Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Поэтому метод стрельбы при решении задачи (!'), будучи формально приемлемой процедурой, при больших а становится практически непригодным. Это перекликается с соображениями п. 2 $5, где был приведен пример вычислительно неустойчивого алгоритма для решения разностной краевой задачи. 2. Метод прогонки.
Для решения краевой задачи у" — р (х) у = 1(х), 0 ~ (х ~ (1, у(0)=г,, у(П=У, при р(х)» 1 можно воспользоваться разностной схемой ' — р(х )у =)(х„), ь' 0(ог(М, МА=1, Уа=ра Ум=»~ и решать разностную задачу прогонкой. Условия применимости прогонки при р(х)) О, как легко проверит читатель, выполнены.
3. Метод Ньютона. Метод стрельбы при решении хорошо поставленой краевой задачи может оказаться, как мы видели, неприменимым из-за вычислительной неустойчивости. Но метод прогонки, даже формально, можно применять только для решения линейных задач. Метод Ньютона сводит решение нелинейной задачи к серии линейных задач и состоит в следующем. Пусть известна некоторая функция уо(х), удовлетворяющая граничным условиям (1) и грубо приближенно равная искомому решению у(х). Положим у (х) =- у, (х) + о (х), (5) где о(х) — поправка к нулевому приближению уа(х). Подставим (5) в уравнение (1) и линеаризуем задачу, используя равенства у" (х) =у,"(х)+о" (х), )(х, у,+о, у +о)= Рт Отбрасывая остаточный член 0(о'+ ~о'!'), получим линейную задачу для поправки б(х): о" = р (х) б' + о (х) О + ~р (х), б (0) = О (1) = О, (6) употРевительные РАзностные схемы 1то где Решая линейную задачу (6) аналитически или каким-либо численным методом, найдем приближенно поправку б и примем р — = у,(х)+ о за следуюшее приближение.
Описанная процедура может применяться к нелинейной разностиой краевой задаче, возникшей при аппроксимации задачи (1). ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Выше, в связи с разностными схемами для обыкновенных дифференциальных уравнений, мы определили понятия сходи- мости, аппроксимации и устойчивости. Мы доказали теорему о том, что если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную задачу и устойчива, то при измельчении сетки решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной. В этой теореме содержится указание на способы построения сходящихся разностных схем для численного решения дифференциальных краевых задач: надо строить аппроксимирующие разностные схемы и выбирать среди них устойчивые.
Определения сходимости, аппроксимации и устойчивости и теорема о связи между этими понятиями носят общий характер. Они одинаково имеют смысл для любых функциональных уравнений. Мы иллюстрировали их примерами разностиых схем для обыкновенных дифференциальных уравнений и для интегрального уравнения.
Здесь мы проиллюстрируем некоторые основные способы построения разностных схем и проверки их устойчивости примерами разиостных схем для уравнений с частными производнымн. При этом обнаружится много важных и существенно новых по сравнению со случаем обыкновенных дифференциальных уравнений обстоятельств. Главные из них: разнообразие сеток и способов аппроксимации, неустойчивость большинства взятых наудачу аппроксимирующих схем, сложность исследования устойчивости и трудности вычисления решений разностных краевых задач, требующие специальных усилий для их преодоления. ГЛАВА 7 ПРОСТЕИШИЕ ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В 21.
Напоминание и иллюстрация основных определений 1. Определение сходимости. Пусть требуется приближенно вычислить решение и дифференциальной краевой задачи Ь (1) пюгвмы постгоения вхзностных схем >гл. т 172 поставленной в некоторой области 0 с границей 1'.
Для этого следует выбрать дискретное множество точек 0и — сетку,— принадлежащее О+ Г, ввести линейное нормированное пространство Уи функций, определенных на сетке 0м установить соответствие между решением и и функцией [и]и си Ом которую будем считать искомой таблицей решения и. Для приближенного отыскания таблицы [и]м которую мы условились считать точным решением задачи (1), надо на основе задачи (1) составить такую систему уравнений (2) относительно функции иы> из Ум чтобы имела место сходимость !! [п]и — и>" > []ои 0 при й О.
(з) Если для решения разностной краевой задачи (2) выполнено неравенство ]! [и]„— и>и> [[>и ~ (С>>', то говорят, что сходимость имеет порядок й относительно 7>. Задачу построения сходящейся разностной схемы (2) разбивают на две — на построение разностной схемы (2), аппроксимирующей задачу (1) на решении и последней, и на проверку устойчивости схемы (2). 2. Определение аппроксимации. Напомним определение аппроксимации. Чтобы это понятие имело смысл, надо ввести норму в пространстве Ем которому принадлежит правая часть [>ю уравнения (2).
По определению, разностная задача (2) аппроксимирует задачу (1) на решении и, если в равенстве С, [,]„= [ м+ б[~м невязка б)м>, возникающая при подстановке [и]„в разности>ю краевую задачу (2), стремится к нулю при й- 0: !! Ч'и ][и„= !! Е» [н]и — 1® ][и„О Если ]! б[» []г„< Сйи, ди ди — — — =>р(х 1) Ш дх и (к, 0) = ф (х), — оо < х< оо, 0~1(Т, ] (4) — оо ( к ( оо, где С не зависит от и, то аппроксимация имеет порядок й относительно Й. Построим, например, для задачи Коши НЛПОМИНАНИЕ ОСНОВНЬ!Х ОПРЕДЕЛЕНИИ 173 одну из аппроксимирующих се разностных схем.
Задача (4) записывается в форме (1), если положить ди ди / д! дх ' — — — — со <х< со, 0~(~(Т, и (х, 0), — со < х < оо, г]г(х, (), — оо <х . со, 0((~(Т. Ф(), — « В качестве сетки /]л (рис. 8) используем совокупность точск пересечения прямых х=пгlг, (=!гт, т=О, =Ь1, ...; п=О, 1...,, [Т/с[, где Ь ) О, т ) 0 — некоторые числа, а [Т/т) — целая часть дроби Т/т. Будем считать, что шаг т связан с шагом й зависимостью Рис, 8. ди [ и (х, г + т] — и (х, (1 дг 1х,! ди [ и (х + Л, Π— и (х, г] дх [х,! Ь (4') Эта схема имеет вид и-1-1 и и и им — ит ии!г-! — и„, — — — гр (тй, ), т=О, ~1, ...; П=О, 1, ..., [Т/т) — (, и" = ф (тй), т = О, -Р 1, ...
(5) т = гй, где г = сопз(, так что сетка 01, зависит только от одного параметра /г. Искомой сеточной функцией является таблица [и)л = [!1(пгй, пт)) значений решения и(х, () задачи (4) в точках сетки л]л. Перейдем к построению аппроксимирующей задачу (4) разностной схемы (2). Значения сеточной функции и" в точке (хи„ /„)=(пг/г, пт) сетки л л будем обозначать и" . Схему (2) получим, приблизив производные ди/д/ и ди/дх разностными отношениями 174 ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ !Гл.
т Оператор Тл и правая часть )Тл! для схемы (5) задаются соот- ветственно равенствами л+! н "!н "и! и и ч а т = О, ~ 1, ...; п =О, 1, ..., (Т(т) — 1, т=О, ~1, ..., Т. и!л! =— и, е т=О, 3-1, ...; п=О, 1, ..., (Тф — 1, т = О, +. 1, ... ср(тй, пт), чр (тй), ю Таким образом, 1<л! — это пара сеточных функций !р(тй, пт) и тр(тй), одна из которых задана на двумерной сетке (х, 1„)=(тй, пт), т=о, ~1, ...; п=о, 1, ..., (Т(т) — 1 (см. рис. 8), а другая — на одномерной (х, 0)=(тй, 0), гп=О, 1, Разностное уравнение (4) можно разрешить относительно и"+', получив и"+' = (1 — г) и" + ги" +, + т!р(тй, пт).
(6) 1 д!л! 11 = гпах1!р" ) + птах ) ф 1*). ги, и П3 Как уже отмечалось в З 13, норма, в которой рассматривается аппроксимация, может быть выбрана многими способами и ьыбор этот небезразличен. Пока нам будет достаточно в каче- *) Если снах(!р" ( нли гнах1!р 1 не достигается, то имеется в виду точная верхняя грань внр ~ 4' ! или внр) !р!в( Итак, зная значения и", т = О, -+-1, ..., решения и(м в точках сетки при 1 = пт, можно вычислить значения и"+' в точках сетки при 1= (и+ 1)т. Поскольку значения и'„при 1= 0 заданы равенствами и' = тр(тй), мы можем шаг за шагом вычислить значения решения и!"! в точках сетки на прямых г = 2т и т.
д., т. е. всюду на 0л. Перейдем к выяснению порядка аппроксимации, которым обладает схема (5). За гл можно принять линейное пространство / и всех пар ограниченных функций д!л! = ~ м ), положив ')Лн нлпоминлние основных опгадялании 175 % 21! где я и г) — некоторые числа, зависящие от иг, творяюшие неравенствам 0 < в < Л, 0 < г) ( т. С помощью формул (7) выражение и(хт 1»+т) — и(хт 1») и(х~п+ Л, г-л Ил = и (х , 0) и и й и удовле- 1»1 — и (хм, 1») можно переписать в виде ( ди ди ~ т д»и (х»и 1»+ Ч) \дг дхгх,г„2 дм и(х, 0)+ 0 Л д'и (х»+ $ 1») или Бл Ил = 1(") + б((") где т д'и (х»» 1„+ Ч) Л д'и (хм+ а, 1„) б(глг 2 дгл 2 дх' О.
Следовательно ~~Ч Ьл(( р(д,"~. 2+ацр~ф(. ')Л Таким образом, рассматриваемая разностная схема (б) имеет первый порядок аппроксимации относительно Ь на решении и(х, 1), обладающем ограниченными вторыми производными. 3. Определение устойчивости. Напомним и проиллюстрируем теперь определение устойчивости. Разностная краевая задача (2), по определению, устойчива, если существуют числа б ) 0 и Ьи ) 0 такие, что при любом Ь ( Лл и любом б(ел) из Рл, удовлетвоРЯющем неРавенствУ ~! б)глг)(г„< б, РазностнаЯ кРаеваЯ задача г (л) 1(л) + бг(л) стае нормы брать верхнюю грань модулей всех компонент, образующих элемент и(л) пространства гл. Будем иметь в виду всюду в этом параграфе именно такую норму. Предположим, что решение и(х, 1) задачи (4) имеет ограниченные вторые производные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
