Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ь 1-1 (7) Во всех примерах разностных краевых задач, решения которых мы запишем с помощью конечных рядов Фурье, используется выражение Лххотлм —,(от+1 — 2от+о,), т=1, 2, ..., М вЂ” 1. (8) ! Совершенно аналогично можно рассмотреть конечные ряды Фурье для функций на сеточном квадрате. Рассмотрим сетку х =лй, р«=пй, О(тй(1, 0(пй(1, причем Ь = 1/М, М вЂ” натуральное.
Совокупность вещественных функций о = (о, ' определенных в точках сетки и обращающихся в нуль в точках, лежащих на границе квадрата, образует линейное пространство. Введем в нем скалярное умножение м м (в, щ)=й'~: ~: о„„и„„. пгивмы исследовании тстоичивости 1гл. о Заметим, что 'ллт ! Г . лл(т+ !! . Алт . (гл(гл — 11 г Л 51П вЂ” = —. ~з!П кк М Ля~ М вЂ” 2 з1п — + з(п М М 2 Г лл Х . Вил . агил = —., ~сов — — '1) з(п — = (глв(п —, т= 1, 2, ... М вЂ” 1, аг~, М ) 4 ° г и, = — — з(пг —, /г=1, 2, ..., М вЂ” 1, Ьг 2М (9) 2.
Представление решений разностных схем для уравнения теплопроводиости иа отрезке. В качестве первого примера, где удается представить решение в виде конечного ряда Фурье, рассмотрим простейшую разностную схему лщ — и,„и„, ! — 2ищ+ л',„ гы о о о Аг — О, т = 1, 2, ..., М вЂ” 1, р = О, 1. , (Т(т) †' 1 но= и' =О, о м цо =ф(тй) (10) для задачи теплопроводности на отрезке и, — и„„= О, О ~ ! ( (Т, 0 ~ ~х ( 1, и(0, !)=и(1, !) =О, 0(~1((Т, и(х, 0) =ф(х), 0(~х~(1. (1!) Задачу (10) перепишем так: и~+' =и~, +тЛ„ли~,= (Е+ тЛ„„)ио, цо = ф(тЬ).
(12) Здесь Š— тождественное отображение: Еил = ио, а Е+ т˄— оператор перехода от ил к ил+!, или оператор перехода со слоя на слой. Относительно сеточных функций ил = (ио) аргумента т 4.галл где !го = — —. з(п —. Аг 2М' Другими словами, базис (2) состоит из собственных функций оператора Лги переводящего функции о = (о ) из пространства функций, обрашаюшихся в нуль при т = 0 и т = М, в функции того же пространства по формулам ! ш = — г(о +,— 2о +о,), т=1,2,...,М вЂ” 1.
Собственной функции ф!ог = т/2 з(п — соответствует собственное значение КОНЕЧНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ предполагается, что при каждом фиксированном р они принадлежат рассмотренному пространству, т. е, и,' = иР = О. Будем искать решения уравнения (12) в виде Подставляя это выражение в уравнение и сокращая обе части на Ль Р(«2з!п — ", получим в силу (9) следующее выражение для Лх.' ат .ген Л, = 1 -1- тггь = 1 — —, з)пг —, й =- 1, 2, ..., М вЂ” 1.
6' 2М' Ввиду линейности уравнения (!2) выражение м — г и = у сгльф Р мг ь-г (13) и' = ~ с, (хГ2 з)п — ') . Выберем в качестве сь коэффициенты разложения заданной функциии' =ф(тй) в конечный ряд Фурье, т. е. положим хг сь=(гр, григ)=й ~~ гр(тй) (х/2з!п — ). м 0 Тогда решение (! 3) м — ! ич Е сь (1 «р 3!п 2Л! ) (Х/2 ейп М ) (14) будет удовлетворять заданному начальному условию и',„= ф (т«г). Формула (14) и есть искомое представление решения задачи в виде конечного ряда Фурье. Коэффициенты сгРг разложения функции и'Р' аргумента т при фиксированном р по ортонормальному базису фжг = = Л/2з!ив ггнга М и" = Х сьмгфгы имеют вид сь = сьЛь оа Р является его решением при любых произвольных постоянных сх.
При р = О получаем лг-г 256 приемы исследоилиий устопчивости !Гл. 8 Поэтому, принимая во внимание равенство Парсеваля, получим м-! м-! (ил+!, ире') = ~ [с~~а ' [ = ~ [слЛе [ ~( е ! л-! м-! ((гпах[Ле[' ~ [сеЛеуи=гпах[Ле['(ия, и'), е ь-! е причем строгое равенство (ия+', и +') =шах[Ля ['(ия, ин) достигается, если в качестве и' используется та ф!лг, для которой [Ль[ наибольшее. Если гпах)Ле[з(~1, то имеет место неравенство (ир+', ия+!)(~(ир, ия). (15) Положительно определенные квадратичные формы вида (Аил, ир), где А — матрица квадратичной формы, напоминают выражения для энергии в уравнениях математической физики.
Поэтому неравенства вида (Аи'+', ия+') (Аип, ия) для решений разиостных краевых задач называют обычноэнер- геги ческими. Таким образом, оценка (15) есть простейшее эпергеп!чесиое неравенство. В случае выполнения энер етического неравенства выбор норм )) )! и )р)„, л естественно связать с формой (Аия, нл), положив, в частности, [и ))ил= гь! и шах(Анр. нр) ". подобные нормы называются энереаттячесинчн. я Неравенство гпах[Ле [! (1 выполнено, как легко видеть, в случае, если т 1 г = — ( —. йз 2' При 1 г = сонэ()— 2 и при достаточно малых значениях гг найдутся Лл, [Ле[ ) 1. Тогда устойчивости нет ни при каком разумном') выборе норм.
Рассмотрим разностную схему более обшего вида р+! р — [(! — о) Ляхи + оЛххи'"'[ = () ие — зр (гид) коначныв виды Фтгьа 257 для той же дифференциальной задачи о теплопроводности (11). Здесь о — параметр. Найдем решения вида и~~„=Лов т/2а!п м, й= 1, 2, ..., М вЂ” 1, где Ли подлежат определению. Подставляя это выражение в разностное уравнение, получим соотношение, которому должно удовлетворять Ли.
Л, = 1 + т (1 — о) ри + т о Лири. Отсюда !1 — о! с, Ил 4Ие 2М в!и'— 1— Ли= 1 а=1,2,..., М вЂ” 1. от, Ия + — в!пе— 4Ие 2М По-прежнему (ив+!, ив+!) ~<гпах ! Ли !у(ио, ио). Энергетическое неравенство (15) имеет место, если гпах! Ли !((1 или !в !1 — о)г .в Иа1 ! ог . Ия! 4 и!п — 1<~ 1+ — з!п — ~ г = —. 2М~ ! 4 2М!' И'' Очевидно, что при 1 ) о) сгв это неравенство — и энергетическое неравенство (15) также — выполняется, каково бы нн было г. Если о= О, то разностная схема преврашается в уже рассмотренную явную схему и, как мы видели, для выполнения энергетического неравенства (15) при всех Ь нужно, чтобы было г<'Ь 3.
Представление решений разностных схем для двумерной задачи теплопроводности. Рассмотрим теперь двумерную задачу теплопроводности ди дев дев — = — + —, дг дхс дуе ' 0((х(~1, 0((у(~1, и(х, у,0)=ср(х, у), (16) 0<! < Т. 9 С К. Годунов, В. С. Ребееькоа и(х, р, !) !„=0, Здесь через Г обозначена боковая поверхность параллелепипеда0<х,у< 1,0<1<Т. Построим сетку (х,„, уо, 1г) = (т!с, пй, рт), причем будем считать Ь = 1/М, где М вЂ” натуральное. За бги примем точки сетки, ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЙ УСТОЙЧИВОСТИ (гл.
в лежащие внутри и на границе параллелепипеда О-=" х. у ( 1, О ( ! < Т. Обозначим ля+(, и — 2»тп+ лт ), и Р Р Лххптл а! Р н "т, л.ь> 2итп+ "т. и-( уу тл а' Операторы Л„х и Л„„совершенно аналогичны, только первый действует по переменному п(„в то время как и и р — параметры, а второй — по переменному п, а и) и р — для него параметры. Простейшая разностная схема для задачи (16) есть О(~рт(Т вЂ” т, (1Т) иачт„= ())(тй, Пй), иР„~ =О. Заметим, что Л (1>(х !) =Л Ч(х)Ф(!>1 = Ф(!)А ())(У) = >((У)())(У)())(!) = >((У)())(У, !) хх хх \, т и ) хх Л ())(У, и — Л (((>( >,р( >1 >(((>())(х, и УУ уу (. т и ) Поэтому для Лп! получаем выражение хм — 1 („(х) + „(!)) или 4тг.х Уп .У (л') 1)У! = 1 — — (з(п — + з!п) — ). а' (, 2м 2м) Решение л(-( ип ~ Сх(3)ху ())(~ !) к (-( (18) удовлетворяет условиям на боковой границе при любом выборе постоянных см.
При р = О это решение принимает вид ИУ = Х су((Р(У, (> Для того чтобы выполнялось заданное начальное условие и' „= (1) (пй, ~й) = ~ с ((у(х„(>, Ищем решения разностного уравнения при условии ил„~ =О вида нп 1(Р (р( ) тл М т» конечные уяды агаве 259 в качестве см надо взять коэффициенты Фурье функции ф(тсс, пй), т.
е. сы=й' ~ ф(тй, пй) (2 з!и — в)п — ). (19) а, а 0 В силу формулы (18) коэффициентом при фсу о в разложении ив в ряд Фурье служит число (сусЛугс). Поэтому (а', ау) = Х! СусЛус )'. кс При любом фиксированном р в силу этого можно написать ( у+! + ) ~, ~ ,Лу+ !з И ! ! ( гпах1Лм ! Х 1 сусЛу! са = !пах ! Лм ! (и~, иУ). у,с к! ьс Равенство достигается, если в качестве ф(ий, пй) задана та собственная функция !а!Уй с! оператора перехода Е+т(Л„„+ Л„у) со слоя С = рт на слой ! = (р + 1)т, собственное число которой Лм принимает среди всех собственных чисел Лм наибольшее по модулю значение. Если гпах! Лус! ( 1, то имеет место энергетическое неравенкс ство (ау+! иу+!) ~ (иу иу), (20) Когда й и ! пробегают значения Й,1= 1, 2, ..., М вЂ” 1, собственные числа пробегают некоторое конечное множество точек на вешественной прямой, лежашее левее точки Л = 1.
Самая левая точка получается при А = 1= М вЂ” 1: , (М вЂ” 1)п Лм-с, и ! = 1 — 8г з)пс 2Лс в г ! — ' — =! — 8г+О( — ) 2М М! Поэтому неравенство шах!Лу!)(1 выполняется при — 1~1 — 8г, с4 Для неявной разностной схемы атл ч~иа "=Л „с!у+! +Л ну+! Т Х О3й уу ту~ и' =$(псй, пй), ив!=0 «г приемы 3лсследоахиии усто!чинности (гл.
в решение имеет вид ч' л М г! где ив г, йл, (лх' 1+ 4г р)пг — + юп'— 2М 2М) а коэффициенты сщ определяются по-прежнему формулой (19). Здесь 0 < Лы < 1, и энергетическое не~!авенство (20) имеет ме- сто при произвольном значении г = т(гз. 4. Представление решения разностной схемы для задачи о нолебаннях струны. Рассь отрим пример трехслойной схемы Ллищ! = Ры, аппроксиьщрую- щей задачу о колебаниях струны с закрепленными концами: ип ихх = О, О < х <1, О < ! <Т, и(0, !) =(1, !)=О, 0<!<7, и(х, 0) = !уз(х), О~к~1, и (х, О) = зР (х), 0 ~ х ~ 1.
Положил! ив+! — 2из -1- и' — Л .и," =О. тт хт и ио из! я о из =!рз( И), и =!р ! где Ищем решения разностного уравнения, удовлетворя!ощие ио — — ил! = О, имеющие вид и в и.=Ля~/2 згл — '"'" (=Л О!а)), М пока ие заботясь о выполнении начальных условий и,„= !Ро(и!й) и Получаем следующее уравнение для Л: 1 Л вЂ” 2+— Л -Иа =0 условиям (21) ит = Ф,и. ! 4 . йл !х = — —.31п' йт 241 йла т Лг — 2 (1 — 2гт и!пт — ! + 1 = О, 2Мг' ' й' йл /г йл Ът (й) — ! 2гз зп!2 + ! 2гг зп!2 2М т/(, 2МГ Л (й) = 1 — 2г' з1п' — — ~( ~1 — 2г' з!п' — ) — 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
