Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Показать, что разностная схема иа = !р(х ), аппронсимирующая задачу Коши ди ди — +А — О, — оо<х<со 1>0, д) дх и (х, 0) = !Р (х), — со < х < оа. иР+ иР иРЧЧ иРЕ! "- ° +л -+'1- --'! о 2Ь в=О, Ш(,. р=О, 1,..., и=О, щ1,. приемы исследовании устоичивости !гл. в с порядком 0(т + й'), удовлетворяет спентральному признаку устойчивости при любом г = т/й и любой постоянной А.
4. Исследовать разностную схему с пересчетом для решения задачи Коши ц» + Аи = О. ц(х, 0) = »р(х): цз+! цп ця+ /» ця+ /» +А ' '=О, т=О Ш1, т й р-О, 1,... цо =ф, и=о, »-1, А = солж, где пРомежУточнаа сеточнаЯ фУнкциЯ и -'= (и»и+Ц опРеделяется по ця (ц~~) в два этапа: сначала вычисляется оз (оя/ как решение разностной задачи >+у» ця па ы/» .вотч» -» — — »А». ». с/2 2й а потом цп+/' (цып+Я по формулам оп+~/» + овч у» од+у» + оя+Ч» и+»/» »1 ) п»ч-! з», "»я+з ое»-! Показать, что если параметр интерполяции а лежит на отрезке 0 < ц < 0,25, то при любом г = т/й = сопи выполнен спектральный признак устойчивости.
При а = 0 весь спектр лежит на единичной окружносп!, а прн 0 < с» < 0,25 он располагается внутри е,чипичного круга и касается этого кру~а лишь при Х = !. Собственному значению !ь = 1 отвечают собственные функции и., ==. (-!-!) $26. Принцип замороженных коэффициентов Здесь мы изложим прием, весьма расширяющий класс не- стационарных разностных задач, для исследования которых можно пользоваться спектральным признаком устойчивости. Этот необходимый признак устойчивости, изложенный в $ 25 для исследования разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами, можно применять и в случае разностной задачи Коши с «непрерывными>, но не постоянными коэффициентами, а также для задач в ограниченных областях, когда граничные условия задаются не только при / = О, но и на боковых границах.
Этим приемом можно пользоваться и для исследования нелинейных задач. 1. Замораживание коэффициентов во внутренних точках. Сформулируем принцип замороженных коэффициентов, поль- Я м! принцип 3АмОРОженных ХОЗФФициентоа 241 зуясь в качестве примера следующей разностной краевой зз- дачей: р+! ир — а (х , !р) ир, — 2ир„+ ир+! =О А2 , (ТЯ вЂ” 1, 1, ..., М; М6=-1, 1,ир+' = О.
2 М р=о, 1, иа =ф т=О р! р!' > 1ир+' =О, ! о !р + р!+! А' =О 1 т=О, а:1, ..., р+1 р р и — и и — а(х, 1) р = О, 1, ..., (Т)т! — 1; (2) будем рассматривать теперь не при О ( т < М, а при всех целочисленных т. Сформулируем теперь Принцип замороженных коэффициентов Для устойчивости задачи (!) необходимо, чтобы задача Коши для разностноео уравнения с постоянными коэффициентами (2) удовлетворяла необходимол!у спектральному признаку устойчивости Неймана.
В обоснование принципа замороженных коэффициентов приведем следующее рассуждение на эвристическом уровне строгости. При измельчении сетки коэффициент а(х, !) в окрестности точки (х, 7) за любое фиксированное число шагов сетки длины й по пространству и длины т по времени ввиду непрерывности функции а(х, !) меняется все меньше и все меньше отличается от значения а(х, 1). Добавим к этому, что расстояние от точки (х,!) до границ х = О и х = 1 отрезка, измеренное числом шагов сетки, стремится к бесконечности. Поэтому при мелкой сетке возмущения, наложенные на решение задачи (1) в момент времени ! =1, в окрестности точки х = х развиваются (за малое время) примерно так же, как для задачи (2). Понятно, что это рассуждение носит общий характер.
Оно не зависит от числа пространственных переменных, числа В этой разностной краевой задаче (,ия ы = О и !Зия+' = Π— некоторые условия, задаваемые соответственно на левой и правой границах сеточного отрезка О < т < М; а(х, !) ) О. Выберем произвольную внутреннюю точку (х, 1) области О <х< 1, О = ! < Т, где рассматривается задача (1), и «заморозим» коэффициенты задачи (1) в этой точке. Возникающее разностное уравнение с постоянными коэф- фициентами 242 пРиемы исследовании устойчивости (гл.
а искомых функций и вида разностного уравнения или системы уравнений. В 5 25 мы рассматривали задачу Коши для уравнения вида (2) и нашли, что для выполнения условия Неймана отношение г = т/йа шагов сетки должно удовлетворять условию 1 г~~ 2а(х, 1) ' Поскольку в силу принципа замороженных коэффициентов для устойчивости задачи (!) это условие должно выполняться при любых (х, 1), отношение г = т/й шагов сетки должно быть под- чинено условию г~ 1 2 шах а (х, 1) х. 1 Принцип замороженных коэффициентов позволяеториентиро- ваться на эвристическом уровне строгости и при исследовании устойчивости нелинейных задач. Поясним это на следуюшей нелинейной задаче: иа — (1 + и') их„= О, 0 < х < 1, и(х, 0) = фа(х), 0 < х < 1, и(0, 1) =-Ф(1), и(1, 1) =фа(1), 0 <1< Т.
Используем следуюшую разностную схему: р+1 р ,, "— Р +(и.')'1 0<т<М, р=О, 1, ..., иа = фа(тй), 0 ( т ( (М, и~~=ф,(1 +т), р=1, 2, ..., ир =ф,,(! + т ). ' =0 Ф '(т)т) — 1, ~ли(Л) — = ( (?'Я, р+~ р р р и,„— ищ иа,+~ — 2ищ+ и,» — а(х, (р) л, =0 тр В ней допускается изменение шага т„от слоя к слою. Эта схема позволяет последовательно, слой за слоем, вычислить и', т = =О, ..., М, затем и', т = О, 1, ..., М, и т. д.
Допустим„что мы уже добрались до слоя 1= (р, вычислили иа, т = О, 1, ..., М, и хотим продолжать счет. Как выбрать следующий шаг т = тр? Можно принять, что нам предстоит сосчитать решение линейного разностного урав- нения 243 пРинцип ЗАМОРОжеииых коэФФициеитов ч м] с заданным переменным коэффициентом а(х, ! ) =! +(и')'. Действительно, естественно считать, что значения иР близки к значениям и(х„ь!Р) гладкого решения и(х,!) дифференциальной задачи. Коэффициент тогда близок к непрерывной функции а(х, !) = 1+ и'(х, !), которая на протяжении нескольких временных шагов мало изменяется.
Применение признака Неймана к уравнению с переменным коэффициентом а(х , !Р) дает ограничение (3) на соотношение шагов сетки, необходимое для устойчивости: хр ! ! =ГЛ +ЬОЧ' х м Отсюда следует рекомендация выбрать очередной шаг тР из условия тР4 ! Ь.. 2 гпах (! + (ЕРР,) ~ Численный эксперимент на машине подтверждает правильность этих эвристических рассуждений. Если необходимое условие устойчивости, полученное путем рассмотрения задачи Коши с замороженными в произвольной точке области коэффициентами, окажется нарушенным, то устойчивости нельзя ожидать ни при каком задании граничных условий, Подчеркнем, однако, что принцип замороженных коэффициентов не учитывает влияния граничных условий.
В случае выполнения необходимого условия устойчивости, вытекающего из принципа замороженных коэффициентов, устойчивость может иметь место при одних, и не иметь места при других граничных условиях. Теперь изложим признак К. И. Бабенко и И. М. Гельфанда, учитывающий влияние границ в случае задачи на отрезке. 2. Признак Бабенко и Гельфанда. При рассмотрении задачи (1) мы полагали, что возмущения, сообщенные решению задачи (1) в окрестности произвольной внутренней точки (х, г), при мелкой сетке развиваются примерно так же, как такие же возмущения, сообщенные решению задачи Коши (2) с замороженными в точке (х, г) коэффициентами. В обоснование этого Принципа мы принимали во внимание, что расстояния от внутренней точки (х, 1) до границ, измеренные числом шагов сетки, при измельчении сетки неограниченно возрастают.
Но если точка (х, 1) лежит на боковой границе х = О нли х = 1, то это эвристическое рассуждение теряет убедительность. Пусть, например, х = О. Тогда расстояние от точки х до любой фиксированной точки х > О (в частности, до правого конца отрезка х = 1), плиемы исследовлнип гстопчивости !гл. о 244 измеренное числом шагов сетки, при 6- О по-прежнему неограниченно возрастает, но число шагов до левого конца х = О не меняется и остается равным нулю.
Поэтому возмущение решения задачи (1) вблизи левой границы х = О за малое время должно развиваться подобно возмушению решения задачи ищ — ищ л'-1 л ищ+1 — 2ищ+ ищ л — а(О, 1),, =О, — 1, 2,...,) (4) 1 ил+ ' =- О. 1 О Эта задача получилась из исходной задачи (1) при замо- раживании коэффициента а(х, У) в левом конце отрезка х = О и одновременном удалении правой границы в +со. Задачу (4) естественно рассматривать только на тех функциях ил=(ил, и,', и.„', ...), для которых ил — иО при лг- + оо, Только в этом случае возмушение сосредоточено вблизи границы к = О, и только относительно возмущений такого вида задача (1) и задача (4) вблизи левой границы х = О сходны между собой. Точно так же развитие возмушений решения задачи (1) вблизи правой границы к = 1 должно быть похоже на развитие таких же возмущений для задачи ищ — ищ и+1 л и +1 — 2и +и л л — а(1, 1),, =О, гп = ..., — 2, — 1, О, 1, ..., И вЂ” 1, (5) 1 ил~' = О 2 М с одной только правой границей.
Эта задача возникла из исходной задачи (1) при замораживании коэффициента а(х, 1) в правом конце х = 1 и при удалении левой границы в — оо, Задачу (5) надо рассматривать на сеточных функциях и' = =- (..., ил,, или пол, ил ..., иЯ, удовлетворяющих условию ил -и О при лг-л — оо. Задачи (2), (4) и (5) проше исходной задачи (1) в том отношении, что при фиксированном г = т/Ьо они не зависят от л и являются задачами с постоянными коэффициентами. Таким образом, процедура исследования устойчивости, учитываюшая влияние границ, применительно к задаче (1) состоит в следуюшем.
Надо составить три вспомогательные задачи (2), (4) и (5). Для каждой из этих трех задач, не зависяших от А, надо найти все те числа Л (собствеиные числа $ м! ПРИНЦИП ЗАМОРОЖЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 245 оператора перехода от ир к ир4!), при которых существуют решения вида и =Ли.
р р О При этом в случае задачи (2) иь =(иа ), т = О, ~1, ..., должно быть ограничено. В случае задачи (4) иа=(и', иьн ..., и',...), и"- -и О при т -ь +со, а в случае задачи (5) и=(..., и „и ни,и„..„и,), иь -РО при т-и — оо. Ф или г' — 2г + 1 — Л Х ит+, — 1 г! и +и, =О. (6) Это — уравнение второго порядка. Подобными уравнениями мы занимались в гл. 1. Чтобы написать общее решение уравнения (6), составим характеристическое уравнение ди+ (2+ — ) д+ 1 = О.
(7) Если д — корень этого уравнения, то сеточная функция и~=Л д есть одно из решений уравнения ци-Н ци П3 и1 и,"„+! — 2ии, + ии, Если !д~ = 1, т. е. д = е",то ограниченная при т-ь+оо и при. т- — со сеточная функция р !им и =Ле Для устойчивости задачи (!) совокупность собственных чисел каждой из трех задач (2), (4) и (5) должна лежать в единичном круге !Л( ( 1.
(Задача (2) рассматривается при каждом фиксированном х, О и х ( 1.) Продолжим рассмотрение задачи (1). Будем считать вдальнейшем, что а(х,!) 1, и вычислим спектры для всех трех задач (2), (4) и (5) при различных краевых условиях 1,ир+' =О и ! и'+' = О. г м Подставляя решение ии =Лии в разностное уравнение (2), получаем (Л вЂ” 1)и,„— г(и +, — 2и +и !) =О, г= ~... пРиемы исследОВАния устоячивостн '246 !Гл. 8 как мы видели в $ 25, является решением при .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
