Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 63
Текст из файла (страница 63)
В таком случае спектр сел>ейства операторов (рь) не содерлеит тех и талы!о тех Л на комплексной плоскости, при которых оператор Ал, — ЛВь имеет при всех достаточно л;алых Ь равномерлш по Ь ограниченный обратный оператор. Доказательство очевидно, и мы его излагать ие будем. Пусть теперь оператор Фль о = В!,и, задан разиостиыми соотношениями ) — ьл тли ть яьл о ли !18) ~„Ь,.о,. = ~ а,и! Ч~~!~ Ргок,. = ~ а,.и ! о ! о ! о ! о причем задача ьл Х Вмпот+ь = ь--ь, ' ьл ~ Ьго! = лр1, л-о !Рпл, йо пг < М вЂ” Ь 1 Х!! М вЂ” л ра (19! хорошо обусловлена. 1,14 вытекает доказываемое неравенство (14). Оценка (15) вытекает из записи решения уравнения (13) в следующем виде: и и ам, -м ! + Лоп (17) Л о где с!о определяется соотношением (1 — ! — Ло)+ глуо = О.
По предположению точка Ло не принадлежит множеству Л и по- этому лежит вне круга с центром в точке 1 — г и радиусом г. А в этом случае (г)о~ ) 1 х(алее, 1ло~ = б! ) О, так как если бы было Ло = О, то Ло принадлежало бы множеству Л+ Л+ Л. Итак, используя равенство (17) и учитывая уже доказанну4о оценку (14), получим неравенство (15): ( ('"'" + А, шах ! ! ! = А, !пах ! !'ы !. Итак, доказано, что спектр семейства операторов (!сь), опреде- ленного формулой (1), совпадает с объединением множеств Л, Л и Л на комплексной плоскости, устОпчивость ыесАмОсопряже!п[ых ЗАЛАч [Гл. и 412 Предполагается, что Алж = Аь) — ), Влж= ВА ( — ), где Ал(х) и Вл(х) — квадратные матрицы, определенные на отрезке 0(х(1, удовлетворяющие на этом отрезке условияы гладкости (14) Э 4; а, Ьь а;, (э, — прямоугольные числовые лгатрицы, не зависяшие от М.
В таком случае применима теорема и спектр семейства операторов (!Сл) состоит из всех тех Л, для которых разностная краевая задача л. 2". (ЛВА — Ал„) +А=ф„, Ь,~, ~М А--Л, за. зл, (ЛЬ! ') и' = лрп ~ (ЛО! — а!) им ! 4)а ~=о г=о (20) не является хорошо обусловленной. Для выяснения того, является ли за- дача (20) хорошо обусловленной, при каждол! Л можно воспользоваться кри- терием п. 7 5 4. ЗАДАЧИ игл=(1 — г)и„,+гил+„!и=О, 1, ..., М вЂ” 1, ) ом О МА=1, ) и рассмотренного в этом параграфе, спектр ие изменится, если норму определить не по формуле ) и ) = гпах ) и,„ ), а по формуле [[и ) — (й ~~ ~) и р)'6 ж 2.
Доказать, что спектр семейства разностных операторов (Йл), а = Юли, заданного равенствами от=(! — г+26)ит+гит+!, лг=О, 1... °, М вЂ” 1, ) о =О, М М!т=[, не зависит от значения числа у и совпадает со спектром, построенным в этом параграфе для случая у = О. 3. Вычислить спектр семейства операторов (!сл), и = !слгь заданного ра- венствами о„,=(1 — г)ит+г(ит-!+ижэ!), ил=1, 2, ..., М вЂ” 1, ) аи„+ Ьа, =О, им =О, Мй =1, г=сопз1, где а и Ь вЂ” заданные числа. Рассмотреть случаи )а) ) )Ь) и )а) я., )Ь). 5 46. Ядра спектров семейств операторов г Пусть !тл отображает линейное нормированное пространство ([и некоторой размерности А[, А[ = У(А), в себя.
Будем писать вместо !тл и ([А соответственно ((н и [[н, чтобы и обозначениях была явно указана размерность. Предполагается, что А[ -ь оо при 6 -л О. 1. Доказать, что для семейства разностных операторов ((Сл), и = (тли, заданного равенстваии 411 ЯДРЛ СПЕКТРОВ СЕМЕЙСТВ ОПЕРЛТОРОВ % зш Здесь мы обсудим вопрос о том, насколько спектр семейства оператора! (йн) зависит ст выбора последовательности норм ]! ]и в пространствах Ун гем самым, насколько ипвариантен спектральный признак ограниченностг норм степеней оператора йн (теорема 1 из 4 44) относительно выбора норм Относительно семейства операторов (йм] будем предполагать, что соб.
ственпые числа всех операторов Р,н ограничены в совокупности, т. е. лежат в некотором круге ] Л ! «( е = соп51. Очевидно, что для выполнения условия (1) достаточно, чтобы сушествовала хотя бы одна последовательность норм !!.!]и такая, чтобы выполнялис! неравенства ] йн ]и ( с' = сопя!. Отсюда видно, что ограничение (1) есте. отвеина: оно выполняется для семейств операторов (й)н перехода со слои на слой, вознпкаюших при рассмотрении эволюционных разностных краевых задач.
Переходим к определешпо понятия ядра спектра, с помошыо которого и будут сформулированы результаты этого параграфа Пусть заданы: какая. либо последовательность норм !! !!н, числа а я[0, 1] и целое й ) О. Обозначим чейпез Л(а, й, Лг) множество точек )ь для которых неравенство ]] йни — Хи]] < а ЛГ ! из имеет решение иг=СГн. Зиа чок ЛГ при написании норм мы опускаем. О и р еде л е н и е. Ядром показателя а ш[0, 1] семейства ооератороо (йн) назовем следугощее л!ножеетао Л(а) на комплексной плоскости; Л(а) = П П ( Д Л(а, й, Л()). з)аз>о'м>з Здесь 0 Л(.,й, Л0 =— Л,(, й) И>л о„= (1 — т) ил+ та„+ь !!=0, 1, ..., .Ч вЂ” 1„ о,=й, а парма — равенством ]] и [ =]] [и, и, .
° ., итт) ]] = !пах] а„]. (2) есть теоретико-множественное замыкание объединения множеств Л(а, й,йг) при всех ЛГ ) з; П Л, (а, й) = Л(а, й) — пересечение всех множеств з>з Л, (а, й); П Л (а, й) = Л (и) — пересечение всех множеств Л(а, й). з>п Те о р е ма 1. Ядро Л(а), а ш [О, 1], целиком содержится а спектре сел!ейгтаа операторов (йь-] и замкнуто. Доказательств о. Покажем, что если точка Хз не принадлежит спектру семейства операторов (йн), то она не принадлежит и ядру. Действителыю, найдутся е ) 0 и Уз такие, что при всех !у ) Л/з для любого и ш (ун выполнено неравенство ййк и — )гзи)! ) в ] и !!. Но тогда для всех ь из круга в ]к — Лз]( е)2 выполнено также неравенство ] й,и — Хгг]]) — ] и]. Ввиду этого при гу ) Уз нн одно множество Л(а, й, Лг) пе содержит точек в круге ]й — Хз] ( а|2.
Отсюда следует справедливость первого утверждения теоремы. Для доказательства замкнутости ядра Л(а) заметим, что Л,(а, й) замкнуты по построепшо, а множества Л(а,й) и Л(а) — как пересечения замкнутых многкеств. П р и м е р. Вычислим ядро Л(а), а ш[0, 1], для семейства операторов [йн), если оператор йм+и о = йй+!и, задан равенствами 414 УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСАМОСОЙРЯЖЕ44НЫХ ЗАДАЧ (ГЛ. !4 Покажем, что Л(а) состоит из точки Л = 0 и из замкнутого нруга радиуса аг с центром а точке 1 — Й 1Л вЂ” (1' — г) ! ~аг. (3) Действительно, Л = О, как мы видели в п. 1 5 42, является собственным числом для всех операторов /(н, а потому принадлежит всем множествам Л(а,!АгУ) и, следовательно, ядру, /(злее, для любого Ло, лежащего строго внутри круга (3), при некоторых вещественном а > 0 и Ь > 1 имеет место представление Ло = 1 — г + — е аГ та Ь НеРавенство !! /!яи — Лои !! ( а" /У о!! и 1 пРи любом фиксиРованном А и всех достаточно больших /У имеет решение (а/Ь)и ещв и О ! А/ ив —— О, л=йг, Следовательно, при всех достаточно больших У множества Л(и,й,4У) содержат точку Ло, а значит, ее содержит и Л(а).
Итак, внутренние точки круга (3) принадлежат ядру Л(а), а ввиду замкнутости ядра ему принадлежит и граница круга (3). Если точка Ло чь 0 не принадлежит кругу (3), т. е. Ло=! — г+ — ев, а~)0, Ь=! — 2Ь, Ь>0, Ь то, выписав функцию Грина разностного уравнения первого порядка (5 2), аг можно установить, что прп любом Л нз круга ! Л вЂ” Ло! ( ппп [ ! Ло ! 1 — Ь1 при всех достаточно больших Л' и всех ион (/ выполнено неравенство ()/4 и — Ли ( > а ()и!!. Отсюда следует, что точки этого круга не припадаем жат Л(а,й,й/), если гУ достаточно велико, а следовательно, и не принадлежат пи замыканию их объединений Л,(а, й), ни ядру Л(а).
Заметим, что ядро Л(0) показателя а = 0 в рассмотренном прпмерс состоит из двух точек Л = 0 и Л = 1 — г, а ядро Л(1) совпадает со всем спектром семейства операторов (Аом), который был вычислен в й 40. На этом закончим рассмотрение примера и вернемся к общим построениям. О и р е д е л е н и е. Ядро Л(0) назовем абсолютным ядром. Теорем а 2. Абсолютное ядро семейства операторов (/тм) яе зааисиг от выбора иоследозателоностгг нори!! !)м. До к аз а тел ь ство следует из того факта, что прп а = 0 многксство Л(а, Ь, Лг) совпадает при каждом /у с лгножеством собственных значений оператора !(м, которое не зависит от нормы в пространстве (/„. Теорем а 3. //Ри условии (1) иоследоеатг.тенисто перло ! !!м всезди можно вогбрать так, чгобог спектр се.нейггви операторов (/! ) совпадал со своим абсолюгиыло лдролс оТ о к а э а т е л ь с т в о.
Укажем копструкцшо норм, существование ко ггрых утверждается в теорелге. Выберем базис в пространстве (Г так, чтобы матрица преобразования /т в этом базисе была жордаповой и оюдули всех внедпагопальпых членов были меньше чем 1/ЛГ Введем скалярное т:тножспне и порождепп~ю пм парму, объявив этот базис ортонормальпым. 1 слп Ло— произвольная точка, не принадлежащая Л(0), и е ) 0 — расстояние от этой устончнВОсть ллгопггтмОВ решслгия урлвпци!в! 415 л' О) точки до замкнутого в силу теоремы 1 множества Л(0), то лгожно провериты что $ Ягл — 7лн) > — ))и) при всех Л( > 8/в и всех и гн (У, так что )ч ие е 4 м' принадлежит спектру семейства операторов (Я„ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
