Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Однако мы уже обсуждали в 5 13 вопрос о выборе норм в связи с обыкновенными дифференциальными уравнениями и знаем, что разумны только такие нормы, в которых разностная схема одновременно аппроксимирует дифференциальную краеву!о задачу и устойчива. Устойчивость рассматрпваемой схемы с использованной нормой, в которой имеется аппроксимация второго порядка, будет доказана в $42.
Пример 2 очень поучителен. Он показывает, что для проверки аппроксимации в разумном смысле надо правильно выбрать норму. Исследуя ту или иную схему, приходится псрепро- примГРы 1соиструиропл1а1 я Грлиичиых условии 209 ЗАДАЧИ 1. Лля задачи Коши д2и д„ вЂ”,, — —,=ч(х. !), д!» дхг = и (.». 0) = ф, (х), ди(х, 0) д! = ф» (х), — ео<х<со О~г=чг, — оо < х < о» вЂ” со < Х < со, исследовать аппроксимацию, которой обладает на достаточно гладком реше- нии и(х, 0 разиостпая схема 'ьаи! ' = ~ и = ф, (шй), ! --" = (ф')т т н я и им+! — 2а + а гр(та, лт), если [фы = ф»(гпй). За норму и ' 1и принять максимум модулей всех компонент элемента 41 г .(И! (ф) . Пока»ать, что аппроксимация имеет первый порядок относительно Ь! т = гй, г = сопя!.
Как следует задать значения (ф») „используя задание!с функции !р(х,г), 4ч (х) и фз(х), чтобы порядок аппроксиыаш»я окззалси вторым? 2. Лля задачи о распространении тепла на отрезке дв дся — — —, = гр (х, 1), д! дх! и(х, 0) = фа(х) ди (О, 1) дх и (1, !) = ф»(!) 0<.т<1, 0<(<Т, 0<х<1, 0<(<Т, бовать много норм. В каждой из них надо попытаться провести исследование устойчивости, которое само по себе, по крайней мере в настояшсс время, часто требует изобретательности и труда. На практике в большинстве случаев вместо интсресуюшей задачи все исследование проводится на упрощенной, так называемой модельной задаче, после чего' проводят экспериментальный счет по разпостной ссеме для исходной нсупрошенной задачи.
приемы построения Рлзностных схем (гл. т 2(О рассмотреть разностную схему вида л+! л л л л и,„— и,„иж ! — 2иш+ иж+, — !р (тй, лт). ш = 1. 2,..., М вЂ” 1; и = О, 1, ..., (Т(т) — 1, ," =ф„(л,й), =О, 1..., М, ил и» Л =(ф,)л л =1, 2, ..., (Т(т), или — — фз(лт), л =1, 2, ..., (Т!т). Зи норму 11 1(„принять максимум айсолютньж величин правых частей РЛ уравнений, составляющих в совокупности рассматриваемую разностную схему. Шаги т и Л считать связаинь!ми равенством т = гй', г = сопз1. Показать, что, положив (ф!)» = ф! (»И), получим схему с первым порядком аппроксимации иа гладком решении.
Какой формулой следует опрепелить (ф!) ", чтойь получилась аппроксимация второго порядка? 5 24. Условие Куранта, Фридрихса и Леви, необходимое для сходимости В $ 21 мы доказали, что разностная схема л+! л л л ~ш ~ш ит+! т — =0 т Л из =т(г(птл), аппроксимирующая задачу Коши — — — =0 0<1<Т, ди ди д! дх и(х 0) =тр(х) (2) не может оказаться сходящейся при произвольной функции тр(х), если т?И ) 1 (см. рис. 9 на стр. 1?9). При этом было использовано соображение общего характера, впервые на несколько другом примере сформулированное Курантом, Фридрихсом и Леви. Это соображение часто помогает при конструировании и исследовании разностных схем. Оно состоит в следующем.
1. Условие Кураита, Фридрихса и Леви. Допустим, что в постановке дифференциальной задачи участвует некоторая функция т(г (см., например, (2)). Выберем произвольную точку Р, принадлежащую области определения решения и. Пусть значение решения и(Р) зависит от значений функции зр в точках некоторого множества 6я = бе(Р), принадлежащего области определения функции зр, т. е» изменяя значения ф в малой УСЛОВИЕ КУРАНТА.
ФРИДРИХСА И ЛЕВИ $2н окрестности любой точки 0 из области 62,(Р), можно вызвать изменение значения решения и(Р), Допустим, что для вычисления решения и используется некоторая разностная схема 1.Аинч = ~ю, причем значение решения ивл в точке сетки, ближайшей к Р, полностью определяется значениями функции ф на некотором множестве 6ь = 6ь (Р). (Ц ~М Для того чтобы имела место сходимость иии- и при й- О, разностная схема необходимо должна быть устроена так, чтобы при й — О в произвольной окрестности любой точки области 0ч(Р) при достаточно А2алол2 й имелась точка множества 0~~в = = 6ьм~ (Р).
Объясним, почему в случае невыполнения сформулированного условия Куранта, Фридрихса и Леви сходимости ожидать не приходится. Пусть оно не выполнено, так что в некоторой фиксированной окрестности некоторой точки Я из области 02(Р) при всех достаточно малых )2 нет точек из множества 0ь = (Ь =0)м(Р). Если сходпмость и~ь>- и и при данной функции имеет (случайно!) место, то изменим ф в указанной окрестности точки 0 так, чтобы изменилось значение и(Р), оставляя вие этой окрестности функцию ф неизменной. Сходимость им2- и при новой функции 2Р уже не может иметь места: значение и(Р) изменилось, в то время как значения ипи в точке сетки, ближайшей к Р, остались при малых Ь неизменными, поскольку функция 2Р в точках множества 0ь = 0ь (Р) осталась неизменной.
~А1 Но Условию Кураита, Фридрихса и Леви нетрудно придать форму теоремы, а проведенные рассуждения превратить в ее доказательство, однако мы не будем этого делать. Рассмотрим несколько примеров, где изложенное нами соображение позволяет установить расходимость и непригодность разностной схемы и нащупать устойчивую и сходящуюся разностиую схему. Конечно, доказательство сходимости приходится проводить отдельно, так как выполнение условия' Куранта, Фридрихса и Леви лишь необходимо, ио недостаточно для сходимости. Заметим также, что при наличии аппроксимации условие Куранта, Фридрихса и Леви необходимо и для устойчивости, поскольку из аппроксимации и устойчивости следует сходимость. 2.
Примеры разностных схем для задачи Коши. Используем условие Куранта, Фридрихса и Леви для анализа нескольких разностных схем, аппроксимирующих задачу Коши — и+а(~) — =2го(х, ~), — <х< о, О<г<т, ) (3) и(х, О) = 2р, (х), — о < х < 2!2 ПРНГзмы ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ (гл. т где фо(х, !) и тр!(х) — заданные «входные данные» задачи (3) и а(!) — = — 1 — 2!. Решение задачи (3) в какой-либо точке (хр, (р) зависит от значений функций фо(х, !) и ф (х) во всех тех точках, через х ,У=(ч !1) Рис. !6. которые проходит характеристика дифференциального уравнения (3), выходящая из некоторой точки А оси Ох и входящая в точку Р.
Дспстпителыих тарактеристики здесь — интегральиые кривые пкффереипиальиого уравиеиип дх — = и (!). д! т. е. параболы х = — М вЂ” г+ С. Вдоль каждой характеристики дп дп ди дх ди ди — = — + — — = — + и (!) — = фп (х, !). д! д! дх д! д! дх Поэтому зиачеипе регпеп!!я и(хп, гп) в какой-либо точке Р =(лп,(п) выражается формулой гр (хзп г~) = Р! (А) + $ ф~ (х (!), г) г! = ф! (А) + ~ фо (х, !) д(, лег гпе А есть точка иа оси Ох, а А()Р— отрезок характеристики. На рис. 16 изображена характеристика х = 2 — ! — Р, выходящая из точки А=(2,0) и входящая в точку Р=(0,1).
Мы видим, что значение и(Р) — = и(хгч !Е) решения задачи (3) зависит от значения функции ф!(х) в точке А, так что А = 6„,(Р). Далее, и(Р) зависит от значений фп(х, !) на отрезке характеристики,)(,гР. Этот отрезок Аь!Р и есть 6е„(Р). 213 головне кхяонтл, еяивонхсо и лгвн % м1 Рассмотрим разностную схему ц"е' — ц" + а(!„) =фо(х, !„) и' =ф,(х„), т=О, .+1, ...; и = О, 1, ..., [1/т) — 1, /.лим> —= (4) или и"+' =)! + а(! ) г)и" — а(!„) ги", + тф (х, !„), и' =ф,(х ), где х, = т/г, ! = ат, г= т/а, а(!) = — — 1 — 2б Покажем, что эта схема не может быть сходящейся ни при каком соотношении шагов г, так как ни при каком г она не удовлетворяет условию Куранта, Фридрихса и Леви.
Возьмем в качестве точки Р точку (О, 1). Сетку выберем так, чтобы Мт = 1. Значение решения иов = исо(Р) в точке Р = =(О,!), т. е. ии, в силу разностной формулы (5) выразится чеРсз значение фо(0,.1 — т) и чеРез значениЯ ии-,', и,",— '. Эти два значения в свою очередь выразятся через фо( — й, 1 — 2т), фо(0, 1 — 2т) и через три значения и'~ о, ии,'-', ио ' и т. д.
В конечном счете значение иц выразится через значения функции фо(х, /) в точках сетки, отмеченных на рис. !6 крестиками, и через значения и' =ф,(х „),и' це,=ф,(х „о,), ...,йо=ф,(х) функции ф1(х) в точках х и, х от„н ..., хо на оси Ох. Таким образом, множество 6„',"'(Р) состоит из точек сетки, отмеченных крестиками, а множество 6„'о'(Р) — из точек х и, х иеь, хо на оси Ох (эти множества имеют общие точки на оси Ох). Очевидно, что любая точка О множества Оч,(Р) имеет окрестность, в которую не попадают точки множества 6'"'(Р), как бы мало ни было а. Разностная схема (4) не удовлетворяет условию Куранта, Фридрихса и Леви, необходимому для сходимости. Рассмотрим теперь для задачи (3) разностную схему (ри'с. !7) цц+~ цо + а(/ц) '„= $0(хм, !ц), и" = ф, (х ), т = О, ~1, ...; и = О, 1, ..., 1/т — 1, Ь иео> —= о (6) ПРИЕЛ!Ы ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1гл.
т '214 ИЛИ и"+' = Г! + а (/„) г) и" — а (/„) ги", + тфл (х, /„), 1 где г = т//7. Шаг т сетки выберем из условия й1т= 1, й! — целое, так что тсчка Р =(О, 1) будет принадлежать сетке. Значение решения тбл1 в этой точке, т. е.или, в силу формул (7) выразится через лрл(0, ! — т) и два значения и' ' и и~ '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
