Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 28
Текст из файла (страница 28)
т переменными х ь ! сетка задается двумя шагами т и Ь. Число Лl точек сетки, помещающихся в ограниченной области на плоскости Ох!, имеет порядок 1/(тй). Это число также может применяться для оценки количества работы, затрачиваемой при решении разностных уравнений. Пусть т=гй В этом случае У=!/йт н утверждение, что е ЬР, эквивалентно утверждению е — !/У Если т = г/зз, то У 1//тз и утверждение е ЬР эквивалентно тому, что еж 1/А) Мы видим, что в случае уравнений с частными производными порядок погрешности естественнее было бы измерять не в степенях 6, а в степенях 1/А/.
Мы все же остановимся на описанном выше способе оценки аппроксимации степенями Ь, так как это удобнее при проведении выкладок. Читатель, однако, должен при оценке качества разностных схем иметь в виду отмеченное обстоятельство. Надо еще заметить, что утверждение о пропорциональности вычислительной работы числу У точек сетки тоже не всегда является верным. Можно привести примеры разностных схем, для вычисления решения по которым требуется произвести й/'чаг арифметических операций, где д =- '/з, 1 или даже 2.
С этим приходится встречаться при решении разностных краевых задач, аппроксимируюгцих эллиптические уравнения, илн при решении задач в случае трех н более независимых переменных (например, и = и((, х, у)). В многомерном случае построение разностных схем, для вычисления решения по которым требуется У арифметических операций, является непростой задачей, о которой будет идти речь в Я 31, 32. При реальных расчетах на вычислительной машинедля сравнительной оценки используемых алгоритмов за меру качества схемы обычно естественно принять машинное время. Машинное время не обязательно пропорционально числу арифметических действий. Играют роль, иногда превалирующую, затраты времени на пересылку информации из одного блока машинной памяти в другой. Может играть роль время, расходуемое на логические операции.
ЗАДАЧИ 1. Для задачи Коши (4) исследовать следующую разностную схему: л+1 л л' л и — и и — и — = р (тд, лт), Ь я=0,~1,...; п=0,1,..., (Г/т! — 1, и,„= зу (тд), гл = О, ~1, ..., где т = га, г = сонз1. Именно; ! 22] ПОСТРОЕНИЕ ЛППРОКСИМИРУЮШИХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 183 а) Выписать оператор ьь и правую часть ]!ы, возникающие при записи этой схеаы в виде сьиы! — Дт б) Изобразить взаимное расположение трех точек сетки, значения и]л> в которых связывает разностное уравнение при фиксированных т и л.
в) Показать, что разностпая схема аппроксимярует дифференциальную задачу с первым относительно Ь порядком на решекии и(х,с), имеющем ограниченные вторые производные. г) Выяснить, устойчива ли исследуемая разностнан схема при какололнбо выборе, г, т = гй. 2. Для задачи Коши иг+ и = гр(т, Г), и(х,о) = ф(х), — со < х < сю, О < Г < Т исследовать по предложеннону в задаче ! плану каждую из следующих разностных схем: аж! а л а ит — ит ит ит-1 т + = ф (тй, лт). Ь т=о, ~],..л л=о, 1,..., (ТЯ вЂ” 1, и~~ =тр(тй), т=о, ~! а+! а а а — ит и ь! — ит + =ф(тй, лт), т = О, ~1, ...; л = О, 1, ..., (Т(г) — 1, иа =ф(тй), т= о, ~1, ... й 22.
Простейшие приемы построения аппроксимирующих разностных схем 1. Замена производных разностными отношениями. Простейший прием построения разностных краевых задач, аппроксимирующих дифференциальные, состоит в замене производных соответствующими разностными отношениями. Приведем несколько примеров разностных схем, полученных таким способом. В зтих примерах будут использованы приближенные фор- мулы Предполагая функцию )(г) имеющей достаточное число ограниченных производных, можно выписать выражения для л( (г) г(с и'( (г) иг й((2) йг г]г( (г) йгз ! (2 + Л2) — ( (2) Л2 ( (2) — ( (г — Л2) л; ( (2 + Л2) — ( (2 — Лг) 2Л2 ((г+ Л2) — 2((2)+ ((2+ Лг) Лгт ! ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ (ГЛ. 7 184 .остаточных членов этих формул.
По формуле Тейлора г (а+~~а) ~( )+ ) ( )+ 2! + — ("' (г) (- 7чв (а) + о ((Ле)'), (2) ~ (а — Ье) = ( (г) — ()е 1' (г) + Ги (г)— ()+ 4~ ~ ) (( )) ! Используя разложения (2), можно получить выражения для остаточных членов приближенных формул (1). Именно„справедливы равенства + ) ( — =1'(г)+~ф)и( )+О(Л )], л =1 (г)+( 2 7 (е)+О( г)] (3) 1(г+ Лг) — 1(г — Лг) (г ( ) )(Лг) ~~м( )+ ((Ах )г)] 2Лг 3 1 (г + лг) — 2) (') + 1 (' — л') 7, ( ) + ) (л') ) Рз (е+ О(( ле)7)] Лг-' 1 12 Остаточные члены приближенных формул (1) входят в соответствуюшие равенства (3) в виде выражений в квадратных скобках.
Очевидно, что формулы (1) и выражения остаточных членов, выписанные в формулах (3), можно использовать и при замене частных производных разностными отношениями. Например, ди (.~, 7) и (х, 7+ Л() — и (х, 7) д~ Л( причем и(х, 7+Л() — и(х, 7) ди(х, 7) +Г Л( д'и(х, 7] + (Л()1 л( д( 1. 2 дп Точно так же справедливы формулы ди(х, 7) и (х+ Лх, 7) — и (х, 7) д.х Лх и при этом и(х+Лх,() — и (х,7) ди(х,() 1 Лх дги(х, 7) + 1) и т.д, » ии) пОстРОение АппРОксимиРующих РАзностных схем 185 П р и м е р 1. Вернемся к задаче Коши (4) из й 21: ди ди — — — =ф(х /) д/ дх и(х, 0) =ф(х), — оо <х< оо, 0(~/~(Т, 1 (4) — оо <х<оо. Для аппроксимации этой задачи Коши построим три схемы. Во всех этих схемах используем сетку 0», образованную точками пересечения прямых х = тЬ, / = пт, попавшими в полосу 0 ( /( Т. Значения т и Ь будем считать связанными соотношением т = ТЬ, где г — некоторая положительная постоянная.
Простейшая из этих схем имеет вид (5) из 5 21: и"+ — и" т гп /.»и(») =— =~р (тЬ, пт), и» =ф( /), Мы подробно исследовали эту схему в $ 2!. Для нее невязка б/(»), возникающая при подстановке решения [и)» дифференциальной задачи в левую часть разностной задачи /» [и)» = / + б/ выражается формулой (»> [ ( им ихх) +О(т+Ь), ! О. За норму элемента /(»> пространства г» примем в этом пара- графе максимум всех компонент элемента /(») ~ г». Тогда, очевидно, [[ б/(~) [[Р— — О (т + Ь) = О (ТЬ + Ь) =. О (Ь), и порядок аппроксимации получается первый. Вторая схема получается при использовании другой формулы для замены ди/дх: ди (х, /) и (х, /) — и (х — ».
/) дх А и получается при замене производных и, = ди/д/ и и„= ди/дх по приближенным формулам и (х, / + т) — и (х, /) т Э и(х+ М 0 — и(х, 0 Л (ав (гл т ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗЕ!ОСТНЫХ СХЕМ она имеет вид м «+! « « « ! =!р(тй, пт), ии =Ч(тй) Здесь ~('х 6 (м 2 и" + 2 и„,.1 +о(т+й), '( о, )) б('м)!,„= О (й) н порядок аппроксимации снова получается первый. Вторая схема, казалось бы, совсем несущественно отличается от первой. В дальнейшем мы увидим, однако, что вторая схема непригодна для счета: она неустойчива при любом т/й = = г = сопз(. Третья схема, „«! и +!+и ! л 2 и«и« !р(тй, пт), Г ц(6! ии =!р(тй), получается при замене производных разностными отношениями .по приближенным формулам + и(х+6,!)+и(х — И,!) а! ди (х, б и (х + 6, !) — и (х, !) дх 6 С помощью тейлоровских разложений (2) для достаточно гладкого решения и(х, () задачи (1) получаем и (х+ 6, !) + и (х — 6, !) и(х, !+ !)— 2 и(х+6, !) — и(х,!) =ф(х, ()+[ — Фихх+ — , 'и,+О(йз)) Поэтому [ ч! (тй, пй) + 1 — — и„„+ — иц + О (йх)~, ~ !р(тй)+ О, 188 пеиемы постеоения ейзностных схем (гл.
г П р и м е р 2. Приведем две разностные схемы, аппроксимирующие задачу Коши для уравнения теплопроводности ои с)п~ — — —, = ф (х, 1), — оо < х < оо, 0 < 1 < Т, ц (х, О) = ф (х), — оо < х < со. Простейшая из них, и+! ип ь! 'ц'а —= цо = ф(пгй) и и и и,„+! — 2и,п+ и,п ф(п!и, пт), (й! 1г ф(п!й, пт), ( Ф(тй), получается при замене производных ц! и ц „разностными отношениями по формулам ц1(х, 1) ж и (х, 1+ т) — и(х, 1) и(х+1й 1) — 2и(х, 1)+и(х — й,1) ц„„(х, 1) = й' Если для замены и (х,() использовать другую формулу: и (х + й, 1+ т) — 2и (х, 1+ т) + и (х — й, 1+ т) ц„(х, 1) ж й! мы придем к другой схеме для того же уравнения: и! и! т+! гп ~п-! 1.!й)ц (й): — т ип+! ип ип+! Еип+! 1 ипй! й2 й ц' =ф(1пп). Чтобы различать операторы Ь, этих двух схем, мы снабдили их номерами и написаля ~-й ц =1' и Ей ц =1' .
Шаблоны, со- О! (й! (1О !2) (й! (й! ответствующие этим разностным схемам, изображены на рис. 11. Рис. 11. Эти схемы существенно отличаются. Вычисление решения цп! по первой из них не представляет труда и проводится по явной формуле ц»+! =(1 — 2г) цп + г(ц" + цп й!) + пр(игам, пт)> $ ж) пООТРОе)п!е АппРОксимиРующих РАЗ)юстных схем 189 где г = тр)-'. Эта формула получена пз разностного уравнения в результате решения его относительно и"+'. Зная значения решения и", т=О, ~1, ...
на слое 1=1„(=ит) сетки, мы можем вычислить его значения й'Р! на следующем слое 1=1„г Вторая схема (.А и = [ лишена этого удобного свойства. (2) (А) (А) Поэтому ее называют иеявмой. В этом случае разностное уравнение, выписанное при фиксированных т и а, нельзя разрешить относительно (г! Р(, выразив это значение через известные значения и" „,, и„", и", с предыдущего слоя. Дело в том, что в это уравнение входит не только неизвестное значение иР+), но также и неизвестные и"„( !) и и" +~)!.
Поэтому для определения и"+', т=О, ~1, ..., придется решать разностное уравнение относительно сеточной функции и,"„+' аргумента т Тем не менее, в дальнейшем будет показано, что схема 1.А и =(, как правило, (2) (А) (А) удобнее схемы ДА п (П Рв (Л) При т = гг)2, г = сопа1, обе схемы имеют второй порядок аппроксимации относптельно !).
Вычислим невязку б)(А) и оценим порядок аппроксимации для второй нз этих схем. Пользуясь формулами (3), можно написать Ю'[~! =— Ъ а2 (и! и~~) и! 9 ии(х 1~э!) )2 и~~~~(х 1~+!)+0(т+Ь ) (-(Р-Р!) 2 и()п!), О). Отсюда, с учетом т = гг)2, можно написать ( (р (хРР 1„+,) + О (Ь2), (А) ( (р(хРР 1„) — (р (х , 1„+!) + О (6'), ((и) ! и А Р! Р+! ]. о.
Но а)(х , 1„+,) = (р(х„, 1„) + [(р (х , 1„+,) — ф (х , 1„)] = = а)(х„, 1„) + О (т) = (р(хРР 1„) + О (Ь2). Поэтому ]]б((А) []„= О(й~) ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ >гл. т П р и и е р 3. Рассмотрим простейшую разностную схему, аппроксимирующую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате 0 (О < х < 1, О < у < 1) с границей Г (рис. 12, а): и„„+мин — — >р(х, у), (х, у)ЕЕА1, и 1г = ф (х, у), (х, у) ее Г.
Построим сетку 0л, отнеся к ней те точки (х, 1,) = (тп, пп), которые попали внутрь квадрата или на его границу. Шаг 1> 4/) уп,п Ру) >й>ну,л) д~п,п-l) будем считать выбранным так, чтобы число 1/й было целым. Разностную схему (.Аи>л> = )Тл> зададим равенствами и,„+, „— 2и,ии + и,„-, „и,и „+, — 2и~„+ им, „ л' + л' =ср(тй, п»), (тй, пй) ыЦ и „= ф (тй, пй), (т», пй) ~ Г е>л> >р(тй, пл), если (т>>, п») ее й, ф(тй, ПЬ), если (т», пп) ее Г. и>м— л Невязка Ч<л>, А'.А(и]л =)тл>+бр>л>, имеет в силу формул (3) вид л2 б '"' = >2 (и~~~~ + пинии) ~' ' " + о(п ) < О, так что аппроксимация имеет второй порядок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
