Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Кроме того, советуем прикинуть, с каким шагом надо интегрировать задачу и' + и = О, и(0) = 1, чтобы получить в и(!) погрешность не более. 10-'. Если читатель проделает эту прикидку для рассмотренных в начале параграфа разностных схем (1) и (2), то увидит, что схема первого порядка точ!шс!и (1) требует значительно более мелкого шага, чем схема второго порядка точности (2). Таким образом, выгодность или невыгодность той илп иной схемы зависит не только от нее самой, но н от задачи, к которой она применяется. 8 !8. Прием исследования устойчивости нелинейных задач Способы исследования устойчивости, изложенные в Я !4 и 15, были непосредственно приспособлены для разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
Поэтому может показаться, что нельзя использовать приведенный в этих параграфах материал для анализа схем интегрирования даже уравнений !ги — =0(х, и) с довольно общей функцией О. Однако это не так. !гх Пусть интересующая нас интегральная кривая уравнения 15б сходимость, оппооксимхция и тстоичивость (ГЛ. 5 проходит через точку с координатами х= хо, и = ио. Вблизи этой точки имеем го(х ц) — " "' (ц — ц,) + '"' "' (х — хо) + О (хо, ио), (2) и поэтому уравнение (1) с определенной точностью может быть ааменено более простым: — — Аи = ~р (х), ди дх (3) где дО(х, ) ( ди и=и) (р(х) = 6 (хо, ио) + д ! (х — хо) ио д дО(х, и) ! дО(х, и) к хв и=и, и и Естественно, что схемы, которые мы хотим применять для нахождения нужного решения, должны хорошо интегрировать уравнение (3), аппроксимирующее уравнение (1) вблизи некоторой точки, через которую проходит интегральная кривая.
Конечно, для разных точек этой кривой величина коэффициента А, полученного описанным способом линеаризации исходного уравнения, будет различной. Поэтому, отбирая ту или иную разностпую схему, мы должны будем ее проверить на уравнении (3) не с одним значением А, а с целым набором таких значений, достаточно полно описывающим диапазон изменения дО/ди вдоль интегральной кривой. В подавляющем большинстве практически встречающихся случаев такого исследования оказывается достаточно для выявления всех существенных недостатков и достоинств схемы, относящихся к характеру сходнмости полученных по ней приближенных решений. Такой же метод построения модельных уравнений может быть применен и в случаях систем уравнений и уравнений высших порядков.
На практике вычисление решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений без особенностей обычно производится по одной-двум довольно универсальным, хорошо апробированным схемам, для которых на современных вычислительных машинах имеются стандартные программы. Если приходится с очень большой точностью решать задачи специального вида, то применяются многочисленные специальные схемы, приспособленные именно для этихзадач,ноуступающие универсальным схемам при решении другого круга задач. ГЛАВА 6 УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ $19. Схемы Рунге — Кутта и Адамса Изложим здесь некоторые употребительные разностные схемы решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка — „" — 6(х, и)=0, 0(х(1, и(0) = а. В конце параграфа эти схемы будут перенесены на системы дифференциальных уравнений первого порядка, к которым сводится общий случай уравнений и систем любого порядка.
Выберем на отрезке 0 ( х ( 1 сетку точек О=ха(х~ (х ( ° ° ° (хи-~ (хи= 1, х =пй, й = 1/Лl и будем составлять разностные схемы для приближенного отыскания таблицы [и)ь значений решения и(х) на выбранной сетке. С простейшей употребительной схемой мы уже встречались. Это — схема Эйлера ""+' "" — 0(х„, и„)=0, п= 0, 1, ..., Аà — 1, а на=а, обладающая первым порядком аппроксимации (и точности). Вычисления по этой схеме имеют простой геометрический смысл.
Если и„уже вычислено, то вычисление и„+, =и„+ АО(х„, и„) равносильно сдвигу нз точки (х„, и„) в точку (х„+и и .ь~) на плоскости Охи по касательной к интегральной кривой и = и(х) дифференциального уравнения и' = 0(х, и), проходящей через точку (х„, и„). 1гл. а УПОТРЕГНТЕЛЬНЫЕ РЛЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 158 Среди схем более высокого порядка аппроксимации наиболее употребительны различные варианты схем Рунге — Кутта и Адамса, которые мы опишем и сопоставим. 1. Схемы Рунге — Кутта. Пусть значение и„приближенного решения в точке х„ уже найдено и требуется вычислить ил ы а точке х„ы = х, + й.
Задаем целое 1 и выписываем выражения й, =О(х„, и„), йг = — О (х„+ ай, и„+ айй,), й3 О (х» + ()й ил + нй~ 2) й, = О (х„+ уй, и„+ уййг,). Затем полагаем "" — (р,й, +... + ргйг) = О, и =О, 1...., 2У вЂ” 1, слигЛ) = а ил =а. Коэффициенты а, р, ..., у, рн рм ..., рг подбираем так, чтобы получить при заданном 1 аппроксимацию возможно более высокого порядка. Зная и„, можно вычислить йн ..., йь а затем и„+, — — и„+ Ь (рМ, + ...
+ рА). Простейшей схемой Рунге — Кутта является схема Эйлера (1= 1). Схема Рунге — Кутта " — — „(й, + 2й, +2й,+ йг) =О, п=О, 1,..., Аг — 1, Ели1Л1 ил=а, где й, = О (х„, и„), й,=О(х„+й, и„+ йзй), имеет четвертый порядок аппроксимации. схемы Руггге — куттА и АдАмсА )59 4 гз! Схема Рунге — Кутта — — — и! -(- — )ея1 = О, 1аи(А) = и=О, 1, ..., г)( — 1, (4) где й, =6(х„, и„), йг= 0(х„+ай, и„+айиг), при любом фиксированном а имеет второй порядок аппроксимации. Мы докажем только утверждение о схеме (4). Локазательство утверждения о схеме (3) аналогично, но более громоздко. Решение и(х) уравпеипя и' = 6(х, и) удовлетворяет тождествам г(и — — = 6 (х, и (х)), дх дги д дО дΠ—., — = — 6(х, и) — + — О. дхг дх дх ди Поэтоыу из формулы Тейлора и'(х )+ — и" (х ) + 0 (й') й ц 2 ц для решеиия и (х) следует равенство Л (О+ (~ + 6)) 0(й) (5) хц и и(хц) 2и — ! 1 = — 6+ — 6 (х+ ай, и+ айО) ! 2а 2а «ц и-ц (к„) 2а — 1 ! — йг + — йг 2а 2а ц и и (хц) 2а — 1 ! ==6+ —,)О 2о 2и 1 + — ий+ — ойО+ 0(йг)1 дО дО дх ди и=ц (хц] 2 (дк ди ))к х кц + 0 (йг).
(5) ц и(х ) Поэтику при подстановке в левую часть равенства (4) вместо и и и„; г соответствеипо зпачеияй и(х ) и и(хцьг) решения и(х) получится выражение, совпадающее с левой частью равенства (5) с точностью до 0(йг). Слсдовательио, это выражеипе имеет второй г,орядок относительно й. Поскольку значение пг = и задано точно, этим завершается доказательство того, что схема (4) имеет второй порядок аппроксикации.
Но, разлагая по й функцию д)зух переменных по формуле Тейлора и удер- живал члены первой степени, получим употненительхые Рлзностиые схемы (гл. а 160 Для получения имы по схеме Рунге — Кутта при уже известном и„приходится 1 раз вычислять значения функции 6(х, и). Эти значения больше не используются. 2. Схемы Адамса. В схемах Адамса, одну из разновидностей которых мы сейчас опишем, для вычисления каждого следующего значения ин ы достаточно дополнительно вычислить значение 6(х, и) лишь в одной точке независимо от порядка аппроксимации.
Кроме того, приходится проделать небольшое число вычитаний и сложений, которые требуют во много раз меньше времени, чем каждое вычисление сколько-нибудь сложной функции 6(х, и). Обозначим Ч )п = Ч (Ч(п) = Ч)п Ч(п-~ = )и 27п — ! + )и — а» Ч)п=ЧЧ)п=)п — 3)п,+оп,— (п а и положим 0„= 0(х„, ип).
Выпишем несколько разностных уравнений, используемых в схемах Адамса для вычисления Ипэп ЕСЛИ Ип, Ип-Ь ° .. ужЕ ВЫЧИСЛЕНЫ: ип+ ип 6 а и и = О, 1, ..., А( — 1, (7) и = 1, 2, ..., А( — 1, (8) ив+~ — ип 6 и 2 и — 0~ ~ Ч0« — (2Ч'0п=О, И=2, 3, ..., А( — 1, (9) (10) и= 3, 4, ..., А( — 1. Формулы Адамса получаются следуюшнм образом. Пусть и(х) — решение уравнення Ии — =о(х, и). т(х Обоаначнм С (х.
и (х)) = — Г (х). Первое из этих уравнений — разностное уравнение Энлера. При подстановке в левые части уравнений (7) — (1О) вместо и„ы, и„, и„ь ... значений и((и+1)п), и(пег), ... точного решения и(х) в равенствах (7) — (10) возникают невязки порядка Ь, Ьа, Ьа и Ь' соответственно. 161 схдмы ринги — куттл н лдлмсл Тогда ««+а и(хл+ Л) — и (хл) = ~ и' йх = ~ Р (х) их. л шах ) Рд (х, Р) — Р (х) 1 = О (Лее'). Разностная формула Адамса имеет вид ,„+я ил+~ — ил 1 л л — Рз(х, Р) йх =О. (12) При подстановке в левую часть вместо ил ил+и 6 (хл-з, ил-з) соответственно значений и (хл), и (хл+,), 6 (хл з, и (хл з)) получим невязку порядка Л" «+ и(хи+ Л)и(хл)1 ~Р л И «л с «л+а «л+ь и(хл+ Л) — и («л) 1 Г 1 л — Р (х) Лх + — ~ (Р (х) — Рз (х, Р)] Нх л 3 Ь 3 « л ~О+ шах ( Р(х) — Рз (х, Р) ) = О (Ь"+') При й = О ннтерполяционный многочлен Рз (х, Р) = 6 (хл.
ил) = сопя( и формула (12) превращается в (7). При Ф=! 1 Ру (х Р) [(х хл ~) 6» (» хл) 6» у) л 6 С, К. Г«лун«в, В, С. Рябе«ь«яа Из теории интерполяции функций -известно, что существует один и только один многочлен Р«(х, Р) степени не выше й, принимающий в (Л+!)-й точке к, х у, ..., х «заданные значения Р(х ), Р(х„~), ..., Р(х «) соответственно. Этот многочлен Р«(х, Р) в случае достаточно гладкой функш|и Р(х) уклоняется от Р(х) на отрезке х ( х ( х„+ Л на величину порядка Л""', так что УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 162 (гл. а Далее, + 1 (х — х„,)' !хн+" ! (х — хн)е !хл+" (х,г")г(х= — " ' ~ 6 — — " ~ 6„-1= =Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
