Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Пусть собственные векторы Ыо и о!'! матрицы второго порядка ??ь, отвеча!ощис собственным значениям Л! и Лз соответственно, ??и" О = Л|он!. ??Ьо!и= Лзо!", при й-ьо стремятся к различным неколлинеарным предельным положениям. Тогда условия 1Лг! < 1+ей, 1Лз1 <! + сй не толька необходимы, !ю и достаточны для оценки вида ~??~а!!< С, л = 1, 2, ..., гУ, если щах(1и!, 1Р!1. доказать. 144 сходимость, лппгоксимлция н хстони<вость !гл.

л $16. Ошибки округления 1. Ошибки в коэффициентах. Если разностная схема (,„~(а~ = ~<а< (1) аппраксимирует задачу <'.и =1 на решении и и устойчива, то имеет место сходимость. Однако задуманная разностная схема никогда не реализуется точно из-за ошибок округления в задании ее коэффициентов и правых частей. Пусть, например, требуется решить задачу и'+Аи=созх, 0<х< <1, и (0) — а по разностной схеме а" +Ли„=созх„, п =О, 1, ..., й< — 1, а ио = а. Значения соз х„, а, А и коэффициент !/Ь задаются с теми или иными ошибками округления. В обшем случае вместо (!) мы имеем дело с разностной схемой <а<+ ( <и ) <а< ~«а+ <ауа> (3) где Л<лЧ.л и А<а<1<а< — погРешности в задании опеРатоРа Ьл и правой части <<л<, вызваннные округлениями.

Для схемы (2) оператор (а<а<1.л имеет вид ~ Л'"' ( — „) (по ы — о„) + (Л'"'А) о„, и = О, 1, ..., й< — 1, (й<а<~ <а< О'"о. Погрешность Л<л<1«о задается формулой ач Л созх„, и=О, 1, ... д< — 1, Л 1 <л< 'а. Здесь <л<а<М вЂ” погрешность, допушенная при задании величины М. Чтобы избежать чисто технических трудностей, ограничимся случаем, когда операторы л.л и Л<а><'.а линейны, а пространство (<а имеет конечную размерность, как в рассмотренной схеме (2).

При этих предположениях исследуем, каковы допустимые ошибки округления и как должна возрастать точность задания раз- 145 ОШГ!БКИ ОКРУГЛЕНИЯ постной схемы по мере измельчения сетки, т. е. при стремлении й к нулю. Т с о р е м а. Если устойчивая разностная схема (1) аппраксимируетт задачу Еи = [ на решении и с некоторым порядком йь! 11 Е„[и]„— [1м 1]та ( сйь, то при условиях (4) разностная схема (3) тоже аппраксимирует задачу Еи = )' с по. рядком п1' и тоже устойчива.

Таким образом, при условиях (4) порядок точности разностной схемы (3), по которой фактически производится счет, есть Ь" и совпадает с порядком точности задуманной разностной схемы (1). В предположении, что норма ][ []ц„ выбрана в соответствии с условием (4) из $13, т. е так, что 1пп 11 [и]ь]]ць = ][и]]ц и-уо величина 11[и]ь]]ць остается ограниченной при й — О, 11[и]„1]ц ( ~ (Р < ОО.

Обозначим ь-и!М ь, и1и1+ толь, Хи!~! 11М 11М+ 1МГ1М и убедимся, что схема Е„и1м=]1м имеет порядок аппроксима- ции Ьь. В самом деле, имеем М.[и]. — [!"1]~е„= [] Е. [и]. — [на+(б!"1Е.[и]. — й'"'['"')![,„< ~ ~ей~ + с1РЬ~ + сей" ( сй". Для доказательства теоремы нам будет полезна следую1цая известная Л ем ма. Пусть А и  — два линейных оператора, отображающих некотороеконечномерноелинейное нормированное пространство Х в другое линейное нормированное пространство 6, Пусть, далее, при произвольном д~ 6 существует решение х ен Х уравнения Ах=и, 146 сходимость, Апппоксимкция и устопчивость [ГЛ.

$ причем (5) !!х!!х ~<с!!д!!о, а также при любом х е:- Х выполнено неравенство (6) !! Вх !!о < — !! х !!», где с ) О, О < у < [, с и у — некоторые числа. Тогда уравнение (А+ В)х= д имеет единственное решение при любом де= 6 и выполнено неравенство !!х!! < 1 ч (д!!о. (7) До к аз а тел ьств о. Заметим, что Х и 6 имеют одинаковую размерность, так как иначе не при всяком дан 6 была бы разрешима задача Ах = д.

Далее, если ха — какое-нибудь решение уравнения (А + В) ха = д, то Лх, = д — Вхы хо=А д — А 'Вхо где А 'д и А 'Вх, — решения уравнений Лх = д и Ах = Вх,, !!хо!!Х<!!А 'д!!х+1!А '(Вха)!!Х<~ < с ! д !!о + с ! Вх, ! < с ! д !!о + с — '[ !! х, !!». Отсюда ! ! х ! ! х < 1 1 д ! ! о Из последнего неравенства следует, что при д = О существует только тривиальное решение ха = О уравнения (Л + В)х = д, а значит, существует единственное решение при произвольном д ен 6, и справедли з оценка (7). Доказательство теорем ы. Воспользуемся леммой и примем за операторы А и В соответственно Т.А и Л[АЧ.А. Существование решения задачи Ах = д и оцснка (5) равносильны предположению устойчивости схемы (!).

Оценка (5) имеет ме- !47 о!ПИБ!н! о!(Руглгния з м! сто в силу (4) при любом положительном д, если только Ь достаточно мало. Разрешимость уравнения (А + В)х = д при любом д ев 6 и оценка (7) в точности равносильны факту устойчивости разностной схемы (3). Отметим, что ограничения (4) на ошибки округления при задании устойчивой разностной схемы являются вполне разумными: если, уменьшая /ц мы хотим получить ответ с точностью до /!», т, е, с числом десятичных знаков порядка 1п(1/л), то и коэффициенты разностной схемы надо задавать все более точно, увеличивая число знаков, с которыми они задаются, тоже со скоростью возрастания величины !п(1/й).

Такое возрастание обычно вполне реализуемо, так как 1п(1/й) — медленно растущая функция. Если уменьшать шаги, не увеличивая числа десятичных знаков, с которыми заданы коэффициенты и правые части, то никакого повышения точности не получится. 2. Ошибки в вычислениях. После того как разностная схема задана, нужно еше вычислить ее решение и!»!. Предположим, что разностные уравнения мы умеем решать точно. Тогда, если применяемая разностная схема аппроксимирует дифференциальное уравнение и устойчива, то при достаточно мелком шаге решение иг»! мало отличается от искомого точного решения [и)».

При этом совершенно безразличен тот порядок действий (алгоритм), который используется для вычисления им!, так как ответ не зависит от порядка действий. Но в действительности, избрав какой-нибудь алгоритм для вычисления решения им), мы на каждом шаге осуществления этого алгоритма допускаем ошибки округления, которые оказывают влияние на результаты, получаемые на последуюших шагах вычислений. Прн фиксированном /г и конечномерном пространстве (/» алгорг!ты состоит из конечной последовательности арифметических действий. Результат каждого арифметического действия (вычисление суммы, разности, произведсния или частного) непрерывным образом зависит от величин, над которыми это действие осуществляется.

Поэтому, ведя вычисления с «достаточно большим» числом десятичных знаков, мы можем вычислить иа! с любым наперед заданным числом десятичных знаков. Число запасных десятичных знаков, с которым ведутся вычисления для получения и!»! с заданным числом знаком, зависит и от избранного алгоритма и от й. Так, например, в $ 7 показано, что при решении прогонкой хорошо обусловленной краевой задачи число запасных десятичных знаков вовсе не возрастает при й- О. Иногда, казалось бы, разумные алгоритмы для решения устойчивых задач могут требовать быстро возрастающего числа запасных десятичных знаков, пропорционального 148 сходпмость, лппиоксиммзия и устойчивость !Гл.

3 1/Ь. Пример такого алгоритма приведен в п. 2 З 5. С уменьшением Ь это число, вообще говоря, должно возрастать. Алгоритмы, в которых это число возрастает слишком быстро, считаются неустойчивыми и практически непригодны для счета. Вопрос об исследовании устойчивости алгоритмов сложный. Примером такого исследования является обоснование прогонки 5 7). Но в простейших случаях удается понять, каково требуемое число запасных десятичных знаков, опираясь лишь на сведения об устойчивости разностной схемы и доказанную в п. 1 теорему о возможности задавать разностную схему приближенно.

Пусть, например, мы ведем вычисления по разностной схеме и !х+и) — и" 1х) 1 А ь)( ) /ри(х) Ь 11аходя иеи(х+ Ь) по рекуррентной формуле ири(х+ Ь) = ион(х) (1 — Ай) + й/'м(х) и ведя расчет с конечным числом десятичных знаков, можем допустить в иии(х+ й) некоторую ошибку 6.

Удобно считать, что ошибка допущена не в значении и(М(х+ й), а в использованной правой части /П>(х), т. е, считать, что мы игю(х+Ь) вычислили точно, но вместо /п>(х) использовали величину /еа(х)+ 6/х. Так как такие ошибки совершаются во всех точках х, то величину 6 следует считать зависящей от х, так что 6 = 6(х).

Характеристики

Список файлов книги