Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Тогда они имеют смысл и для разрывных функций, которые нельзя дифференцировать, но интегрировать можно. Второй способ состоит в искусственном введении в дифференциальные уравнения таких членов, при которых эти уравнения имеют гладкие решения. Эти искусственно введенные члены в случае газодинамических задач имеют смысл малой вязкости, выглаживаюшей разрывы течения.
Затем коэффициенты при <вязких» членах устремляют к нулю, а предел, н которому стремится решение, принимают за обобщенное решение исходной задачи. ОБОБШЕННОЕ РЕШЕНИЕ 269 Мы поясним определение обобщенного решения и способов его расчета на примере следующей задачи Коши: — +н — =О, 0<1<Т, — оо <х<со, ди ди дГ дх (() и (х, 0) = ф (х), — оо <х<оо, которая является простейшей моделью задач газовой динамики среди обладающих свойством возникновения разрывных решений из гладких начальных данных. 1. Механизм возникновения разрывов.
Предположим сначала, что задача (1) имеет гладкое решение и(х, ~). Введем линии х = х(1), определяемые уравнением — =и(х, 1). дх ш (2)' Эти линии называются харакгерисгикалш уравнения и~+них=О. Рис. 26. Рас. 29. Вдоль каждой характеристики х = х(1) решение и(х, 1) можно считать функцией, зависящей только от 1: и(х, 1) =и[х(1), 1[ =и(1). Тогда ди ди ди дх ди ди — = — + — — = — + и — = О.
Ж д~ дх Ш д~ дх Поэтому вдоль характеристики решение постоянно, и(х, ~) = = сопзй Но в силу уравнения (2) из и = сопМ следует, что характеристика есть прямая линия х = и1+х,. Здесь хс — абсцисса точки (х„О), из которой выходит характеристика, а и = = ф(хс) — угловой коэффициент ее наклона к оси Ой Заданием начальной функции и(х,О) = ф(х), таким образом, наглядно определяется и картина характеристик, и значения решения и(х,~) в каждой точке полуплоскости ~ ) 0 (рис.
28). 272 РАсчет овоашениых Решении |гл. 9 Рис. 31 2. Определение обобщенного решения. Напомним формулу Грина, которой будем пользоваться при определении обобщенного решения задачи (1). Пусть Π— произвольная область с границей Г на плоскости Ох1, и пусть Ф,(х,1) и Ф,(х,1) имеют н области 0 непрерывные вплоть до границы Г частные производные. Тогда справедлива следующая формула Грина: ') ') ( — ' + —.') Т(х|(1 = |~> Ф, дх — ФЕИ. о г (3) Выражение — + — есть дивергенция вектора Ф = ~ дФ| дФ| ЕФ|А д| дх ~ Ф|). Формула Грина (3) означает, что интеграл от дивергенции векторного поля Ф по области 0 равен потоку вектора Ф через границу Г этой области. Заметим сразуже, что в предположении существования гладкого решения и(х,1) характеристики не могут пересекаться, так как каждая характеристика приносила бы в точку пересечения свое значение решения и решение не было бы однозначной функцией. При монотонно возрастающей функ— — — Г=Г ции ф(х) с ростом хи угол я увеличивается, характеристики не пересекаются (рис.
29). Но в случае убывания функции ф(х) характеристики сходятся и пересечех ния неизбежны — незави- Ю симо от гладкости функции Рис. ЗО. |р(х). Гладкое решение за- дачи (1) перестает существовать с момента 1= т, когда хотя бы две характеристики пересекутся (рис. 30). 1 Графики функции и = и(х,1) при 1= — О, — 1 и 1 изображены на рис. 31, овоешенное Решение гт1 Переходим к определению понятия обобщенного решения. Запишем дифференциальное уравнение из задачи (!) в дивергентной форме: (4) Проинтегрируем обе части уравнения (4) по произвольной области )О, лежащей в полуплоскости 1) О. Получим Гди д /и хч Х.
и 2 О = ~~) — + — ~ — дйхЖ = ~у иг(х — — й. д.~гй У 2 Таким образом, каждое дифференцируемое решение уравнения (4) удовлетворяет интегральному соотношению и2 иГ(х — — Ж = О, 2 г (5) Тогда в силу непрерывности можно найти столь малый круг 1) с границей Г и с центром в точке (хм1Б), всюду в котором щ+( — ) > О. Получим $ 2 дд[дГ + дх (2)1 Возникшее противоречие О ) О доказывает, что из (5) в случае гладкой функции и(х, 1) следует (4), так что (4) и (5) равносильны. Но в случае разрывной функции и(х,1) дифференциальное уравнение (1) или (4) на линии разрыва теряет смысл, а интегральное условие (5) смысла не теряет. Поэтому будем называть обобщенным решением уравнения (4) всякую кусочно-дифференцируемую функцию, удовлетворяющую при произвольном выборе контура Г в полуплоскости 1 > О условию (5).
где à — произвольный контур, лежащий в полуплоскости 1) О. Равенство (5) выражает некоторый закон сохранения: поток / и вектора (, ) через любой замкнутый контур равен нулю. (, и~/2 ) Покажем, что, и обратно, если гладкая функция удовлетворяет при любом контуре Г интегральному закону сохранения (5), то в каждой точке (хм 1а), 1о ) О, выполнено равенство (4). Предположим противное, и пусть для определенности в некоторой точке (хм1а) будет — '" + — '( — и-) ~ > О. 1 ч РАСЧЕТ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ сгл. 9 3. Условие на линии разрыва решения. Пусть внутри области, где отыскивается решение, имеется линия х = х(1), на которой обобщенное решение и(х, 1) терпит разрыв первого рода.
Пусть при приближении к этой линии слева или справа получаем на ней соответственно ~Г и(х, 1) =и„,(х, с), В и(х, с) = !с,р„(х, Т). Оказывается, что значения и„,(х, Е), Ю и„„„(х, 1) и скорость движения точки Г разрыва х = с(х/ссс не могут быть произвольны: они связаны между собой некоторым соотношением. су Пусть с. является линией разрыва Рис.
З2. (рис. 32) . Интеграл ~ и с2х — — сй 2 АВСО ! по контуру АВСОА, как и по любому другому контуру, обращается в нуль. Когда отрезки ВС и ВА стягиваются к точкам Е и Е соответственно, интегралы по ним обращаются в нуль и получается равенство ~ [и] с(х — [ — ]И=О, или $ ([и) — „— Я ) си = О, ь где [г[ = г,рав — ㄄— скачок величины г на линии разрыва, а Е' — произвольный участок этой линии с," = ЕЕ. Ввиду произвольности участка Е' в каждой точке линии Ь должна обращаться в нуль подынтегральная функция: [ [ — "„", -~Я=О. Отсюда [ И'1 2 а — И а нрав лвв лсв + прав си [.
2 .) ' 2 (иправ илвв) 2 так что иа линии разрыва выполнено условие Салан + Инрав ~й 2 (6) Если бы мы записали уравнение и, + ии„= О в другой дивергентной форме: (7) ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ 273 то пришли бы аналогичным путем к другому интегральному соотношению: $ це пв — с(х — — И=О, 2 3 г (8) иг(х — 2 Ж=О, г па пв — пах — — Ж = 0 2 З г равносильны между собой. В дальнейшем, рассматривая задачу Коши (1), мы будем иметь в виду вь1полнение интегрального закона сохранения (5) и вытекаюшего из него условия (6) на разрыве. 4.
Распад произвольного разрыва. Пусть заданы разрывные начальные данные 2 при х<0, и =- 1 при х) О. Построенное по этим начальным данным решение изображено на рис. 33. дх 2+1 3 Тангенс угла наклона линии разрыва — = — = — яв- Ж 2 2 ляется средним арифметическим из тангенсов углов наклона характеристик по обе стороны от нее. и к другому условию на линии разрыва: алев + Плевлправ + Пправ (9) пи з алев + а~прае Наклон (9) линии разрыва (или скорость х ударной волны) не совпадает с наклоном (6), отвечаюшим первой дивергентной записи (4).
Отсюда видно, что понятие обобшенного решения зависит от того, какой именно интегральный закон сохранения отражается заданным дифференциальным уравнением (1). В задачах математической физики интегральные законы сохранения имеют вполне определенный физический смысл. На гладких функциях и все пять форм записи дп ди — +и — =О, дг дх 274 РАСЧЕТ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯ 1гл. 9 З ададим теперь в начальных условиях другой разрыв: ! при х(0, 2 при х) О. Из рис. 34 видно, что возможны два способа построения решения.
В первом способе мы получаем непрерывное решение, а во ЛА Л л!х Рис. 33. втором — разрывное при 1) О. Следует предпочесть непрерывное решение. В пользу этого говорит следующее рассуждение. Если несколько изменить начальные данные, задав их формулой 1 при х((0, и= 2 при х)е, 1 + х/а п р и 0 (~ х (~ з, то решение и определится однозначно. Оно изображено на рис.
35. При стремлении е к нулю это решение переходит в непрерывное решение, изображенное на рис. 34,а Запрет решения, изображенного на рис. 34,б, по причине его неутойчивости д ф~ Рис, 34 относительно возмущения начальных данных аналогичен запрету ударных волн разрежения при математическом описании течения идеального газа. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 275 5. Другое определение обобщенного решения. Для определения понятия обобщенного решения задачи (1) можно рассмотреть вспомогательную задачу (10) и(х, 0) = ф(х).
Здесь дифференциальное уравнение уже не гиперболического, а параболического типа. Его решения сохраняют гладкость, если ф(х) — гладкая функция. А если и(х, О) = ф(х) разрывно, .То разрыв сглаживается. Параметр р ) 0 играет роль вязкости Рис. 35. в газовой динамике. При 1А-+0 решение задачи (10) стремится к пределу, который можно принять за обобщенное решение задачи (1). Можно показать, что для задачи (1) последнее определение обобщенного решения равносильно определению с помощью закона сохранения (5). $ 30.
Построение разностных схем Перейдем теперь к вопросу о построении разностных схем для задачи и(х, 0) =ф(х). ! Будем предполагать для определенности, что ф(х) ) О. Тогда и(х,1) ) О. Первое, что кажется естественным, — это рассмотреть разностную схему ии" ~ ии ии ии (2) иг=О, ~1, и' = ф(х ). расчет Ововще!и!ых решений 27Б !Гл. 9 Замораживая коэффициент ир в точке пг = и!а, мы видим, что для возникающего уравнения с постоянными коэффициентами при переходе на слой 1=(р+1)т выполняется принцип максимума, если шаг т = тр выбран из условия гр ! а !пах ~ир ~ Поэтому можно ожидать устойчивости.
Если решение задачи (1) гладкое, то аппроксимация задачи (1) задачей (2) не вызывает сомнения. Действительно, в этом случае экспериментальные расчеты заранее известных гладких решений подтверждают сходимость. Однако если задача (1) имеет разрывное решение, то сходимости к обобщенному решению, заданному, скажем, интегральным законом сохранения $ аа и г(х — — Ж = О, 2 г (3) ни в каком разумном смысле ожидать нет оснований. Ведь в используемую разностную схему (2) не заложена информация о том, какой именно закон сохранения — (8) из $ 29, (3), или какой-нибудь другой — положен нами в основу определения обобщенного решения. Поэтому при построении разностной схемы надо использовать либо интегральный закон сохранения, соответствующий искомому обобщенному решению, скажем закон (3), либо уравнение с искусственной вязкостью (10) $29: и! + и„, = !аи„„, (4) осуществляющее при !а-+ 0 отбор интересуюшего нас обобщенного решения.
1. Схема с искусственной вязкостью. Отметим сразу же, что разностная схема с искусственно введенной малой вязкостью им иа~ "~а-! па~-! "~а+ а~+! р+! р р р +ир, — 1! ио =ф(х ) имеет решение и!"! =(ир), равномерно сходящееся при Ь вЂ” 0 и достаточно малом т = т(Ь, !!) к искомому обобщенному решению задачи (1) вне сколь угодно малых окрестностей линий разрыва обобщенного решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
