Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если Л вЂ” собственное значение, то сушествует собственный век- тор У такой, что )с1,у = Лу. Поэтому )г»у=Л"у, ~1Пу(l=!Л!л~!у~!, ~!!г",~~) !Л!". Таким образом, для ограниченности ~~!Х»)! необходимо, чтобы были ограничены степени собственных значений !Лл/, и=1, 2, ..., Л!. Для этого все собственные значения должны лежать в круге ~ Л ~ ( 1 + сй (!3) иа комплексной плоскости, где с не зависит от й. В противном случае на произвольном с и некотором достаточно малом й 1)Р",((~~!Л!~~ (! ! й)»,! "! ч' ~~~В~ » /~е» Сформулированный признак оценки степеней ,'~Я»~~ по расположению спектра (т. е.
совокупности собственных значений) оператора )х1, не зависит, очевидно, от выбора нормы в пространстве, где действует оператор !Г». Спектральный признак устойчивости (!3) не зависит также от способа приведения схемы (!) к виду (2). Если приведение Осул л ! л ! л — 1 ШЕСтВЛЕНО ИиаЧЕ, Ул+, =Й»У„+ йрл таК ЧтО У =ТУ ЛГ»=ТК»Т где Т вЂ” произвольный невырожденный линейный оператор, то ! спектры операторов )с» и !Г» совпадают. В самом деле, бе1 (11» — ЛЕ) = де1 (ТТХ»Т ! — ЛЕ) = д е1 (Т я» — ЛЕ) Т ! '3= = !)е1Т де1(!х» — ЛЕ) !!е(Т = !!е1(й» вЂ” ЛЕ). Поэтому уравнения (1е(()с(, — ЛЕ) = 0 и ()е( (,)Га — ЛЕ) = 0 имеют одинаковые корни Л. 3.
Обсуждение спектрального признака устойчивости. Выше было показано, что при выборе норм в соответствии с условиями (6) и (7) располо(ксние спектра оператора (7» в круге )Л(< !+ ой, (! 3) пеобхош(мое для ограниченности ~((з!1 необходимо также и для устойчивости. Пусть условие (13) грубо нарушено, так что при достаточно малых й - О имеется собственное число Л, по модулю сушественно превосходяшее езнпипу, скажем, ! Л ! > ! + А(-з где е ) О не зависит от х. Тогда разностпая схема (!) неустойчива при любом РазУмпом выбоРе ноРм ! и( )!)((ь и ((( )(Р(г даже если и не огРапнчивать свободу этого выбора условиями (6) и (7). Это высказывание нельзя назвать теоремой хотя бы потому, что оно оперирует термином «разумный», не получившим точного определения.
Объясним, что мы имеем в виду. При любом разумном выборе нормы (! и (((га можно так подобрать по- (А) ложительное йь чтобы при всех достаточно малых й выполнялось неравен. ство (! и(" ((Язв ~) й ' шах ! ип !. л (14) В противном случае, очевидно, не может быть выполнено равенство (4) иэ $ !3 Вгп )((п)а!!. =!!.)Сг А-за А 7(злее, при любом разумном выборе нормы !)(М(! люжпо так подола брать йз ) О, чтобы при всех достаточно малых й выполнялось неравенство ))((ь)(!Р <л-ьу (1б) где через г" обозначен максимум модулей компонент элемента 7(ю пространства гю В противном случае разностпая схема (!) пе может аппроксимировать задачу (и = ! Ва решения н: ведь мы видели, что компоненты невязки б!'"(, вознпкаюшей при подстановке [п)ь в левую часть приближающей задачу разноспюй схемы (!), стремятся к нулю пе быстрее, чем некоторая степень шага й.
Приведем теперь разпостную схему (1) к виду (2), полагая для этого уп=~„"+'1, )(~ ~~ =гпах(!а!. ((()!. (16) Для определенности мы считаем, что рассматривается разностное уран. пенне, которое связывает трп последовательных значения и„ и и , и ьь Если праву(о часть разпостного уравне ия, на основе которого построена схема (1), положить равпоп пушо, то прн некотором г ) О будет выполнено неравенство пшх ! (и, !. ! и ! ! = !! уз (!у ) йгс", (17) 4 (З! ПСОБХОДИМЫЙ СПЕКТРАЛЪНЫЙ ПРР(ЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ 139 140 сходимость, аппроксимация и устоичивость !гл. з поскольку соотношения, связывающие ио и ио и входящие и разностную схему, имеют вид ио а, ио — ио =ь,) л ио = а, либо им аналогичный. Теперь ясно, что всегда можно добиться справедливости неравенств (6) и (7), положив Мо (6) = Ьа', Мо (Ь) = Ь'+ '.
В самом деле (см. также (!4) и (!7)), !! и(ь> )(а„) йз' шах ! и„! = Ьз' щах)! ул 1, ((„!> Ьгу ...»,(Ь-ьу) >де+а,()!!»>(! Таким образом, неравенство (б') примет вид !! и>ь>)~г„) ь'+*+м п>ах!!)(»)~.(!)!">!(р„)ггл»>ьь'(!+а' ') (!)'">(! л Это означает неустойчивость, потому что при любых г, Ьо, Ьо и е ) О, как легко видеть, Ьгьзгь»,(! + й>-е)и" — зол при Ь-ьй. Этим мы закончим изложение соображений, показывающих, что если среди собственных значений матрицы )7» есть корень, удовлетворяющий неравенству ! Л ! ) 1+ Ь> о, то она неустойчива при любом разумном выборе нори. Воспользуемся необходимым спектральным признаком устойчивости (13) и докажем, что схема, рассмотренная в $ 9, действительно неустойчива.
В $ 9 строгого исследования неустойчивости не могло быть проведено хотя бы потому, что там в нашем распоряжении еше не было аккуратных определений. Интересуюшая нас разностная схема приближает задачу и'+Аи=О, 0(х((1, и(0) = а (! 8) и имеет вид 4 'I — 3 и" +' и" + Аи„= О, а = 1, 2, ..., )Ч + 1, (19) ив=а и, = (! — АЬ) а. Положив у„=1""+'~, приведем схему (19) к виду (2), где ь ил А'»=( ! о)э Рл=— О. 4151 неОБхОд>!мыя спектРлльныя пРизнлк устойчивости 141 Собственные значения матрицы )хл суть корни квадратного уравнения Йе((>хл — ЛЕ) = О: з+ лл (~ з+ лл ~' Первый корень Л|(й) при й- О стремится к числу 2, так что при малых й ]Л,]>т> 1.
з Поэтому нельзя ожидать устойчивости ни при каком разумном выборе норм. В частности, если ввести нормы равенствами ]! иы' 1п — — щах ! ~рл ! Л л !! Фл! [!)1л~]]рл =~ а ~ =гпах[]а!, 1]1], гпах]<рл]], РЛ г лха то будут выполнены оба условия (6), (7), при которых неравенство (3) необходимо для устойчивости. Однако !])гл!! > (>гз) — л со, если п = 1/й, й- О и устойчивости нет. Как мы видели, грубое нарушение необходимого спектрального признака устойчивости (13): ]Л ](1+ сй, например наличие собственного числа Л* оператора 1хл, удовлетворяющего оценке ]Л*] > 1+ й'-', свидетельствует о непоправимой за счет выбора норм неустойчивости. Подчеркнем, однако, что расположение спектра оператора )г„ внутри круга ]Л! ( 1 + сй еще не гарантирует устойчивости.
Устойчивость в этом случае может зависеть от удачного выбора норм, как показывает пример следующей разностной схемы, которую мы уже рассматривали в $ !4 с несколько иной точки зрения. 142 СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМлЦИЯ И УСТО1ЗЧИООСТЬ [ГЛ 5 Разностну1О схему решения задачи и" = 1р(х), и(0) = а, и'(0) = Ь выберем так: Лл+ ~ — Влл + 21л — 1 и = 1, 2, ..., )о' — 1, по=а Положив ул= ! ""+1~, запишем ее в виде (2), где г. Рл ~о — (, о). рл — ~ о ~, у.— ~ Оба собственных числа матрицы )75 равны единице. В случае грл = — 0 решение (и„) задачи имеет вид и„=ио+(и1 — ио)п, п =О, 1, 2, ..., ЬГ. Используем два набора норм: 1) !! у„(),, = гпах ( ( ун (, ! у,",1 !), ! И1"1 1~2„= ГнаХ ! Ул !!у, 42» !)151!!Р„= о =ГнаХ[!!уО!)у, таХ11р !]; ь 12) О1 "(лег! ' ' ) )!иинц=гпах!!ул(! „, л !!)<51!!Ра = шах( ! уо!!У„гпах! гр ! ).
Читатель легко убедится, что в обоих случаях выполнены условия (6), (7) и условия (28) из $ 14, при которых устойчивость равносильна оценке !!)71",!!~(С, и=1, 2, ..., Ьà — 1. При выборе норм по формулам 1) эта оценка не выполняетГ01 ся. Например, полагая уо — — [ ~, !!у,!1=1, получим у =~" + ), ()у !)=и+ 1, !))71!)>и+ 1-л со при а = !//1, й — О, $ !51 неовходпхыи спектр зльпыи пРнзнлк устоичиВОсти 143 При выборе норм по формулам 2) устойчивость имеется: при произвольном у, =( и'1 имеем !.
пал ~М,„=!~к.„~~=1,",;,;„::;,":-"~!,„= = !пах [! ио+ (и, — ио)(п+ 1)1 Но и+ 1(1/6, поэтому м =~~<.1, <) .~+!"', ~- ~~ .~, ~ Яа !1 < 2, и = 1, 2, ..., А! — 1. На практике часто ограничиваются проверкой того, выполняется ли необходимый спектральный признак устойчивости. Если он выполнен, дальнейшую проверку пригодности схемы устанавливают путем экспериментального счета по этой схеме, не заботясь о явном конструировании норм. Способам таком проверки посвяшен $ 18.
ЗАДАЧИ 1. Пусть разностное уравнение второго парядкз ии г + Ьил + си„„, = !р„приведена к виду у +! = В,у + йгр, с помощью замены у ил+ ! "+' 1 Показать, что корин характеристического уравнения и+ЬЛ+сЛ' = ил = О и собственные значения матрицы??л совпадают. 2. Записать разностиое уравнение второго порядка ии г+Ьил+си„+г = ( ил+! 1 = гр, в виде у .н =??лу + йр с помощью замены ул = ил+! ~. Единил отвеина ли такое приведение? Показать, что собственными значениями матри- цы ??л явлщатся корпи характеристического уравнения и + ЬЛ + сх' = О н еще числа Л = О, так что выполнение спектрального признака устойчивости иллз Г ил+! 1 !Л! <! +ей ие зависит от выбора ул =[ ) илн ул = ил+, ь ил ил 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
