Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Тогда по формуле Тейлора и (х + Л, 1„) — и (х»и 1„) ди(хт, 1») Л дги (х + а, 1„) л дх 2 дх' и (хт 1»+ т) — и (хт 1») ди (хт 1») 'г дбг (х»» 1» + Ч) (7) т д( 2 дп пРиемы постРошгия Рлзпостиых схем ггл. т имеет одно и только одно решение, причем выполняется условие 11 з!м — и! ),ь ~ С1 б~!м 11Рге где С вЂ” некоторая постоянная, не зависящая от Ь. В $ 12, где введено понятие устойчивости, показано, что в случае линейного оператора Е„ сформулированное определение равносильно следующему. Определение. Разностная краевая задача (2) устойчива, если существует йь ) О такое, что при Ь < йа и любом 1гм е= Рь она однозначно разрешима, причем 11 иич !(и„< С!11!м 11Р, где С вЂ” некоторая постоянная, не зависящая от Ь и от 1!Ы.
Свойство устойчивости можно трактовать как равномерную относительно Ь чувствительность решения разностной краевой задачи (2) к возмущениям б!!"! правой части. Подчеркнем, что в силу приведенного определения устойчивость есть некоторое внутреннее свойство разностной краевой задачи. Оно формулируется независимо от какой-либо связи с дифференциальной краевой задачей, в частности независимо от аппроксимации или сходимости..
Однако если разностная краевая задача аппраксимирует на решении и дифференциальную и устойчива, то имеет место сходимость (3). )гри этом порядок относительно I! скорости сходи- мости совпадает с порядкол! аппроксимации. Доказательство этой важной теоремы проведено в $ 12. Покажем, что разностная схема (5) при г < 1 устойчива. При этом норму 11 ° 1)о, определим равенством 11 и!"1//и — — знр 1)и" 11 = гпах ацр)ил !. ий,л л т н орму ! ° 11г„будем понимать, как выше: если угм ~ Р„, !м гр", т=О, -~1, ...; П=О, 1, ..., (Т)т), т=О, ~1,..., то 11д!ь!11Р = гпах~~" 1+ гпах!ф ) =гпах(шах!!р" !+ гпах!ф )].
Разностную задачу И,„— и,л л+! л лл "л!+ ! пт= О, =Ь 1, л (5') и'! = — Ч1, лг пФ' 1тт нлпоминхнив основных опввделгнин % и1 которая отличается от задачи (5) только тем, что ~р" и ф произвольные правые части, вообще говоря, не совпадающие с гр(тй, ит) и ф(тй), перепишем в форме и~+1 = (! — г) ип + гис + тфи и~ =ф (6') Поскольку г ( 1, то 1 — г ) О. В этом случае справедлива оценка ](1 — г)и~ +ги" ]([(1 — г)-1-г] гпах()и" ], ]и" +,]) = = гп а х ( ] и" ], ] и", ] ) ( ш а х ] и".
]. Используя эту оценку, выводим из (6') неравенство ' ]ил+1] (гпах]иа ]+ т гпах]<р" ](~ гпах]и" ] =т гпах)(рл ] (6 ) Отметим, что в случае у" = — 0 из неравенства (6") следует, что гпах]и" ! не возрастает с ростом и. Отмеченное свойство разностной схемы принято называть принципом максимуиа. Для краткости будем иногда пользоваться этим названием для всего неравенства ]и"+'] (гпах)и" ] + т гпах]~р" ] ПФ па в Правая часть этого неравенства не зависит от т, так что в левой части вместо ]и,"„+'] можно написать гпах]и"+'], получив гп неравенство гпах]и""'] ( пзах]и" ] + т гпах!~р" ].
Аналогично получаем неравенства гп ах ] и" ] ( гп ах ! и" ' ] + т шах ] ~р"„], ш О3 ПЦ И гп ах ! и' ] ( гп ах ] и' ] + т гп ах ] ~р" ]. 3И ш, л шах]и"е'](гпах]и' ]+(и+ 1) тгпах] ~р" ]. /И П1 т, л После почленного сложения этих неравенств и приведения по- добных членов получим 178 ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РЛЗНОСТНЫХ СХЕМ !Гл.
т Отсюда непосредственно следует гпах~и"+')(гпах~ф ~+Тгпах!ф" !( л| Ш л\, л (11 !!„,+Т)) !1,л=(!+Т)!1 11,„. Доказанное неравенство гпах ~ ил+ ~ ~ ( (1 + Т) 1 ) ~ и~ !1 т имеет место для всех п, так что оно останется справедливым, если вместо гпах ~ и"+' ! написать гпах гпах!нл )=1!и<л!,'1„: ~И л т !!н~ >!) л(П+ Т)1~"'Ьл. (9) Неравенство (9) означает устойчивость линейной задачи (5), поскольку существование и единственность решения задачи (6') при произвольных ограниченных ф,"„ и ф , очевидно, имеют место. Роль постоянной С в неравенстве (8) играет здесь число 1+ Т.
Не следует думать, что одна только аппроксимация дифференциальной краевой задачи (1) разностной краевой задачей (2) обеспечивает устойчивость и, следовательно, сходимость (3). Мы убедились в этом в $9 с помощью специально сконструированного примера аппроксимирующей, но расходящейся разностной схемы. В случае уравнений с частными производными непригодность наудачу взятой аппроксимирующей разностной схемы является правилом, а выбор устойчивой (и, следовательно, сходящейся) разностной схемы — постоянной заботой вычислителя.
Напомним, например, что доказательство устойчивости разностной схемы (5) мы провели в предположении, что т/й=г(1. В случае г ) 1 разностная задача (5) по-прежнему аппроксимирует задачу (4), но наше доказательство устойчивости не проходит. Покажем, что в этом случае нет сходнмости решения и~л> разностной задачи (5) к решению и(х, !) дифференциальной задачи (4), а значит, не может быть и устойчивости, так как устойчивость влечет за собою сходимость. Пусть, для определенности, ф(х, 1) = О, так что также ф(тй, пт) — = О; пусть, далее, Т = 1. Шаг й будем выбирать так, чтобы точка (О, 1) на плоскости ОкГ принадлежала сетке, т.
е. чтобы число 1 ! т гв было целым (рис. 9). В силу разностного уравнения имеем ила=(! — г)нл +гнл л1 О~ ~л+ 1 НАПОЛ1ИНАНИЕ ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИИ й зи !79 Значение и"+' =и" решения и!"1 в точке (О, 1) сетки выра- и 0 жается через значения и," и ии решения в точках (О, 1 — т) и (11, 1 — т) сетки. Два значения и„" и и", выражаются через зна- чения и,", ', и",-' и и,"-' решения в трех точках сетки (О, 1 — 2т), (й, 1 — 2т) и (2!1, 1 — 2т). Значения решения и„" ', и" ,', и,"-' в свою очередь выражаются- через значения решения в четырех точках (О, 1 — Зт), (!1, 1 — Зт), (211, 1 — Зт), (Зй, 1 — Зт) и т.д.
В конечном счете значение и"+' выражается через значения и',„Го у) решения в точках сетки (О, 0), (Й, О), (26, 0), ., (Й!т, 0) = = (Л1!1,0). Все эти точки лежат на отрезке а ! 0(~х(~ — =— т Г прямой ! = 0 (см. рис. 9), где задано начальное условие и (х, 0) = ф (х) для дифференциального уравне- !лис. 9. ния. Таким образом, решение разностного уравнения в точке (О, 1) сетки не зависит от значений функции ф(х) в точках х, лежащих вне отрезка О ( (х ( (— .
Далее, решением задачи ди ди — — — =0 д! дх — оо<х<оо, г>0 — оо ( х ( оо, и(х, 0) =ф(х), как легко проверить, является функция и (х, 1) = л) (х + !). 0~(ха~ — (1 Г Она постоянна на каждой характеристике х+ ! = сопя! и, в частности, на прямой х + ! = 1, которая проходит через точки (О, 1) и (1, 0) (см. рис. 9), и в точке (О, 1) принимает значение ф(1). Отсюда видно, что в случае Г ) 1 сходимости, вообше говоря, быть не может. Действительно, в атом случае отрезок оси абсцисс !во ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1Гл.
7 не содержит точку (1, 0). Если бы при какой-нибудь функции 1р(х) сходимость, случайно, имела место, то, не меняя значения ф(х) на отрезке О~х(— ! и че меняя, таким образом, значения решения разностного уравнения в точке (О, !), Мы могли бы нарушить сходимость, изменив ф(х) в точке х = 1 и ее окрестности, что отразилось бы па значении и(0, 1) = 1р(1) решения дифференциального уравнения. Изменение ф(х) в точке х = 1 и ее окрсстности можно внести так, чтобы не нарушить существования вторых производных функции ф(х) и решения и(х, 1) = 1р(х+1), так что аппроксимация на решении и(х, 1) будет иметь место. В этих условиях из устойчивости схемы (5) вытекала бы сходимость. Но поскольку прп г ) 1 нет сходимости, то нет и устойчивости. Проведенное доказательство неустойчивости разиостной схемы (5) носит косвенный характер.
Интересно проследить непосредственно, как сказывается неустойчивость при г ) 1 разностной схемы (5) на чувствительности решения и!"! к ошибкам при задании )1л1. Ведь именно равномерная относительно 17 чувствительность решения к ошибкам при задании 11л1 и определена вын1е как устойчивость. Допустим, что при всех й выполняются тождества ТР(тй, пт) — = 0 и ф(77!и) = — О, так что л ) 1л1 = ( 'Рл ) = О 7!Ьл и решение иии =- (и,"„) задачи (5) есть тождественный нуль, и" ===О. Допустим, далее, что при задании начальных данных допущена ошибка и вместо фм = 0 задано 1)ь, =( — 1)'"е, е = = соне!, так что вместо задано = е. Будем обозначать получавШееся при этом решение через й1Ы.
В силу уравнений ил+! — (! 7) йл + гил л1 П$ м+ н и' =( — 1) е !в! нлпоминлние основных опяаделенип зги для й' получим й' =(1 — г)й" + гй" 333 а и+! =(1 — г)( — !) а+г( — 1) +'е=(! — 2г)( — 1) е=(1 — 2г)й~,. Мы видим, что допугценная при и = О ошибка умножилась на число (1 — 2г). При переходе к й' получим йг = (! — г) й' + гй' ~, =(1 — 2г) й' =(1 — 2г)'й' Вообще йи (! 2г) йо (! — 2г) ( — 1) е. При г ) 1 будет 1 — 2г ( — 1, так что ошибка й,'„= ( — 1) е при переходе от одного слоя ! = пт сетки к следующему умножается на отрицательное число, превосходящее единицу по модУлю.
ПРи и = (Т!т) будет (йя (=!1 2г1~™1~йО Отсюда !!й!лг!! ! 1 2г 1~п~'"и )йа ! ! ! 2г. 1~ гкл' гпах !ф 2, !гл м!~~р~>'~ При фиксированном Т первоначально допущенная в начальных данных ошибка ( — 1) е увеличивается в очень быстро возрастающее при гг — О число раз, равное )! — 2г !' ю ". Остановимся теперь кратко на критике принятого нами способа оценки качества аппроксимации сравнением величины ноРмы невЯзки(~61'л'!!гл с той или иной степенью Ь. Как мы знаем, для устойчивых схем порядок аппроксимации совпадает с порядком погрешности (и]л — цсн в решении.
Качество схемы естественно оценивать по количеству вычислительной работы, необходимой для получения заданной точности. Количество же работы, вообще говоря, пропорционально числу точек й! использованной разностной сетки. Для обыкновенных дифференциальных уравнений Л! пропорционально шагу Ь. Поэтому, когда мы говорим, что погрешность е = !гя, мы тем самым утверждаем, что е =!/гУя, те. что уменьшение погрешности вдвое требует увеличения работы в ~/2 раз. Таким образом, в случае обыкновенных разностных уравнений порядок аппроксимации относительно А характеризует объем работы. Для уравнений с частными производными, дело обстоит уже не так. В рассмотренном нами примере задачи с двумя. 182 ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ )гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
