Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Действительно, в силу равенства и(исс) — и„= ае """ — и„= — ~ — А ае~"" + 0 (сс)[сс 2"") + 0(сс), вытекаюшего из соотношения (7) $9, величина [> [и[„— и' ~ [и„—— 2 'с шах [ и (та) — им> [ стремится к нулю при измельчении сетки. Но ясно, что стремление этой величины к нулю ни в каком разумном смысле не означает стремления к нулю погрешности г>"> = [и]ь — и>">, поскольку при этом разности и(и>с) — и„могут стремительно (почти как 2'с") возрастать, что и имеет место в рассматриваемом примере. Нормы (2) и (3) также не стоит рекомендовать, так как они недостаточно характеризуют погрешности[и)>, — и>ь>, Обычно принято выбирать норму в пространстве Бь так, чтобы при стремлении шага сс к нулю она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т.
е. чтобы выполнялось равенство !пп [1 [и)а [[иь = [[и![и (4) а+о где П ![и — норма в пространстве функций на отрезке, которому принадлежит решение и(х). Норма [ г>а>[~с„ = >пах [ г'">/ О ВЫБОРЕ НОРМ этому условию удовлетворяет, если в качестве У рассматривать пространство непрерывных функций, в котором !!и!!и — — гпах ! и(х) 1, О~к~! а сеточную функцию [и)„определять как совпадяюпхую с и(х) в точках сетки. Норма (5) также является разумной. Она удовлетворяет условию (4), если за 0 принять пространство непрерывных функций с нормой /~ !!и!!и = '~/ ~ и'(х) г(х, а а сеточную функцию [и)ь по-прежнему определить как совпадающую с и(х) в точках сетки. В случае разрывного решения и(х), обладающего, однако, интегрируемым квадратом, за У можно принять пространство функций с интегрируемым квадратом и с нормой /~ !! и !!и = ~/ ~ и' (х) с/х, о но значение и„сеточной функции [и)ь определять не по формуле и„= и(пй), которая может не иметь смысла, а по формуле «„+юг 1 и„= — ~ и (х) Нх.
х -аи л Тогда и для разрывной функции и(х) будет /~ !!гп !! [пап„= '~/ ~ ~иг/х. о Ясно, что сходимость !1гп !! [и!а — ион !! = О з->о в смысле нормы (1), т. е равномерная сходимость, влечет за собою сходимость в смысле нормы (5), т. е. сходимость в среднем, но из сходимости в среднем не следует равномерная сходимость. Поэтому из числа разумных норм, удовлетворяющих условию (4), выбирают ту, в которой удается доказать.
11З сходимость. аппяоксимлция и хстопчивость ~гл. а сходимость изучаемой конкретной разностной схемы. Для этого выбора нет общего рецепта. В случае обыкновенных дифференциальных и соответствующих разностных уравнений, которыми мы занимаемся в этой главе, обычно достаточно удобны нормы (1), (5) или норма типа гм) зм) ~ 1 ))~ь,— *[ «)ч), " '„" 1, м в которой учтена скорость изменения сеточной функции при переходе от точки к точке.
Равенство (4) при этой норме выполняется, если за 0 принять пространство непрерывно дифференцируемых функций с нормой 1~ и 11п —— гпах(' щах (и(х) 1, гпах (и'(х) 1]. ~о<х<~ ЮМх<~ В случае уравнений с частнымн производными и соответствующих разностных. схем иногда удобно пользоваться довольно замысловатыми нормами, приспособленными для конкретных задач. Перейдем к вопросу о выборе нормы в пространстве Рь которому принадлежит правая часть разностной схемы Е„и'м = )~м. Подчеркнем, что сходимость разностной схемы 11 (и)„— и™ 1(п„- О ори избранной норме 1 ° 11п„не зависит от того, как выбрана норма 11 ° 11„„и выбрана ли эта норма вообще.
Считать Еь линейным нормированным пространством нам приходится только для того, чтобы свести доказательство сходимости и проверку порядка точности разностной схемы к проверке аппроксимации с некоторым порядком и проверку устойчивости. Обсуждение вопроса о выборе нормы в са проведем в предположении линейности разностной схемы Тьц~м=)м~. Это делается лишь для того чтобы избежать громоздкости, не вызванной существом дела. Пусть при каком-нибудь фиксированном выборе нормы 11 11ьц разностная схема l „и'м = 1'"' аппроксимирует задачу ~и = г на решении и с некоторым порядком й" и устойчива. Тогда в силу теоремы о сходимости разностная схема Еьиич =)м> является сходящейся и имеет порядок точности 6»: 11 [и]ь — иич 11п„( СЬ~. Аппроксимация, напомним, означает выполнение неравенства вида 1~ йа (и)л — ~м' 1ф' ( С,й'.
(8) О ВЫБОРЕ НОРМ Устойчивость означает, что задача 7.мч("> =!(">, однозначно раз- решима при любом 1(х> ен гх, причем 11 и(х> !!па~ (Сз 11 1("> 11Р~ ). (9) Если выбрать другую норму !! ° !1„„положив !! ((и> !!и> й !! ((Б> !!и> (10) то, очевидно, неравенства (8) и (9) заменятся соответственно неравенствами !! п(л> !! ~ ! >(л> !!") (11) Таким образом, аппроксимация будет уже не порядка й относительно шага г>, а на единицу более высокого порядка й+ 1. Судя по этому, можно было бы ошибочно заключить, что порядок точности разностной схемы не )>х, а Ьх+(. дело в том, что неравенство (9) уже не означает устойчивости, которая при новом выборе нормы, вообще говоря, теряется.
Если бы мы вместо (1О) ввели норму 11 ° 11('> равенством то вместо (8) и (9) получили бы соответственно (12) (13) Неравенство (13) гарантирует устойчивость, так как Сей можно заменить не зависящей от (> постоянной См лишь усилив неравенство. Неравенство (!2) означает аппроксимацию порядка А — 1 относительно шага >>, Таким образом, при сделанном выборе нормы 11 А !1„ мы (3) а могли бы на основании теоремы о сходимости гарантировать.
лишь (й — 1)-й порядок точности разностной схемы Л„и("> =!(">, на единицу более низкий, чем гарантированный неравенством (7). Утеря информации о порядке точности произошла из-за неудачного выбора нормы в пространстве гм сходимость, дпппоксимация и тстопчивость 1гл. в Чтобы правильно выявить порядок точности разностной схемы, надо так выбрать норму 1[ 11„„, чтобы порядок аппроксимации оказался как можно более высоким, но устойчивость прн этом еше не утерялась.
Для такого выбора нормы 11 11„» нет общего правила *). Более того, не всегда можно выбрать норму так, чтобы имела место и аппроксимация и устойчивость, иначе, вопреки примеру из $9, всякая разностная схема была бы сходящейся. Приведем, однако, одно соображение общего характера, способствующее правильному выбору нормы в линейном пространстве га. При выборе нормы 11 11лз надо учитывать характер непрерывной зависимости решения дифференциальной краевой задачи Еи = [, на основе которой построена разностная схема 3.ди'а' = [<а', от правой части [.
Например, в случае задачи — „" + Аи =ф(х), и(0) = а, 0<х<! при внесении изменений бф(х) и ба в правые части уравнения и граничного условия соответственно решение и(х) изменяется на величину би(х) того же порядка. Рассмотрим теперь разностную схему " +Аи„=ф(х„), а=О, 1, ..., й( — 1, ~ии м = ив=а, так что ф(х„), и =О, 1, ..., йà — 1, [(а) Норму в (уа, как обычно, зададим равенством [иди 11и„— — гпах [и<"' [. Устойчивости можно ожидать только в том случае, если норма 11 Р) 11 (~ф (хп) ~ "л существенно зависит и от ф(х„) и от а.
Например, она может иметь вид [ [<а> 11„„= шах [1а [, гпах 1ф 1). (14) ") Мы имеем в виду и случай разностных схем для уравнений с частными производными. )2! О ВЫБОРЕ НОРМ Устойчивость в этой норме доказана в 5 12, где рассмотрена более общая нелинейная задача. Нельзя ожидать устойчивости, если норма выбрана, скажем, по формуле !!))") )Ри =гпах()г(а ), гпах) )Р )], куда а входит по мере уменьшения )г со все более малым весом.
Устойчивость в смысле этой нормы означала бы более слабую зависимость решения и)") от а, чем зависимость от а решения и дифференциального уравнения. Между тем, при малом гг в силу сходимости (сходимость имела бы место в случае устойчивости, поскольку аппроксимация тоже есть) решение разностного уравнения мало отличается от решения дифференциального уравнения и при изменении начального значения а должно меняться примерно так, как меняется решение и(х).
Более четко: при сделанном выборе нормы задача и"+' ""+Аи =щ а=О, 1, ..., Л/ — 1 в и и~ 3 ио = 0 ! аппраксимирует задачу —" + Аи = гр (х), и (0) = а 2л " +Ви„=гр„, й), ! ио = а, и, — ио Ь ихнею — 2и„+ ии ~ + (!бр для задачи —,, + А — „+ Ви = гр (х), а2ц дц и(0) =а, йц (О) — =Ь г)х на решении и(х) при любом а. Значит, в случае устойчивости функция иги), не зависящая от а, должна была бы сходиться к решению и(х), каково бы ни было заданное а. Но иго) не может сходиться одновременно к разным функциям и(х).
В случае разностной схемы '122 СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ~ГЛ. 5 из тех же соображений норма 1е(х ), 11 [Рм 11~ Ь 1Р„ .должна существенно зависеть от р, а и Ь. Она может иметь вид (16) 11 РА>!1,А =гпах [[а1, 1Ь 1, тах1<р 1[, но нельзя ожидать устойчивости при выборе в качестве нормы .!17'"' 1!РА, скажем, величины 3 Рм11РА = тах [1а[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
