Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Таким образом, в этом примере ошибку округления при вычислениях можно считать погрешностью 6(х)/л в задании правой части. Рассматриваемая схема имеет первый порядок аппроксимации и устойчива. Поэтому, чтобы не испортить сходнмость со скоростью /м мы должны вести вычисления с возрастаюшей точностью, а именно так, чтобы Л м! !м б (х) в было порядка Ь. Для этого 6(х) должно быть порядка Ь'. Этого можно добиться, ведя вычисления и<М с возрастаюшим при й- 0 как 1п(1/Ь) числом запасных десятичных знаков. На этом примере мы показали, что в простых случаях ошибки округления при вычислении решения ики с точностью до множителя вида й' можно считать ошибками задания правых частей /!М. Из доказанной выше теоремы следует, что тогда для устойчивых схем эти ошибки не мешают сходимости без потери порядка точности, если число десятичных знаков, с которыми ведется счет, медленно возрастает, как с1п(1/й), где с — некоторая постоянная.

4171 КОЛИЧПСТВЕИИАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УСТОЙЧИВОСТ1А 149 5 17. Количественная характеристика устойчивости Начнем с рассмотрения хорошо известного примера разностной схемы ""+'„"л + Аил= О, ил — — 1 для дифференциальной краевой задачи и'+ Аи = О, и (0) = 1. Ее решение имеет вид и — е "л+й л е ~л+О(!1) 2 (см. (3') из 5 8; полагаем Ь = 1). Выражение (6) из 5 8 6(хл) =л — '" е ~""+ 0 (Ь ) представляет собою остаточный член, т. е. ошибку от замены значения е " точного решения дифференциального уравнения решением и1А~ разностной задачи.

Остаточный член стремится к нулю, как первая степень Л; зта схема имеет первый порядок точности. Выбор шага Ь зависит от точности, которую мы хотим достичь. Ясно, что модуль отношения ошибки к точному решению !6(хл)/и(хл) ~ должен быть во всяком случае меньше единицы, чтобы приближенное решение можно было считать сколько-нибудь точным. Посмотрим, при каких Ь это условие выполняется. В выражении 6(к ) пренебрежем слагаемым 0(Ь') и рассмотрим отношение ошибки 6(х„) в точке х„к точному решению: 6(хл) А е Ллхл — Алл А'Хл =Ь вЂ” ". л (хл) — "л 2 е Возьмем А = 20 и будем рассматривать это отношение в точке х = 1. Тогда из условия )6(1)/и(1) ~ ( 1 получим 6<0,2 10 '. Теперь выясним, какие шаги требуются для интегрирования той же задачи и'+ Аи = 0 по схеме второго порядка точности "" ' +Аи =О, 2а л (21 ил = 1, и1=1 — АЬ, 150 схОдимость.

АппРОг<сггмиггия и устОйчиВОсть ггл. 5 если по-прежнему А = 20 и ставится та же цель удовлетворить условию (3) Решение этой задачи имеет вид (см. равенство (12) из $8 при 5=1): и„=е л +й (, Ае +( — 1) 4 е )+0(Ь). Ошибка, таким образом, имеет вид Цх„)=Ь ( !" Ае +( !) 4 е "1+0(й). Пренебрежем слагаемым 0(гги), выпишем отношение ошибки б(х„) к точному решению и(х„)=е *" и определим шаг гг из условия (3).

Этот шаг окажется столь малым, что если условно принять машинное время расчета по схеме (1) за одну секунду, то по схеме (2) придется затратить около четырех суток! Дело в том, что оценку практической пригодности той или иной схемы для решения определенной задачи следует делать нс только по степени 1г, входящей в выражение погрешности, но еще и по коэффициенту при этой степени. Теперь постараемся понять, как можно судить о пригодности той или иной разностной схемы ~инги! = !гиг из исследования ее устойчивости. Для краткости записей будем считать оператор 1.5 линейным.

Напомним (см. 5 12), что разностная схема называется устойчивой, если при любом г<"ген гг, она однозначно разрешима, причем решение и<иг ен Уи удовлетворяет оценке 11п м 11ии (С !1 1гм 11РА 1! а'"' !1гги ( СС, йи, (4) в котором Сгйи представляет собой оценку величины погрешно- сти аппроксимации: 1Ти(и)и — )г"г !1Р„к=с,йи. Пусть ошибка аппроксимации СгЬА мала. Из оценки для (1 агиг 1!пи видно, что для малости величины 11(и]» — иеи 11пи надо Доказывая в $ 12 теорему о том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, мы получили для погрешности а<и> = (и!и — игиг неравенство $ !7! КОЛИЧЕСТВЕНИАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УСТОплн!ВОСТИ !з! еще, чтобы не был слишком велик коэффициент С, характеризующий устойчивость. Поэтому, если мы хотим выяснить пригодность той илп иной разностной схемы для решения интересуюшей нас задачи, мало ю!Ет!ь что схема устойчива.

Нужно еще знать примерно величину коэффициента С, суждение о которой можно получить способами, указанными в Я 14, !5, экспериментальными расчстамп или каким-нибудь косвенным образом. Подсчитаем, например, коэффициент С для разностных схем (! ) и (2) решения задачи и'+ Аи = гр(х), и(0) = а, о которых шла речь в начале параграфа. Сначала рассмотрим схему ил+' "л ! Аи /! л л а = О, 1, ..., Л/ — 1, иа — -а при нормах !! и!А! !!τ— — сна Х ! ил 1, !! [!А! !!Р„= ГнаХ [! а 1, таХ ! фл ! !. л и Приведем ее к виду Уле! =/САУл+ йР ° Уа задано, /А!А = (1 — Ай) р„—, гда УсловиЯ (17) из $14 выло е !!и '!!иак. С2гпах!!у„!! С2 !! ! !!Р 1//2!~(С,! [!А!!!Е (5) причем можно положить С2 = !.

Далее, очевидно, !!//1,[=(1 — А/!)". Поэтому можно положить С = 2 шах [1, (1 — Ай) л). Отсюда 2, если А>0, 2(1 — Ай)и, если А (~ О. Покажем, что число С нельзя взять существенно меньшим. Нормы выбраны нами так, что выполнены и условия (6) и (7) нз $15! ! ипо !!а„> М! /пах !! у.

!1, (6) п 152 сходимость, »ппооксим»ция и кстоичивость >гл. о а при «р„= 0 (р„= 0) также !! Уо !1> Мо!! «[[Ра (7) причем можно положить М, = Ма = 1. Поэтому постоянная С обязана удовлетворять, как установлено в 5 15, оценке С ~ М>М2 >пах >>)«»>> 1, если А>0, С> (1 — АЬ)", если А ( О. Теперь оценим постоянную С, входящую в определение устойчивости ![и«">[!и»(<С[!>«»>[[к», для разностной схемы (2). Запишем ее в виде Ул+> = !7»У + йра.

и = О, 1, ..., уо задано, положив для этого Выберем нормы [ и«м [[и» = гпах ! и„[, Б [! ~«"> ! = =гпах [[ а [, [р[, гпах[4>„[[, а =гпах[[у«п[, [уи>[ "[. ,[~'1 С > М,М, гпах[!К»[[=гпах[!>Га![. а й Оценка сверху для величины шах [!)г«,[[ была получена в $ 14: [[И>[[4~ о) ! ((1+2[А[6)и. Тогда выполнены условия (5) — (7), причем Со = М> — — Мо = 1. Поэтому в силу п. 3 из $ 14 в качестве постоянной С можно взять число С=2С'шах[[)га»[=2гпах[!)та[[,' но в силу (5") из л й $ 15 нельзя более чем вдвое уменьшить его: заведомо должно быть 5 12! КОЛЕ!ЧЕСТВЕ1ШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УСТО1ЧЧИВОСТИ !Ез Поэтому можно положить С = 2е2 !" ! ) 2 (1 + 2 ! А ~ й)'1 . Оценку снизу для щах!!!ТА'!! получим из условия !!Я)~)!Л!", где Л вЂ” большее по модулю из двух собственных чисел матрицы В,.

Решая уравнение бе!()СА — ЛЕ) = О, найдем собственные числа: Л, = ! — Ай + "',"' + о (йа) = ! — Ай+ О (йг), Л2= — 1 — Ай — — +о(й') = — 1 — Ай+ 0(й ), А2И2 г 2 так что гпах (! л! 1, ! л, 1) = 1 + ! А ! й + О (йг) шах!!)ТА~ = (1+ ! А !й) 7А+ О (й). Поэтому найденную выше постоянную С =2е'!"! заведомо нельзя заменить числом меньшим, чем (1+!А !й) -е 11А ! А 1 т. е. нельзя существенно уменьшить. При А=20 для первой схе- .4 17 мы С = 2, а для второй заведомо С) а" ) 10'.

При А ! или А<0 в свойствах устойчивости обеих схем нет коренного различия: постоянная С для обеих схем 27 примерно одинакова. Легко понять механизм, в силу которого при А )) 1 постоянная С для второй схемы много больше единицы, в то время как для первой С = 2 Общее решение однородного уравнения и„е, — (1 — Ай)и„= = О, соответствующего схеме (1), есть й„= ид", где 17 — корень характеристического уравнения 17 — (1 — Ай) = О, 17 = 1 — Ай (рис. 4). Общее решение однородного уравнения а „-1-2Айи — и, = 0 соответствующего схеме (2), есть — о1)ч + ~!)п 154 сходимость, хппиоксггм«ция и хстончивость ггл» где г)г и дг — корни характеристического уравнения д~ + 2А)гг) — ! = де! (йг* — г)Е) = О, дг = ! — Ай + ~ +о()г'), Амяс А-"а-' д» = — ! — А)г —, + о ()гг).

2 Корень дг «похож» на корень д= ! — Ай, и ему соответствует решение д«г, похожее на решение д" первого уравнения. Но «паразитический» корень дг = — ! — Ай + 0(й') дает быстро возрастающее «паразитическое» решение д.", (рис. 5), которое и обусловливает большое значение С. При отрицательных А будет Ч > ! г)г > 1, ~г)г~ < !. Решения Рис. 5.

Рис. 6. г)" и г)",, соответствующие корням г) и дь примерно одина. ково быстро растут, а паразитическое решение г)6 затухает, не оказывая влияния на характер устойчивости второй схемы (рис. 6). Отметим, что большое значение С при А « 0 неизбежно для любой разностной схемы, приближающей задачу и'+ Аи = О, и(О) = а. В самом деле, при малых /г решение устойчивой разностной задачи похоже на решение дифференциальной задачи, к которому оно при й- 0 сходится.

Но решение дифференциальной задачи и = и,е-"' таково, что гпах !и(х)! =-!и,!е-А', т. е. гггах) и(Зс) ( в большое число е-л раз превосходит модуль )ис) начального значения ис. Мы должны еще отмстить, что большой коэффициент С ведет не только к необходимости расчетов с мелким шагом, но и !эз пР!1Гм исслелоВлн!!я устопчнВОсти % !я! к большому числу десятичных знаков, с которым приходится вести вычисления. В самом деле, в ~ 16 мы показали, что ошибки округления можно включить в ошибки при задании правых частей, которые оцениваются величиной С!й". Увеличение этих ошибок вызывает увеличение коэффициента С1, что при большом С в силу (4) может катастрофически сказаться на точности результата. В заключение этого параграфа мы хотели бы еще предостеречь читателя от ложного впечатления о схемах второго порядка точности, которое могло у него создаться из рассмотренного примера.

Мы вовсе не хотим опорочить все такие схемы, описывая недостатки одной из них. Читателю будет очень полезно провести самостоятельное изучение схемы второго порядка точности вида пп+1 ип + А пп1-! + пп (1 а 2 иа= 1. Стремясь добиться, чтобы при А=1 погрешность 6(1) была меньше, чем и(1) = е — ", он убедится, что эта схема накладывает менее жесткое ограничение на шаг Ь, чем схема первого порядка точности (!).

Характеристики

Список файлов книги