Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Эти два значения в свою очередь в силу (7) выражаются через фл(0, 1 — 2т), фл(/г, 1 — 2т) и через три значения или ', ит ', и~ з и т. д. В копечном счете ии выражается через значения ф,(хль / ) в точках 6 лй4 7/ Рис. 17, сетки, отмеченных на рис. 17 крестиками, и через значения и,"=ф,(0), и',=ф,(х,), ..., и" =лр,(х ) функции ф,(х) в точках хм хь ..., хи на оси Ох. Таким образом, 61',~(Р) в этом случае — это множество точек, отмеченных крестиками, а Ом (Р) — это множество точек хм хь, хи на оси Ох.
Ясно, <Л1 что в случае г=т//7) '/з (этот случай не изображен на рисунке) точка В =(1/г, 0) лежит левее точки А = 6„(Р). Г!оэтому существует окрестность точки А, в которую не попадают при а- 0 точки 6~1(Р). Условие Куранта, Фридрихса и Леви нарушено, и сходимостн ожидать нельзя. Лля того чтобы схема (6) могла оказаться сходящейся, необходимо, чтобы г ( '/м Но этого мало. /(Опустим, что г (1, но некоторая точка 1;! характеристики Ал/Р лежит над прямой ВР, как на рис.
!7. Тогда тоже нельзя ожидать сходимости. Значение функции фл(х, /) в точке Я оказывает влияние на значение и(0,!) решения дифференциальной задачи, т. е. Я принадлежит множеству Ов,(Р). Но значение ф,(х,/) в точке 1е' (как и значения фл(х, /)' на всем участке 11Р характеристики) не оказывает влияния на значение и1м(Р) решения разностного 2!5 УСЛОВИЕ КУРАНТА, ФРИДРИХСА И ЛЕВИ ! 1 А гпах !о(Г)! 3 * 3 ' о~!.=- ! (8) и тогда условие Куранта, Фридрихса и Леви выполнено. Покажем, что при условии (8) разностиая схема (6), аппроксимирующая задачу Коши (3), устойчива, и следовательно, сходится.
При этом нормы определим равенствами !!и<М !!ал лттнаХ)И" ), т,л 1/!А!1~„А =ГнаХ! ГРО(Х /,) !+ГнаХ! чР! (Хт) !. ~л, л л| Учитывая, что при условии (8) 1+а(/л)г) )1 — " «-О, О~~/л(~1, из равенства (7) получим (и"~')<[! — " г+ "+ г)гпах(и" !+тшах)гр (х,,/„)!( ~ (гпах ! и" ! + т гпах ~ ф, (х, /л) ! < т т,л < гпах ! и" ! ~ + 2т гпах ! гро (х, /„) ! ( т т,л ~(гпах!ио 1+ (и+!) тгпах)ф,(х, Гл) (( т т,л (гпах!гР!(х ) ~+1 гпах~!Ро(х, /,) ) =!!/(А)!)Р .
т Поскольку полученное неравенство !и." ~ <!) /!"!!!Р„ уравнения в точке Р: существует окрестность точки Я, куда при /г- 0 не попадают точки множества ОФ~,!(Р). Условие Куранта. Фридрихса и Леви не выполнено. Выбрав г настолько малым, чтобы треугольник ОРВ содержал не только точку А = (2, 0), но и всю характеристику АЯР, уже можно доказать устойчивость (и сходимость) разностной схемы (6). Для такого выбора числа г учтем, что (в силу дифференциального уравнения характеристики !/х/!// = а(Г)) величина — 1/а(/) есть тангенс угла наклона касательной к характеристике к оси Ох, а — г = — т//г есть тангенс угла наклона прямой ВР к оси Ох.
Легко понять, что характеристика АЯР бу-. дет лежать в треугольнике ВОР, если ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ [ГЛ. 7 2!6 справедливо при любых т = О, ~1, ... и любых и, (и+ 1)т ( (1, то !! ипя !!и„-= ! /!А' )!РА, и устойчивость разностной схемы (6) при условии (8) доказана. Ограничение (8) на шаг т при заданном шаге /г, т ( '/з/г, можно ослабить, не нарушая условия Куранта, Фридрихса и Леви, если Р/у, // ;/=В=К д~ Рлс. 18 сделать шаг т переменным, 1„+1 = 1„+ т„, и выбирать его при переходе от /л к 1„+, с учетом наклона характеристики вблизи точки ! = /„, а именно из условия Измененная таким образом схема (6) имеет вид л-~-! л л л и„, — и,„и,„+, — и,„ / и!А1 — . + а (1~) г = лго (хт /л) и' =$,(х ) (10) и"+' = [1+ а(/л) г„|и" — а[/л) Слил, + т„ф,(х, /л), [ и" = ф,(х ).
(1 1) В соответствии с формулой (9) ограничение на шаг тл менее жссткое, чем при использовании схемы (6) с постоянным шагом. При малых и используется шаг тл = /г, и лишь при приближении /„к 1=! приходится выбирать т„= '/,,Ь (рис.
18). Доказательство устойчивости схемы (10) при условии (9) лишь несушественно отличается от доказательства устойчивости схемы (6) при условии (8): используя неравенство 1+а(1„)г„) О, 217 услОВие ХХРмлтл фРилР14хсл и лРВи л м1 получим в силу (11) ) йл' 4 ГнаХ ) и"„(+ тл ГнаХ ! 4)ги(ХРР гл) ~ ( т 4Л, Л < гпах ) ил-' ! + (тл, + тл) гпах ( ф, (х, Гл) ! < (Гиак!й (+ Гл+ГГПак(4!4В(Хле 1л) !(!!~ГЫ!!Р,. Отсюда следует неравенство !!ал ~ ~!! ) !)4'л' означающее устойчивость. 3. Примеры разностных схем для задачи Дирихле. Воспользуемся условием Куранта, Фридрихса и Леви для анализа двух у г!7 7) гт+/, л') Г',тг4/) 4 УГ46 У а) IУ4 У) Рис. 19 разностных схем, аппроксимирующих следующую задачу Ди- рихле для уравнения Пуассона: д~~ + л .
=4Р(х У) 0~(х~ У~(1 и! =4Р(х, у), (х, у)~Г, (12) в квадратной области ьг =(О < х, у < 1) с границей Г. ПостРоим сеткУ х = тй, Ул = пгг, где й =!/М, М вЂ” целое число (рис. !9,а). К сетке 44л отнесем те точки (хт, ул), которые попали внутрь квадрата лг нли на его границу. Рассмотрим разностную схему, аппроксимирующую задачу (! 2); ит+ь л 244тл+ ит-ь л 4444, лл-~ 2итл+ ит, л — 4 Л4 + Лл г игм=1 ли — = 4 =94(тй, пй), если (пг14, пй) еп Р, итл = 4Р(п414, пй), если (пгlг, пй) еп Г. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХГМ !ГЛ.
7 '2!8 Схема (13) получена путем замены производных и,„и и„„разностными отношениями, и аппроксимация не вызывает сомнения. Мы докажем ее устойчивость в $34 и изложим способы вычисления решения и<А! в Я 35 — 37. Но обратим внимание на то, что вычислить ее решение не просто, так как система уравнений Еии(А! = !!А! для определения значений сеточной функции и!и~ при малых и достаточно сложна. Сама эта сложность побуждает выяснить, нельзя ли построить схему, решения которой вычисляются просто.
На первый взгляд, можно воспользоваться схемой ит-и и — 2ити + ит+ ни ит. и+~ 2ити + ит, и-~ а' '+ ' а =~р(тл, пгг), гп=1,2,..., М вЂ” 1; п=!,2,..., М вЂ” 2, ит — с г — 2ит. + ищ+, г ищг — 2ит1+ ита Лг + Ьг =<р(пй,й), т=1, 2, ..., М вЂ” 1, и „=ф(пй, и!г), (х, у) е:— Г. гии ~= ( (14) Аппроксимация, очевидно, в этом случае есть, так как схема получена путем замены производных разностными отношениями, а граничное условие аппроксимировано точно. Каждое уравнение из первой группы уравнений связывает значения решения в пяти точках сетки, изображенных на рис. 19,6.
Вторая группа уравнений при фиксированном гп связывает значения решения в пяти точках сетки, изображенных на рис. 19,в. Рассмотрим совокупность уравнений первой группы, отвечающих фиксированному значению и, а именно п = 1, и всю вторую группу уравнений совместно.
Полученная система уравнений связывает значения и„н, и г и ищи причем и о, ион иен имь имг заданы граничными условиями. Эту систему можно решить, определив ит1 и иииь пг = 1, 2, ..., М вЂ” 1. Затем используем разностное уравнение из первой группы уравнений при и = 2 и определим и, г по явной формуле, разрешая это уравнение относительно единственной входящей в него неизвестной величи- НЫ ищ,. ПрОдВИГаяСЬ СЛОЙ За СЛОЕМ От ии,„ К и,„ „РН МЫ ВЫЧИС- лим в силу уравнений первой группы решение исп во всех внутренних точках сетки.
Значения же в граничных точках сетки заданы с самого начала. Однако эта на первый взгляд удобная схема совершенно непригодна. Известно, что решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа зависит в каждой точке от значений гр(х, у) )„всюду на границе.
А в построенной нами разностной схеме вычисление решения и!А> во всех внутренних точках происходит без ис- 219 нсловие кхрлнтл. оридрихсл и леви й м! пользования значения зр(х, у) на верхней стороне квадрата. Эта разностная схема не может оказаться сходящейся. Сложность, присущая схеме (!3), связана с существом дела. В заключение подчеркнем еще раз, что условие Куранта, Фридрихса и Леви не является достаточным условием устойчивости. В ф 25 будет, в частности, показано, что разностная схема п-~-! и и и Ит — ит и,„+, — ит йаи и—. (М 2! чг (гпй, лт), цо неустойчива при любом г = т/Ь = сонэ!.
Эта схема аппраксимирует задачу Коши и! — и„= ш (х, !), и (х, 0) = 4Р(х), для которой мы уже рассмотрели несколько других схем. Легко проверить в то же время, что эта схема при г ( 1 удовлетворяет необходимому условию устойчивости. Чтобы сделать это, возьмем опять, дли определенности, точку (О, !) на плоскости Ох! и будем считать, что она принадлежит сетке /)ь при всех й, так что 1 = Мт, где Л! — целое. Значение и вычисляется через значения и и ! !, ио~ !, и~! !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
