Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В $4 было доказано, что в таком случае !пах( и ) (~ с «пах) д„), где с зависит только от 6. Отсюда е „= 0(тз), т. е. и,ил = и«жа — Ерзл = П«юа + О (т ) = = и (х, у„, «р) + Т.Лххи (х, у„, «р) + О (тзу что совпадает с представлением (17), которое мы доказываем. ЗАДАЧИ 1. Для дифференцильной краевой задачи (1) о распространении тепла в квадратной области 0 ~ х, у < 1 предложить и исследовать разностную схему расщепления, аналогичную явной схеме расщепления (8) из $ 31 для задачи Коши. 2.
Для дифференциальной краевой задачи (1) предложить разностную схему, аналогичную схеме переменных направлений (12) из $3!. Доказать„ что имеет место аппроисимация порядка 0(т+ йз). 3. Предложить разностную схему для решения задачи дп дзп дзп — — + —, 0~«~г, (х, у)«в0, дхз дрз н(х, р, «) )г — — ф(х, р, «) п(х, р, О) = ф(х, р) в случае криволинейной области «! по аналогии с разностной схемой раещеп ления, рассмотренной для задачи (1) в тексте параграфа. $33.
Расщепление по физическим факторам Идея расщепления используется не только для получения экономичных абсолютно устойчивых схем. Иногда производится расщепление сложной задачи на более простые, чтобы на каждом малом интервале времени «„< «< «Ре«разделить ео времени действие различных факторов, влияющих на процесс. Для возникающих при этом сравнительно простых задач легче построить адекватные им схемы, составляющие в совокупности разумную разностную схему рас!цепления для всей задачи. В качестве примера укажем метод крупных частицО.М.
Белоцерковского и Ю. М. Давыдова (ЖВМ и МФ 11, № 1, 1971), предназначенный для расчета течений газа при сильной деформации вещества и больших колебаниях плотности. Этот метод, как и метод Харлоу частиц в ячейках, по замечанию Н. Н Яненко, можно трактовать как некоторую разностную РАСШЕПЛЕНИЕ ПО ФИЗИЧЕСКИМ ФАКТОРАМ 297 схему расщепления для уравнений газовой динамики. Все вещество разбивается сеткой неподвижных прямых (речь идет о двумерной задаче) на ячейки. Вещество, попавшее в ячейку в момент 1р, и есть крупная частица.
Ей приписываются импульс и полная энергия. Затем строится разностная схема, моделирующая изменение скоростей, импульсов и полной энергии крупных частиц под влиянием одного только давления, без учета тех членов системы уравнений газовой динамики, которые описывают перенос вещества, импульса и энергии. Это— первый шаг разностной схемы расщепления.
На втором шаге производится пересчет полученных на первом шаге промежуточных величин по разностной схеме, учитывающей остальные члены уравнений газовой динамики, т. е. только перетекание вещества из ячейки в соседние ячейки и соответствующий перенос импульса и энергии. Так получаются крупные частицы и соответствующие им импульс н энергия на момент времени АР-н = ТЕ+ т ГЛАВА 11 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ $34. Простейшая разностиая схема для задачи Дирихле 'Здесь мы проверим, что простейшая разностная схема (13) $24 аппроксимируст задачу Дирихлс (!2) $24 со вторым отно- сительно Ь порядком и устойчива, а следовательно, применима для приближенного вычисления решения задачи Дирихле. Задачу Дирихле для уравнения Пуассона в квадратной об- ласти О = (О < х, у ( 1) с границей Г запишем в виде ~~ + — ~=~р(х, у), б(х, у(1, (1) и 1„= ф (з), где з — длина дуги, отсчитываемая вдоль границы Г, функции ф(х, у) и ф(з) заданы.
Совокупность точек(х„„у„) = (гий,пй) сетки Ь= 1/М,М— целое, попавших внутрь квадрата или на его границу, обозна- чим через О». Точки .О», лежащие строго внутри квадрата О, будем считать внутренними точками сеточного квадрата 0», со» вокупность внутренних точек обозначим О». Точки О», лежащие на границе Г квадрата О, будем считать граничными точками сеточной области О»', совокупность граничных точек обозначим Гм Разностную схему (13) $ 24 О»и!" 1 = !'»! (2) запишем в виде Л и +Л и =~р(х, у„), (х, у„)~О», ж ип» т(зтл)ю (х у») ~1» где ф(зти) значение функции ф(з) в точке (хт,уч), принадл еж а щей Г».
1. Аппроксимация. Правая часть Г<»! разностной схемы (2) имеет вид 'Г(хе* уа) ( ° уа) еи О». и Р' ф(..„), (,„) Г„. РАзностнАя схемА для 3АдАчи диРихле Л„и = Л„„и+ Лихи = д'и пд и И! ( д'и(х+ йа, у) д и (х, у+ Па)) дхп дуп 24 (, дх4 ду4 Поэтому для решения и(х, у) задачи (!) имеем <р(х~, уп) + 0 (Ьз), (х, ул) ен О,"„ и и ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ и ~ ~ т ~ ~ ~ и ~ е ~~ ~ г ф(з, )+Ою (х, у„) я ГА.
Таким образом, невязка б((А>, возникающая при подстановке (и)А в левую часть разностной схемы (2), имеет вид 0 (й'), (х, уп) ен ВА', О, (х, у„) ен ГА. м В пространстве ги, состоящем из элементов вида ~ ~ м и ~ г ~ ~ ~ ~ г л ~ ~ (х, ) е=0з, аппп~ (хпп Ул) ~ 1 А введем норму ! )(А>))Р„= шах ! <р и)+ гпах ! ф (ми, пи)или Ьпи, пи)ат (8) Тогда Таким образом, разностная краевая задача (3) аппроксимирует задачу Дирихле (1) со вторым порядком относительно 6. 2. Устойчивость. Определим норму в пространстве Уп функ. ций, заданных на сетке 0А, положив ))и!А'()ии —— Гнак )и и). Рпи, пЛ) ВА (9) Для доказательства устойчивости разностной схемы (3), к которому мы переходим, в соответствии с определением устойчивости надо установить, что задача (2) однозначно разрешима при произвольной правой части ~~А~ (это свойство не зависит от выбора норм) и что выполнена оценка вида )! и(м ))и„( с )! у<и~ !)Р (10) где с не зависит ни от Л, ни от (<А), В предположении, что решение и(х, у) задачи (1) имеет огра- ниченные четвертые производные, с помощью формулы Тейлора устанавливается равенство ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ.
11 зоо Л ем м а 1. Пусть функция о1"1 = (о „) определена на сетке 0» и во внутренних точках (х, у„) = (гпп, пй) ен О» удовлетворяет условию Л»01»]! ) )О (гпй пй) е 0» (1!) Тогда наибольшее на сетке О» значение о1"> достигается хотя бы в одной точке Г». Дока за тел ьство. Допустим противное. Выберем среди точек сетки О», в которых О1"1 достигает своего наибольшего значения, какую-нибудь одну точку (хт,ут), имеюшую самую большую абсциссу.
По нашему предположению (х, у„),— внутренняя точка, причем о „строго больше, чем От+1, О. В точке (пгй, пй) будет К»О 11», »1= (От+1, » — От») + (От, »--1 — О .)+(О -1, » — О .)+(О, -1-От») "<О, поскольку первая скобка в числителе отрицательна, а остальные неположительны. Противоречие с (11). Л ем м а 2. Пусть функция о1Ю = (О „) определена на сетке О» и во внутренних точках (1п)1, пй) ~0'„удовлетворяет условию Л»о1»1( „((О, (пй, пй) ет0„'. (12т Тогда наименьшее на сетке 01, значение О1Ю достигается хотя бы в одной точке границы.
Лемма 2 доказывается аналогично лемме 1. Теорема (принцип м а к си м ум а). Каждое решение разностного уравнения Л О1»1~ =О, (гпй, пй) ен0', (13у ЬО», О»1 »~ достигает своего наибольшего и наил1еньшего значения в неко- торых точках Г». Доказательство получается объединением утверждений лемм 1 и 2, Свойство решений разностного уравнения (13) аналогично свойству решений О(х, у) уравнения Лапласа О„+От„—— Опри- нимать наибольшее и наименьшее значения на границе области, где зти решения определены. Из принципа максимума следует, что задача ( Л»и®) =О, (тй, пй)ен0»», зо! РАзностнля схемл для зАдАчи диРихле 4 34( имеет только нулевое решение и((о = О, поскольку наибольшее и наименьшее значения этого решения принимаются в точках Гл, где и „= О. Следовательно, определитель системы линейных уравнений (3) отличен от нуля и разностная краевая задача (2) однозначно разрешима при произвольной правой части !(А(.
Переходим к доказательству оценки (1О). В силу формулы (5) для произвольного многочлена Р(х,у) второй (и даже третьей) степени Р (х, у) = ах'+ ((ху + с у' + ((х + еу + ) выполнено равенство д'Р д'Р Л Р= — + —, л дхи дул ~ так как четвертые производные от Р(х, у), входящие в выражение остаточного члена формулы (5), обращаются в нуль. Используя функции (р „и ф „из правой части системы (3) и фиксировав )с > ч/2, построим вспомогательную функцию х' у) 4 ((А (х~+ у )) (пах ! ф !+ (пах (тЛ, лЛ(мРЛ (ИЛ АЛ(БЕЛ которую будем рассматривать только в точках сетки .Ол. Это отражено значком й в обозначении Р(">(х, у).
В силу (!5) всюду в точках Вл л Л Р(л('! = — (пах !ф„(, (тй, ий) ен )Зй (иь ~л(м рл Поэтому разность решения и(М задачи (3) и функции Р(л( удо. влетворяет в точках 0~(, равенствам Лл (и(м — Р(м) = Лли'"( — ЛАРРо = (р „+ (пах ! ф„!) О. В силу леммы 1 разность и((о — Рио принимает свое наибольшее значение на границе Гл. Но на границе Гл эта разность и("!г — Рм!г =(ф--Р(л(! Гл Гл "И МА =(ф — ГиаХ !ф,.!)+ 4 [(Ха+У') — )С'] ПаХ !ф„! (гл, ~л( ~ г (,л,л> ро неположительна, так как в квадрате )3 всюду хз + ул ( )(А и обе квадратные скобки в правой части неположительны. Поскольку наибольшее значение и(м — Р(л( неположительно, то всюду на 0л и(л( — Р(м ! „л! < О, ил и и(л( ( Р(л( 302 эллиптические задачи (гл > Аналогично, для функции и("1 + Р(йг в точках 0й Лй (игм + Ргй 1) ( (О, а в точках Гй суй(ма и("1 + Р(йг неотрицательна.
В силу леммы 2 всюду на 0й и(йг+ Р(й() О, или — Р(й( (и(й( Таким образом, всюду на 0й !и „)((РЯ'„)< 4 ге~ гпах 1(р„,!+ гпах (>й, >й) ~ и'~ (>й, >йг ю г„ Отсюда вытекает неравенство (! О): щах ! и „! = !! и(й' !!и ~ (с ( )(йг!1„й = = с ( гпах ! >р„!+ гпах ! >)>„!), (>й, хй(мой (>й, >йгмг где с=свах[1 4 ], завершающее доказательство устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
