Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Спектр Х = Х(а) заполняет вертикальный отрезок длины 2т/6, проходящий через точку Х= =! (рис. 22). Если т/Ь = г = сопз(, то условие (!2') не выполняется— спектр не лежит в единичном круге. Если при и- 0 шаг т из- меняется, как Ь', так что т = гй', то самая далекая от точки Х = 0 точка Х(и) имеет модуль 1Х(а) 1, „„= ~/1 + ( — ) =а/1+тг ~ (1+ — т.
Условие 1Х(а) ~ <1+ ст в этом случае выполнено при с = г/2. Ясно, что требование т = гйе является гораздо более жест- ким условием на убывание шага по времени т при стремлении шага Ь к нулю, чем требование т = гй, г < 1, которого было достаточно для выполнения признака Неймана для разностных схем (5) и (15), аппроксимирующих ту же задачу Коши (14). Отметим, что признак Куранта, Фридрихса и Леви, как по- казано в конце $ 24, позволяет утверждать неустойчивость об- суждаемой схемы только при т/й ) 1, а при т/Ь <! суждений об устойчивости не дает и оказывается слабее признака Ней- мана. Рассмотрим теперь две построенные в ~ 22 разностные схемы, аппроксимирующие задачу Коши для уравнения теплопровод- пости иг — аии„„=~р(х, /), и(х, 0) =-~Р(х), (19) П р и м е р 4. Явная разностная схема м и-~.
! а ие — 2иа + ие ит ит е и Ю ~~и+ит — ~ т и' = ф (/и/т), т = О, и- 1, ...; р = О, 1, ..., ~Т/т'! — 1, вы! спекталльныи лнллиз алзностнои элдлчи коши 227 при подстановкем„'=Лае ' в соответствующее однородное разностное уравнение приводит к соотношению Л вЂ” 1 е ~а 2 -1- е~а — — и =о ле Заметив, что Г га ~а ~а е-!а 2+ е!а е — е 4 2! вш ° го получим Л(а) = 1 — 4ги'в!п' —, г= —.
Ле 1 г < —, 2ае (20) Рас 23. В случае, если г) —,, точка Л(а) = 1 — 4га'в!п' —, отвечаю- 1 2а' ' 2 ' щая и = и, лежит левее точки — 1. Гармоника е""" = ( — 1)' порождает решение и" = (1 — 4а г)е( — 1)"', не удовлетворяюцгее условию (6) ни при какой постоянной с. П р и м е р 5. Рассмотрим теперь вторую схему ае+! а' а'+' — 2а'+'.1. ил+' ьли = иа л! (тй), 1Л!— т = О, ~ 1, ...! р = О, 1, ..., ~Т т) — 1.
(21) Аналогичные выкладки приводят к выражению 1 т Л(а) = г —— о ' 1 + 4гаг л1ае— 2 (22) Спектр этой задачи заполняет отрезок а 1+ 4ги'в!пл — ~ <Л <1 вещественной оси, и условие !Л) < 1 выполнено при любом г, При изменении а число Л(се) пробегает отрезок 1 — 4га' ~ < Л < 1 ве1цественной оси (рис. 23). Для устойчивости необходимо, чтобы левый конец этого отрезка лежал в единичном круге У 1 — 4га') — 1 или панамы исследовании хстоичивостн !гл. в Спектральный признак Неймана применим для исследования разностной задачи Коши и в случае, если пространственных переменных две илн более. Пример 6.
Для задачи ди д'и ли И ахи уу— = —,+ —,', 1>О 1 Э и(х, у, 1) =лр(х, у) возьмем сетку (х, ул, 1и) =(тй, пй, рт). Заменяя производные разностными отношениями, построим разностную схему — вл ил т.1-1. и Лтл + т-1. л Задавая и'л=е'!'т+"л', т. е. в виде двумерной гармоники, зависящей от двух вещественных параметров а и 8, найдем решение вида 7и ( р) 1 1ат+Вл1 Подставляя это выражение в разностное уравнение, после со- крашений и тождественных преобразований найдем Х(а, р) =1 — 4гебп — „— 4г з1п1 —. При изменении вещественных а и 8 точка Х= Х(и, 8) пробежит отрезок 1 — Вг ~ (А <~ 1 вещественной оси.
Условие устойчивости выполняется, если 1 — 8г> — 1, г<'/4. Приведем пример, иллюстрирующий применение признака Неймана для разностных уравнений, связывающих значения искомой функции не на двух, а на трех временных слоях. П р и м е р 7. Задачу Коши для волнового уравнения —,— —,— О, — оо<х<со, 0<1<Т, и(х, 0) =ф1(х), ' =фз(х), — оо <х< со, ди(х, О! „л "тл "л1л 7 и(м=( 1, 1 и' =ф(пй "т, л+1 Зиял+ "и| и — 1 (х8) аг — О, ам! спектеальпьш хпхлиз иазностнои зхлхпч коши 229 лппроксимируем разностной схемой (24) игю — 2ии +их И3 П$ и'+~ — 2ищ + и,'„ т-' А' р = 1, 2, ..., (Т)т'! — 1, и' =ф(х ), =~!>,(х ), =0 Л' — 2(1 — 2г'з!п" —" ! Л-1-! =О, Произведение корней этого уравнения равно единице.
Если дискрнмпнант с((а) =4г'"з!пза(г'з!п" — — 1) 2 квадратного уравнения отрицателен, то корни Л1(и) и Лз(а) комплексно-сопряженные и равные единице по модулю. В случае г ( 1 дискримннант остается отрицательным при всех а. На рис. 24,а изображен спектр в этом случае. Он заполняет часть д 0 единичной окружности. В случае 'с г = 1 спектр заполняет вс1с а) 4 окружность. При г ) 1 по мере Рис. 2!.
увеличения а от нуля до и корни Л~(а) и Ли(а) движутся из точки Л=! по единичной окружности один по часовой стрелке, а другой против часовой стрелки, пока не сольются в точке Л = — 1, а затем один из корней пойдет по вещественной оси из точки Л = — 1 влево, а другой вправо, так как они вещественны и Л~Лх = 1 (рис. 24, 6). Условие устойчивости выполнено при г < !. Рассмотрим задачу Коши для следующей гиперболической системы дифференциальных уравнений, описывающей распространение звука: до дм дГ дх' — оо < х < оо, О < ! < Т, (25) щ(х 0)=фи(х) оо <х<оо. дм ди д! дх ' о(х, 0) =чч(х), Подставляя в разностпое уравнение решение вида (8), получим после простых преобразований следующее уравнение для опре- деления Л; пРиемы исследовхнии устойчивости Положим и(х, !)=( ' ), ф(х)=( ' ) и запишем (25) в векторной форме: ди ди — — А — =О, — оо<х<оо, 0<!<Т, ! д! дк (25') и(х, 0) =ф(х), — оо < х< оо, где Исследуем две разностные схемы, аппроксимирующие задачу (25').
П ример 8. Рассмотрим разностную схему ии+' — иа и' — иа А + — О, р = О, 1, ..., (ТЯ вЂ” 1, и' =ф(х ), т=О, .+1, ... е Ищем решение векторного однородного разностиого уравнения в виде (13): и' — ХР(йЕ!а ) =Х'(",) ЕГа . Подставляя это выражение в разностиое уравнение (26), приходим к равенству Х вЂ” 1 о — иа — А и=О, г Л или (1, 1) иа «(е!а 1) Аиа О (27) которое можно рассматривать как векторную запись системы линейных уравнений для определения компонент вектора и'. Запишем систему (27) в развернутой форме: ( г(е!а !) А, ! )(ц,а) Система линейных уравнений (28) имеет нетривиальное решение гио х ив= ~~,) лишь при тех Л= Х(а), при которых определитель системы (28) обращается в нуль: (Х вЂ” !)х = гх(е!а — 1)х Отсюда ач (о) = 1 — г + ге1а йа(а) = 1+ г — ге(а.
$ м1 спектРАльныи АнА.пиз РАзностнОИ зАдАчи кОши 2З! Корни Лз(а) и Ле(а) пробегают окружности радиуса г с центрами в точках 1 — г и 1+г соответственно (рис. 25). Условие устойчивости Неймана не выполнено ни при каком г. П р и м е р 9. Рассмотрим разностную схему р=0„1,, [т1 ) — 1; па=О, -ь|...,, ) (29) „;,„,, аппроксимирующую задачу (25') со вторым порядком и аналогичную схеме (|5) для скалярного случая (14). Условие существования нетривиального решения вида (13) у векторного уравнения „х (25) состоит, как н в примере 8, в том, чтобы |у ~г Уег обращался в нуль определитель системы, возгпо ь никающей для определенияи,=( е,1. Приравняв этотопределитель нулю, получим квадратное уравнение относительно Л = Л(а), из которого находим Л1 = 1+ (г э|па — 2г з|п —, е.за ) (30) Л =1 — !па|па — 2гзэ!Нз — ".
2 ' Эти формулы аналогичны (16), и, как в (17), получим 1 — | Л,, (а) |а = 4г' э ! п' —, (1 — г'). 2 Спектр, задаваемый формулами (30), лежит в единичном круге при ге,.1, 4. Интегральное представление решения*). Рассмотрим задачу Коши вида Ь,ил+', + Ь,ил"'+ Ь,и +',— р = О, 1, ..., г(17т) — 1, иэ=р, т=0,~1,..., (31) ! с постоянными коэффициентами, предполагая, что Ь,е-"+ Ьо+Ь еьа Ф О, 0((а(2п. (32) *) Результаты этого пункта в слелуюпгнх параграфах пе нспользуются.
пРиемы исследОВАния устоячивости [гл. э Разностные схемы (!), (!5), (!8), (21) приводятся к виду (31), если обе части входящих в них разностных уравнений умножить на т. Заметим прежде всего, что при произвольных ограниченных сеточных функциях (~ро) и (~р ) задача (31) имеет одно и только одно ограниченное решение. г(ействительно, если уже известно, что (иР,) при данном фиксированном р существуст и ограничено, то уравнение (31) превращается в обыкновенное разностное уравнение второго порядка Ь,ияч 1, + Ь„ие" ' + Ь,ИР++', = т~рР + (а,и", + а,и' + а,и",,) (33) относительно (иР+') с ограниченной правой частью. Соответствующее характеристическое уравнение Ь, + Ь,д+ Ь1д' = О благодаря (32) не имеет корней д = е*'', по модулю равных единице.
Поэтому, как показано в конце п. 2 э 3, оно имеет единственное ограниченное решение (иР+'). Но (и" ) = (ф ) задано и ограничено, поэтому последовательно из (33) однозначно определяются ограниченные функции (и„'), (и-') н т. д. Нам понадобятся следующие известные сведения о рядах Фурье. Каждой последовательности чисел с, т = О, ~ 1, ..., для которой ~ ! с ! < ОО, соответствует сходящийся (квадратически в среднем) ряд Фурье (34) 135) При этом выполнено равенство Парсеваля ~ ! С (а) ! да = ~~ ! С,Р !'.
и (36) суммой которого является интегрируемая с квадратом на отрезке О < а ( 2Я функция С(а), ~ ! С(а)!'Ыа < СО. о Обратно, каждая интегрируемая с квадратом на отрезке О < а < 2п функция С(и) разлагается единственным образом в некоторый ряд Фурье (34) с коэффициентами с, вычисляемыми по формулам $ м] спектРАльныи Анллиз РАзностной 3АдАчи кОши 233 Теорема 1. Пусть в задаче (31) гпах ~ ~~ре (з< оо, Х ) ф ~г< оо. Тогда ограниченное решение этой задачи допускает интегральное представление ие = = 1 УР (а) е " да, (37) З/2п 4 0е (а) = — ц'(а) = — ~ ф е ' аы 1 ФР (а) = = ~~ ~ре Е-Га«1 1 а функция а,е + аа+ а,е -га 1а а = Ь!е "'+ Ь, + Ь,еьа подобрана так, чтобы при каждом а, 0 ( а < 2п, сеточная функция ие = ХР (а) ена удовлетворяла однородному уравнению, соответствующему уравнению (31) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
