Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ь[Ь 1, тах! <р 1[. Преобразуем схему (15) к несколько иному виду: ил+~ — 2ил+ ил-~ + 1 ил+~ — ил-~ + 8 ь' 2Ь ил Ф л~ (17) Х.ьи~ь~ = и,=а, и, =а+ЬЬ, так что ~р(хл), и = 1, 2, ..., М вЂ” 1, [1и) а а+ ЬЬ. Норму в Гл теперь следует ввести, определив ес для произвольпосо элемента у~и' = а, по формуле типа 118<А'11Є— — тпах[[а1,, гпах!ф 1], (!8) куда [р — а[ входит с возрастающим при Ь вЂ” 0 весом !/Ь. Действительно, изменение а или р на величину Й равносильно из1и, — и,1 менению иь или и~ на величину Ь, но при этом а изменится на величину порядка 1. Последнее, если схема устойчива, повлечет за собой изменение решения уравнения ип+~ — 2ип+ ил-~ ~ л ил+! — ип-1 ~ сз + "и„=~, достхточныи пяизнхк гстоичивости 123 1 и1 ьа величину порядка 1, так как изменение ' а ' на величину 0(1) аналогично изменению правой части условии — =Ь дифференциальной задачи на величину порядка 1.
ни (О) ах Нельзя ожидать устойчивости определив норму по формуле !! 8м> !!р„— — гпах [ !а 1, ! р [ гпах ! ф !], т. е так, как она была определена выше, когда мы пользовались пространством Р» для оснастки разностной схемы (15). Порядок аппроксимации, которым обладают схемы (15) и (17) при нормах (16) и (18) соответственно, для обеих схем одинаков— первый относительно Ь. Устойчивость схем (15) и (17) при нормах (16) и (18) будет доказана в $ 14. $14.
Достаточный признак устойчивости разностных схем решения задачи Коши В этом параграфе мы покажем, как провести исследование устойчивости разностных схем Еьи[ы = )1ю решения дифференциальной задачи с начальными условиями (задачи Коши). Мы сделаем это с помощью рассмотрения характерных примеров разностных схем, приближаюших задачи — "„+ Аи = ~р (х), 0 < х < 1, Еи = и(0) =а, — +Ао+Ва=р(х), 0<х<1, — „„+ Со + 0в = д (х), 0 < х ай,'; 1, о(0) =а, го(0) =Ь, Еивм Е( ) = (2) — „„", +А — „" +Ви=ср(х), 0<х<1, и(0) =а, — = Ь. ии (о) а'х Чтобы понятие устойчивости разностной схемы Е„иео =)("г имело смысл, должны быть определены линейные нормированные пространства Уи и Ры Этим пространствам принадлежат подлежашая приближенному вычислению таблица [и]ь искомого 124 сходимость, лппооксимлция и кстоичивость (гл, 5 решения и дифференциальной задачи, [и]л ~ Ул, и правая часть [<"' еи Рл разностной схемы.
Напомним, что разностная схема 7.ли'л> = ]чл' с линейным оператором 7.л называется устойчивой, если задача Ели!л) = [<М имеет единственное решение ипоон Ул при любом [М! ен гл, причем выполнено условие !]и ][и„~С]][ [!. При решении задачи Коши сеточную функцию иеи обычно вычисляют последовательно, переходя от одной точки разностной сетки к другой, с нею соседней. Если при каждом таком переходе, или, как принято говорить, шаге вычислительного (л) Г (лп процесса, получать оценку роста решения и =[и„], то получим один из наиболее употребительных способов исследования устойчивости. Этот способ мы здесь и изложим.
1. Вводный пример. Начнем с хорошо известной нам простейшей разностной схемы ""+' '" +Аи„=~р„, и = О, 1, ..., Х. — 1, (й = 1/М), 7. и(л! ж ь для решения задачи (1). Эта схема может быть записана в рекуррентной форме: иьм =(1 — Ай)и„+Ьр„, п =О, 1, ..., Л/ — 1, ) (5) из=а. и„= (1 — Ай)" ио + +йь(1 — Ай) 'ро+(1 — Ай)" ~р~+ ... +%,-Д. Определим нормы в пространствах Ил и Рл соответственно ра- венстваа м и ]]и<л1 [! шах ] и~л~ [ о~о~и ]][<л>![„„=)~ р ~) =шах [!а[, шах ]<р„]]. (7) (8) Отсюда следует и, =(1 — Ай)ио+ й%, иг =(1 — Ай)'ио+ й [(1 — А") Чо+%] иг =(1 — Ай)гио+й[(1 — Ай) фо+(! Ай) чг1+Фг] ') (б) достлточнып пэизгглк зстоичивости з н! Воспользуемся теперь тем, что выражение (1 — Ай)" ограничено для и ( Л/ = 1/й, ~ (1 — АЬ)" ! < Сь (9) С помощью неравенства (9) из формулы (6) для и„заключаем: Ввиду произвольности и = О, 1, ..., Лг отсюда следует 1! икч а!и„< 2С~ !! Р"г Ь„> (11) и устойчивость доказана.
2. Каноническая запись разностной схемы. Введем новые обозначения, положив и„= уч йа = (1 — Ай), р„гр„. (12) Тогда равенства (5) запишутся в виде Уа+1 = гг ауп + "Р ув задано. (13) Пользуясь обозначениями (12), повторим все проделанные выше выкладки. Равенства (6) примут вид У1 =науа+ пРа у =)азу.+5[1!ьра+РЛ Уз )гьуо + " [ггара+ ггьР~ + Рз1 (6') У„=К"„У,+И[В„"-'Р,+В„"-'Р,+ ... +Р„,1. Отсюда тах! У„1~гпах)йа~ [!Уа!+Ь1г' гпах)Р„!). Нормы 1 ° !!и„и ! ° !1„„теперь запишутся равенствами !(ирв!! =гпах! У„1, л ! )гм ц,„= шах [ ! Уа 1, гпах ! р„!). (7') (8') ! и„~ (~ С, ! и, ! + /иЧСг гпах ! <р ! =- = С, ! а !+ С, гпах! ф 1(2С, !!)Чю !1„„.
(10) 126 схопимость, »ппгоксим»ция и гстоичивость ~гл, а Тогда, учитывая >Уй = 1, можно написать 1и'"''1п ((гпах ~ Р» ~ 2 17'">1„, . Доказательство устойчивости будет завершено, если будет установлена равномерная относительно й ограниченность совокупности чисел ~)г»~, т. е. оценка ~г»~(С, п=1, 2, ..., Ж !Д»ь!((1 Ай) (~(1+/А!Л) (~е ~ С (9') Но что завершает доказательство. Запись разностной схемы в форме (13) позволила свести доказательство устойчивости к получению оценки для ~ В» 1 Это удобно. Мы и все другие разностные схемы решения задач с начальными условиями будем приводить к каноническому виду (13), понимая под у„, р„и гг'„различные выра>кения, в каждом примере свои.
Запишем, например, в форме (!3) разностную схему "" +Аол+Вш„= рл, п=О, 1, ..., У вЂ” 1, +Сил+Оп>л Чл п=О, 1, ° ° ° ~ Лl — 1 (14) по=а, п>0 Ьв й и<» » приближающую задачу Коши (2) для системы дифференциаль- ных уравнений. Здесь Рл, п=О, 1,..., Ьà — 1, дл, и = О, 1, ..., Ьà — 1, а, )ч») Ь, Запишем разностную схему (14) в форме 1ел+~ 1 1 ел 1 1л>л+,) 1м .1+ (А и) ~лл1 ~рл1 й1=П Е»и'»> =— 12Т достлточныи пРизнАк устОйчиВОсти Э !41 где ~ ) — матрица второго порядка.
Г1ридаднм этому век- УА Вч ~С ВУ' торному разностному уравнению вид рекуррентного соотношения: [ояе4 ] (1 — Ай - Вй) [о„]+ и [Р„] 1 [";.]=['] 1 Если положить то последняя запись прлобретет требуемый вид (13). 3. Устойчивость как ограниченность норм степеней оператора перехода. Сделаем замечание, которое одинаково применимо к уравнениям вида (13) независимо от размерности линейного пространства у, которому принадлежат векторы у„ и р„, и от вида линейного оператора йа: из записи (13) следует зались (6').
Если в пРостРанстве У, котоРомУ пРинадлежат Р„и Уг, введена какая-либо норма ) 11У, то из равенств (6') вытекает оценка ~~у„~!,<~Щ !ануе)у+ВИ)1А '~1у'~И + " +М.— !Л ('б) Напомним, что норкой 1 Т 1 линейного оператора Т, отображающего какое-либо линейное нормированное пространство У в себя, называется число 1Т1= зар нли 11Т1= знР 1Тхй 1 Тх( =т 11 '11 11х)1 4, хеяг Отсюда и из свойств нормы векторов следует: 1 Тх(к,)Т 11 (х 11, 1ХТ1=!Л1 11Т(ь где )ь — любое число, 1т" 3~(т)", Первые два из зтих свойств использованы для получения оценки (15). Из (15), очевидно, вытекает гпах ((у ))„~ гпах ))гф~ Г))уа~ +Лги гпах )р„Д. (16) Пусть разностная схема Гаи)аг = 11аг приведена к каноническому виду (!3), и пусть нормы, введенные в пространствах Г)А, 128 сходимость, »ппеоксим»ция и устончивость Ггл з т), и У, подобраны так, что выполнены неравенства [! иг») !!ц„( (Сз )пах !! у„!!у, 0~»~М !! уз !!) < Сз|! 1 !!у» !!Р„!1,<с,!!1" !1,„.
(17) Тогда для устойчивости !! г») !! „ < С 1 1)") !! „ (18) достаточно, чтобы нормы $!)7» !!„сте)геней операторов )г), были равномерно по Ь ограничены, т. е, чтобы вьгполнялось условие !!й»!!у<с», и=1, 2, ..., М. При этом в качестве числа С, входящего в определение устой- чивости (18), можно взять число С = 2С»Сз.
Доказательство этого утверждения содержится в следующей цепочке очевидных неравенств, написанных с учетом Ы) =.=- 1, условий (17) и (18): И !!ц»а~ с»)пах!!у„!!у~ (Сз )пах)(И»~~с + С ] !!1 ~[у»~( ~(С»Сз [Сз+ С ! !!1)"' !1„, или !! иг) ) !!.„< <С !! 1)») !1„„. 4. Примеры исследования устойчивости. П р и м е р 1. Займемся теперь анализом устойчивости разностной схемы (14) для системы дифференциальных уравнений. Нормы в У» и Е» введем равенствами !! и'») !!ц„= (( ( " 1 ! = )пах [)пах ! ц» [ )пах ! и)„! [, Как мы видели, после введения обозначений У»=~м ~> з)»=( гп 1 Г)Ь)» Р»=~ 1 Уз=[81 р» ~ !! 1)») !! ь =гпах[! а[, ! () 1, )пах! р„1, гпах[4» 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
