Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пятиточечный шаблон, отвечающий использованному разностному уравнению, изображен на рис. 12,б. Разностные схемы, построенные выше, получались путем замены каждой производной в дифференциальном уравнении тем или иным разностным отношением. $221 ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮШИХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 191 2. Метод неопределенных коэффициентов. Более обший способ построения разностных схем состоит в том, что приближается не каждая производная в отдельности, а сразу весь дифференциальный оператор. Разъясним этот способ на примерах разностных схем для задачи Коши (4).
Сначала рассмотрим схему первого порядка аппроксимации (5). Она связывает значения искомой функции в трех точках, изображенных на рис. !О слева. Разностное уравнение ил+1 лл Л и'"'— А используемое в этой схеме, имеет вид Лои!А!в = аоиль'+ а,и" + а,ил, =<р(пй, пт). Забудем на время, что нам уже известна разностная схема (5), для которой ! 1 1 1 а= —, а= — — —, п,=— о о=а г' ' А ° и, считая эти коэффициенты неопределенными, постараемся по- добрать их так, чтобы имело место равенство Л» [и[А 1„=, = ( д — дат ) ~, А + О (!2) или Лл Ил [л=то, Ли [, та + О (Ь), 1-лл где ди дл Ли = — — — —. д! дх' Воспользуемся формулой Тейлора: и [тй, (и + 1) т] = и (тй, пт) + т и, (тп, пт) + О (то), и[(по+ 1)6, пт[ =и(Т2й, пт)+ пи'„(тй, пт)+ О(1!2), Подставив эти выражения в правую часть равенства ЛА [и[А 1„„= — аои[!ПЬ, (и+1) т) + аои(пй, пт) + а!и[(г!2+1) Уг, г!Т[ ! лл получим ЛА [и)„[„„= (а'+ ао + а!) и (та!, пт) + ! лт о, дл(та лт) ! й дл(та лт! +О( о 2 12) 11Риемы постРОессия Розиостиых схем сгл.
с Поскольку нашей целью является такой подбор коэффициентов ао, и,, ас, чтобы выполнялось условие аппроксимации (6), то естественно предварительно так сгруппировать слагаемые в правой части равенства (8), чтобы выделился член (7). Тогда остальные слагаемые образуют остаточный член аппроксимации, который должен быть мал. Чтобы выделить член Ли, можно заменить в правой части равенства (8) производные ди/д/ или ди/дх соответственно по одной из формул: ди ди ди ди — — = Ли+= или — = —. — Ли.
д! дх дх дС Для определенности воспользуемся первой из них. Кроме того, подчиним шаги т и Ь связи т = гЬ, где г— какая-нибудь постоянная. После этого равенство (8) примет следующий вид: Л„[и)„[„„= а'гЬЛи [„„+ (ао+ Ьо+ а,) и(тЬ, пт) + с .ссл с-лс ' + (аог+а ) Ьи„(тй, пт)+ 0(аогойс, а Ь').
(9) Среди всех гладких функций и(х, /) можно указать такие, для которых и, ди/дх и ди/д/ в любой заранее заданной фиксированной точке принимают любые независимые друг от друга значения. Следовательно, и значения ди ди ди и, — и Ли= — — — =ср(х, с) дх дС дх также можно считать независимыми друг от друга. Ввиду этого из равенства (9) следует, что для выполнения при любой правой части ср(х, /) задачи (4) условия аппроксимации Лл [и)и[, и — — (Ли), „„+ 0(Ь) С=л.с С лс необходимо, чтобы выполнялись равенства аогй = 1 + О, (Ь), ао+ ао+ а, = О+ 0,(Ь), (аог+ ас) Ь = О+ Оэ(Ь) где 01(Ь), Ос(Ь), Оо(") — какие-нибудь произвольные величины порядка Ь.
Положим О, (Ь) = Ос(Ь) = Оо(Ь) = О. Получающаяся при этом система аогЬ =! а'+а +а, =О, аог+а, =О я Я ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮШИХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ !93 имеет единственное решение 1 1 ал га т' г — 1 1 1 о— 1 а,= — —, з' которое приводит к уже известной схеме (5). Теперь мы, однако, дополнительно узнали, что среди разностных схем вида а'ил+'+ а и" + а,и", = ф(т)г, пт), ), !майЂ л = иа $(щл) н она является единственной, аппроксимирующей рассматривае- мую задачу Коши.
Говоря о единственности, мы пренебрегаем тем произволом, который вносит свобода выбора функций 01(Ь), Ол(й), Оз(й). Всюду в дальнейших °вЂ” Фл е/гг,) пРимеРах мы также бУдем пРене- ° 7 а),)л брегать подобного рода очевидным произволом и даже не всегда будем Рис. 13. вводить произвольные величины, аналогичные величинам О, (й), 0,(й), 0,(г1), с самого начала полагая их равными нулю. Читатель без труда убедится, что в рассмотренном сейчас примере учет этих величин привел бы к следующему несуше- ствсииому изменению результата: а'= л ~-, + 0(й)~.
а, = Я + О (и!)~, а = „( — ! + 0(й)1. 1 Аналогично будет обстоять дело и в других примерах, которые иам встретятся. Посмотрим теперь, как можно строить для задачи (4) разностные схемы м али'„'г'+ а,и" + а,и" + а,и" = ер(т)г, т). более общего вида, связывающие значения искомой функции в четырех точках, изобрамсенных на рис. !3.
7 С. К. Гаяуиая, В. С, Рябеньииа !94 ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ !Гл. 7 Шаги сетки снова свяжем равенством т = гй, г = сопз1, и введем обозначение ЛА, положив Л„иг "г — а'и" +' + а,и" + а гии, + а,и" (11) Для всякой достаточно гладкой функции и(х, /) с помощью формулы Тейлора можно написать Л„[и]„]„„„= (а'+ а, + а, + а,) и(тй, пт) + + а гйиг(тй, пт) +(а, — а,)йи„(тй, пт)+ — а г~й~игг(тй, пт)+ + — (а, + а,) й'и„„(тй, пт) + 0 (а г'Р, а,йз, а гй ).
(12) ! Выделим в правой части этого равенства член Ли — — — —, ди ди дг дх' воспользовавшись для этого тождеством иг = и„+Ли. Имеем Л„[и]„]„„= а гйЛи ]„„+ (а'+аа+ а, + а г)и(т/г, пт)+ г и'г г=иг + (а'г+ а, — а,)йи,(тй, пт)+ —,ааггйггггг(тй, пт)+ + —, (а, + а г) й'и„„(тй, пт) + О (а'ггйг, а,йз, а,/г').
Если предполагать, что велнчина 0(ааггйз, а,йг, а,й') достаточно мала,— это предположение подтвердится в дальнейшем,— то для выполнения условия аппроксимации (ЛА [и]А)„„„= (Ли),,„„+ 0 (й) необходимо, чтобы четыре числа аа, ам аг, а, удовлетворяли следующим трем равенствам: а'гй= ! + 0,(й) а'+ па+ а, + а, = О + О, (й), (а'г+ а, — а,) lг = О+ 0,(й).
Положим, как условились, произвольные величины 0,(й), 07(й), Ог(й) порядка й равными нулю. Получим систему уравнений а'гй = 1, а'+а,+а, + а, =О, а'г+а, — а, =О. 222] ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮШИХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 195 Если условия 13 выполнены, то ЛА (и)Л 1,- А, = Ли 1„А + — алГаййим (тй, Пт) + о 2-лл 2 лл + 2 (й1+й-~) й'иял(т/2, Пт)+ 0(й Г'Ь', й,йа, й .,6 ).
Система (13) имеет много решений — семейство решений, зави- сящее от одного параметра. Одно из этих решений: аа 1 ТИ дает уже рассмотренную схему (5). Решению О 1 1 ! 1 О= гл — ел соответствует схема л+! л л л и,„— и,л ил,+2 — и — — ~р(ой, ит), и" =лр(тй). Выбрав какое-либо решение системы (13), надо его подставить в остаточный член и убедиться, что он мал.
Для двух сейчас приведенных решений подстановка чисел аа, ал, аь а ~ дает остаточные члены д'и ) и +"-1 йе д'и + О( л з/з /,з /,2) дх' порядка 0(Ь). Среди гладких фузнкций и(х, 1) есть многочлены второй степени, для которых д и/д/2 и д2и/дх2 принимают в любой фиксированной точке любые независимые наперед заданные значения. При этом член 0(а~г~й~, а~й~, а ~Ь'), в который входят третьи производные многочлена и(х,1), обрашается в нуль. Поэтому для того, чтобы остаточный член был порядка Ь, необходимо, чтобы коэффициенты при д2и/д/2 и д2и/дх2 каждый в отдельности были порядка /г.
Поскольку из пе~2вого уравнения (13) имеем аа= 1/(гй), то коэффициент при д и/д/2 есть г/2/2 и порядок остаточного члена всегда не выше первого. Мы установили, что нельзя построить разностную схему вида (! О), которая аппраксимирует задачу ди ди — — — =~р(х, 1). /и — д2 дх и (х, О) = ф (х) =! НРиеаи! пОстРОения РАзыостных Схем !Гл.
7 196 с порядком Ь'. Для увеличения порядка аппроксимации пришлось бы увеличить число точек разностной сетки, используемых в конструируемой схеме. Укажем некоторый способ, позволяющий все же построить разностную скему с аппроксимацией порядка Ь', использующую только четыре указанные точки разностной сетки.
Способ повышения порядка аппроксимации, который мы сейчас изложим с помощью примера, носит общий характер. Оказывается, что можно подобрать коэффициенты а', а 1, а,, а! так, чтобы выполнялось равенство Ла(и)а =ааи(тЬ, (п+ 1) т) + а,и((т — 1)Ь, пт)+ + а,и(тЬ, пт)+ а,и((т+!)Ь, пт) = = ли+ — "Или), +(ли)х)1 „+ О(ьа) = Р„ли1„, + О(ьа), 1=«к 'л где Рл = Е + 2 ( а! + дх ) ' Š— оператор умножения на единицу. Тогда ввиду Ли = = и! — и, = !р(х, 1) разностная схема а "ил+'+ а,ил + а ил + а ил = !р« и' =1)!( Ь) где 1«1 ! П'7)к ма 1 + 2 ! Р1+ Ч'х) !к мм' 1=«к будет аппроксимировать рассматриваемую дифференциальную задачу на решении и(х,1) со вторым порядком относительно Ь. КоэфФициенты а', а 1, а,, а! снова могут быть подобраны методом неопределенных коэффициентов. Они оказываются следующими: а ! 1 7 ! " 1+7 аа= —, а= — — + —, а а,=— га ' " га Ь ' ! 2а ' ' 2Ь Оператор Лп при этом получается таким: Л и!Х1= (ил+! Ип) (Ип ил ) (Ил 2И«+Ип ) к ( м м) 2Ь (, м+! м-1) 2Ь ~«+1 «7 м-1 ' $221 пОЕТРОеиие АППРОксимируюших РАзиОстиых схем 197 методом неопределенных коэффициентов можно ие только подобРать коэффициенты ао, а с, ао, аь пРи котоРых Л» (и)» = а'и (х, с + т) + и, и (х — Ь, ! ) + + а,и(х, ()+ а,и(х+ Ь, !) =Р„Ли+ 0(йя) при выписанном выше операторе Рю но и построить все такие операторы.
Покажем, как это делается. Считая, что Л и!Ю вЂ” а и"+'+ а и" + а ип + а ип » пс — С сп-С О ос н пользуясь формулой Тейлора, получим Л» (и)» )х „,» — — (а'+ а, + а, + а-,) и (спй, пт) + с пт 1 + аогйи (пой, пт) + (а, + а,) Иих (тИ, пт) + — аоггйги (гпй, пт) + + — (а, + а с) й'ихх(гпй, пт) + О (а гзйз, асйз, а,й'). ! гозззз (14) Это яыраскскссе мы сейчас преобразуезс.
Начнем с вывода тождества дги дги — — + (Лц)с + (йи)„ которое высекает нз определения йи: ди ди — — + Ли дс дх Доказательство содержится в цепочке очевидных тождеств: д'ц Г дц з д'ц д — — + Лсс) = — + (Ли) = — — и + (Ли) дР т,ох Ус дхдС с — дх с с— д ом — (их + Ли) + (Ли)с — = ихх + (Ли)с + (Ли)х дх Используя зтя тождества, можно выражение (!4) переписать в следующем эквивалентном виде: Л» (и)» (х» аогй (Ли)п + — а'г'И' [(Ли)с + (Лсс)„]" + С-пт + (ао+ аз+ а, + а с) и(спй, пт) + (аог+ ас — а с) йих (спй, пт) + Г! о, 1 + зс — аогг+ — (а, + а с)~ йгихх(пой пс) + 0(а'г'й', асйз, а сй').
(15) Построим оператор Л», удовлетворяющий условию Л»и = Р»Ли+ О(СР). Члены, содержащие йи, (Ли), (Ли) с, включнм в выражение Рьйи, поскольку ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 198 1гл. т выбор оператора Р»йи в наших руках, Все остальные члены (ао+ а'+ а г+ аг) и(гиИ, пт), (а'г + а, — а,) Иггх (гий, ит), ааг'+а,+а, г ( 0(доггггз дгйз д Из) обязательно войдут слагаемыми в остаточный член равенства йа (и)з = РаЛи + ост. член, Р (х, Г) = и + ио (х — хо) + [(Ли)о + иД (( — ! ) + — ио„(х — хо) + о + ' (и~„+(Ли)~+(Ли)г1(Г !)'+~й +(йи)~](х-хо)(Г (о). Ввиду независимости значений и, и„и»ю йи, (Ли) ь (Ли), при любом выборе оператора Р» для аппроксимации второго порядка необходимо, чтобы каждое в отдельности слагаемое, входящее в остаточный член, было порядка И'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
