которого хорда Ряс 49.
этой лунки является одной из его сторон. В этом треугольнике функция в~(х, у) уже определена и является линейной функцией (быть может, тождественным нулем). Определим теперь в~(х, у) внутри лунки и на ее границе так, чтобы в" (х, у) осталась линейной функцией в области, образованной присоединением лунки к треугольнику (эта область заштрихована на рис.
49). Проделав такое доопределение в каждой из лунок, мы завершим построение функции в„" (х, у). Теперь коэффициенты и правые части вариационно-разностной схемы (26) приняли определенные численные значения. Заметим, что если точки Рч и Р~ не являются вершинами одного и того же треугольника разбиения, то соответствующий коэффициент (вэ, ви) схемы (26) обрашается в нуль.
Обсудвм теперь вопрос о точности приближенного решения, найденного с помощью схемы (26). В силу теоремы 4 $ 38 1! Ъ вЂ” О 11' (И7(юи) — У(О)1. (28) постРоеиие и своиствА схем 357 11 ~~":. 'т+г'„'и""+ + ~ о(з)(ш — и)'г(з( —" (33) г с постоянной А, не зависящей от и и от й. Покажем, что такой функцией может служить функция ш(х, у) = ~ и(РД оР (х, у).
лгю (34) В силу структуры левой части неравенства (33) достаточно по- казать, что имеют место следующие неравенства: ~(В,й, ~ ~~В,й всюду на В, (35) !ш — и)~В,Ь на Г, (36) где В, и В,— некоторые постоянные. Неравенства (35) доказываются почти дословно так же, как неравенства (18), установленные выше в многоугольнике Ви. Для доказательства неравенства (36) заметим, что в силу неравенств (35), имеющих место и на границе Г, производная д(м — и) д(м — и) + . д(м — и) дл =сову д +з)ну дх да функции ш — и вдоль границы не превосходит по модулю числа 2В,й. Здесь у — угол между направлением границы в данной точке и осью.
Ох. Далее в точках РХ=О„", л=1, 2, ..., т, имеют место равенства ш — и = О. Поэтому в произвольной точке О границы д(м — и) а (а и ° 2В,Ь(2(длина Г) ° В, ° Ь, л )ш — н)о= и Ел где з и — расстояние от точки Я до ближайшей к ней точке Еол 1;)и сетки, измеренное вдоль границы Г.
Теорема доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения (31) величины КА ()7, йги) следует, что для доказательства оценки (32) достаточно для каждой функции и(х, у) еи (7 построить такую функцию ши(х, у), для которой имеет место неравенство 353 ВАРпАциопно. и пРОюгш1ОннО.РАзностные схемы !Гл. и 4. О методике доказательства сходимости. При использовании вариационно-разностных схем нам не пришлось разбивать доказательство сходимости на исследование устойчивости и аппроксимации, как мы это делали во всех остальных главах. При реализации вычислений устойчивость, которую надо понимать как хорошую обусловленность возникающих систем уравнений, по- прежнему играет важную роль, но не как фактор, обеспечивающий сходимость, а лишь как свойство, позволяющее не учитывать влияние ошибок округления на окончательнь1й результат. Понятие же аппроксимации в том смысле, как мы его понимали всюду в других главах, перестает играть роль.
Его заменяет аппроксимация функциональных множеств У линейными комбинациями базисных функций. Впрочем, вариационно-разностная схема на регулярной сетке может оказаться некоторой обычной разностной схемой (см. задачу в конце этого параграфа), и тогда вариационный подход к ее исследованию может быть дополнен подходами, принятыми при исследовании обычных разностных схем для получения дополнительной информации о свойствах приближенных решений. 5.
Сопоставление вариационно-разностных схем с общими вариационными и обычными разностными. Вариационно-разностные схемы — синтез вариационных и обычных разностных схем. Одним из основных достоинств метода Галеркина — Ритца является большая свобода в выборе базисных функций. Если заранее известно, что искомое решение и принадлежит некоторому конкретному узкому функциональному классу У, имеющему быстроубывающую последовательность 1!1-Мерных попереч. пиков нп, то в принципе можно так выбрать базисные функции, чтобы получить хорошую точность уже при малых и! и, следовательно, при малом объеме вычислений.
Это давало возможность хорошим вычислителям численно решать избранные задачи еще до появления быстродействующих вычислительных машин. Однако фактическое построение базисных функций а хорошими свойствами — трудная задача. В вариационно-разностном методе свобода выбора базисных функций ограничена структурой, которая определяется разбиением области на множество многоугольников, вершины которых служат точками сетки, и выбором способа доопределения функций с сетки на всю область. Это ограничение в свободе выбора базисных функций приносит зато некоторый автоматизм в их построении. При этом остается определенная возможностм учета особенностей класса функций с!', которому припад.тежит решение, за счет использования разбиений на неравные многоугольники и за счет выбора способа восполнений, построение и свойства схем з 391 559 который в каждом из многоугольников разбиения может быть осуществлен, как и само разбиение, с использованием априорной информации о поведении решения в этом многоугольнике.
С другой стороны, вариационно-разностные схемы сохраняют удобство обычных разностных схем, состоящее в простой структуре матриц, которые содержат много нулевых элементов. Это достигается за счет использования базисных функций, каждая из которых отлична от нуля лишь в малой области, примыкающей к одной из точек сетки. Сохраняется наглядность разностных схем, в которых искомыми являются значения интересующей нас функции в точках сетки, а не какая-то вспомогательная система чисел, не имеющая непосредственного наглядного истолкования, В то же время вариационно-разностный подход позволяет преодолеть трудности, которые возникают при использовании разностных схем на нерегулярных сетках и при учете граничных условий в криволинейных областях. ЗАЛАЧА Пусть разбиение области 0ь на треугольвики осуществлено так, что точка Р„сетки при данном фиксированном Аг оказалась вершиной прямоугольных 1'Ф„У, 'Ю ул„+Л,у„>) удч дуч) /л~,у„-л) Рис.
50. равнобедреннык треугольников с катетами длины Ь, заштрихованными на рис. 50. Показать, что уравнение ыг) = — ~1 ~1 Гы„лх 1уу, и ЧАСТБ ПЯТАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВОЛЮЦИОННЫХ РАЗНОСТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ КАК ОГРАНИЧЕННОСТЬ НОРМ СТЕПЕНЕЙ НЕКОТОРОГО ОПЕРАТОРА В предыдущих частях книги много внимания было уделено исследованию устойчивости разностных краевых задач Блики = = рм. Была исследована, в частности, устойчивость некоторых разностных схем, аппроксимирующих задачу Дирихледляуравнения Пуассона. Это — стационарная задача: ее решение не зависит от времени. Однако основное внимание мы уделили эволюционным задачам, которые отвечают процессам, протекающим во времени, например таким, как распространение тепла или распространение волн.
Приемы исследования эволюционных разностных краевых задач лучше развиты. Отчасти это объясняется возможностью рассматривать в ряде случаев стационарные состояния как результат стабилизации процессов, протекающих во времени. При исследовании устойчивости эволюционных разностных задач мы пользовались принципом максимума, энергетическими неравенствами, спектральными признаками и другими приемами. Во всех этих приемах неявно используется специальная структура эволюционных разностных схем,всилукоторой решение ипч задается на одном или нескольких начальных временных слоях сетки, а затем шаг за шагом вычисляется на последующих временных слоях. Здесь мы' отразим слоистый характер эволюционных разностных схем в самой их записи, поставив в соответствие разностной схеме некоторый линейный оператор Ям с помощью которого осуществляется переход от уже известных на данном временном слое значений решения к еще неизвестным значениям этого решения на следующем временнбм слое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
