Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 40
Текст из файла (страница 40)
"т Фт —— т' тт гг = и(тй, 0) + ти (тй, 0)+ —,и (тд 0) = зйз(лг)!) + тзР! (и!й)+ — чйе (х). И ' д ! 2 е 26! з 771 КОНЕЧНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Таким образом, существуют два решения искомого вида (21)7 Ла(А) ф!а! и Лз (ь) фнп Ввиду линейности задачи выражение М-! иа Х" Го ЛР (ь) 1 Р ЛР (Д)~ ф~~~ ь ! является решением при произвольном выборе чисел ць и Рь, 77 = 1, 2, ..., М вЂ” 1. При и = О и и = ! получаем соответственно м — ! «" =фа(лгд) = ~', (а, +рь) ф'", э=! М-! и' =ф,„= ~~~ [аьЛ!(/7)+рьЛ (л)]ф!ь!.
ь=! Эти соотношения определяют значения чисел аь, рз. Сумма аз+ рь должка быть коэффициентом Фурье разложения фа(тд) по функциям (фгЫ), т. е. М аь+ Ра = а ) фо(ть) (')/2 з!и — ). Точно так же аьЛ, (л] + Рьха (77) = 6 ~~| Фм (Чг'2 зш — ). яг О Запись решения разностного уравнения в виде конечного ряда Фурье используется не только для выяснения условий, при которых имеют место энергетические неравенства.
В дальнейшем мы многократно будем пользоваться такими представлениями с различными целями при качественном изучении модельных задач. Надо отметить только, что представления решений в виде конечных рядов Фурье редко используются непосредственно для вычисления решения. Дело в том, что удобные вычислительные методы должны быть пригодны для широкого класса задач. Выписанные нами разностные схемы легко обобшаются на случай переменных коэффициентов и неправильных областей, причем мы можем ожидать сохранения таких свойств, как выполнение энергетического неравенства. Но каждое такое изменение задачи нарушает возможность записать ее решение в виде ряда Фурье: мы не можем обычно выписать собственные функции оператора перехода со слоя на слой и не можем вычислить отвечаюшие им собственные значения.
приамы исследовлнни кстоичнвости (гл. в ЗАДАЧИ 1. Для двумерной задачи теплопроводности в квадратной области с нулеиыми значениями на границе рассмотреть раэиостную схему " = о ~йххитн~+ Лк итннгз)+ +(1 — о) ~Ляхи"„+Л„„инД, 0< та, пй < 1, и ~ =О, и „=ф(тй, пй) в (обозначения введены в тексте параграфа). Вынисать решение этой задачи в виде ряда Фурье. Выяснить, при каких значениях параметра о, 0 < о < 1, имеет место энергетическое неравенство (ии+', ия+') < (ия, ии) независимо от выбора соотношения шагов г = т1И'. При каких о для любого из чь 0 выполнено строгое неравенство (из+', ии ю) < (ин, ии) независимо от выбора г и шага Иу 2.
Записать решения дифференциальной задачи ит — и„х=О О~к~1, 0~!~Т, и 1т = О, и (х, О) = ф (х) и разностной задачи ин+ — и — й иа =О, т ххитн итщн ! = О, итн = ф (тй, пИ) соответственно в виде ряда Фурье и конечного ряда Фурье. Доказать путем сравнения этих рядов при г < '/з в предположении ограниченности ф '(х), что решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи. Доказать, что при г ) '/з сходимость, вообще говоря, не имеет места. 3.
Выписать в виде конечного ряда Фурье решение разностпой задачи Дирихле для уравнения Пуассона в квадратной области 0 < х,р < 1: йххипт + йааитн = ~р(тй ий). 0 < тй, лй < 1, при граничном условии; а) б) 1 11 Указание к З,б). и = тй+нй+Вм, где Вм удовлетворяет однородным условиям на границе. В 28. Принцип максимума Мы уже видели в Я 21 и 24 на примерах, как доказывается устойчивость с помощью принципа максимума. Здесь мы разберем еще два интересных примера, в которых этим приемом ити1,-0; пй, если + тй, если тй„если + пй, если т=О, п=М, и=О, т = И(. поинцнп млксимтмл % овг в63 удается доказать устойчивость: явную и неявную разностные схемы, аппроксимирующие краевую задачу для уравнения теп- лопроводности: 1.
Явная разностная схема. Рассмотрим явную разностную схему и"+' — и" щ " — ав(тп, пт) и(л) — ( (2) и =1, 2, ..., (Т(т) и = 1, 2, ..., (Т(т) Здесь М = 1/й — целое число. Спектральный признак Неймана в соединении с принципом замороженных коэффициентов приводит, как мы видели в $26, к необходимому условию устойчивости — < ! Л~ 2 твх ав (х г) х, г Докажелг, что при этом условии устойчивость действительно имеет место, если определить нормы равенствами ! (!игл>!!и„=гпахгпах)и" ~, л т в(г~ ~!!и„— — гпах(гпах! Фо(тй) в гпах! вр, (пт) 1, (4) Л гпах! врв(пт) 1, гпах! ф(х, г,) !).
о о$, в Установим справедливость неравенства (принцип лгаксимума) гпах)и"+г !(гпахгпах / гРг (1„) ~, игах ! вРв(Г„)!, гпах!и" 1+тпгах)ф(х, 1„)!]. (5) ди в ди — — а'(х, 1) —, = ф(х, 1), и(х, 0) =вРо(х), и (О, Г) = Ф (Г)~ и(1, 0 = ф (1), т=1,2,..., М вЂ” ! ио =- вро(тй), и," =вр,(п ), ии = грв (пт), 0 <х< 1, 0(~1~Т, 0<х<1, (1) о<! (<т, ! о(<г <т. =ф(тй, пт), п = О, 1, ..., (Т(т1 — 1, т=О, 1,..., Мй, пРиемы исследовании устоичивости )ГЛ. 8 264 Действительно, перепишем разностное уравнение, лежащее в основе схемы (2), придав ему вид и"+) = (1 — 2гаг(х, Г )) и» + +гаг(х, Г„)(и",+и»+))+тф(х~, 1„), гп=1, ..., М вЂ” 1. (6) При выполнении условия (3) выражение 1 — 2га'(х Г ) неотрицательно.
Поэтому можно написать 1и"„+ ) ( ( [1 — 2га' (х„, Г )1 так ) и" 1+ + га' (х, Г„) (шах ) и" ! + п) ах ~ и" ~ ) + г т ах ) ф (х, Г„) ) = =гпах(и" 1+ттах(ф(х, 1„)), т=1, 2, ..., М вЂ” 1. (7) Учитывая, что "+'=ф !(и+1)т), Ф'=»р,((п+ 1)т), (6) отсюда выводим принцип максимума (5). Разобьем решение игь) задачи 7.ьиоо = )г"> на два слагаемых: ив) = ог)')+ в<»), определив оро и вио соответственно как решения задач ф(х, г„), О, О, О. О »ро(х ) "рз (т») (9) ьяо' '= В силу оценки (5) тах / о"+) ! (так (гпах ~ »р) (Г„) (, п)ах ~ »рг(! ) !, так ~ о» (), гп ах / о» / ~ (гп ах !гп ах ~ »р) (!ь) р )пах ~ гр, (Гь) /, )пах ~ о„" ' ! ), тах/ о" ) !~шпак(гпах~гр)(Гь)/, )пах ~гр,(ГУ) ~, )пах! о"-'!), гп ах ! о' / = п) ах ~гпах /»р) ® ~, п) ах ~ )рг (!У) ~, )пах ~ »ра (х„) ! 1. В силу той же оценки (5) п)ах ! в" + ' ! ~( т ах ~ в„" ! + т п) ах ~ ф (х, ! ) ~ ( »» О3 »ь ь (п)ах!в"-' !+ 2ттах!ф(х, гь)~( (~ гп ах ! в" ~ + (и + 1) т гп ах ~ ф (х, !ь) ~~.
Т т ах ! ф (х»и Г ) ). 265 ПРИИИИП МАКСИМУМА ИЗ ОЦЕНОК, УСтаНОВЛЕННЫХ ДЛЯ Оп+' И Ш +', СЛЕДУЕТ шах! ит+'! =снах! оп+'+ в«+'~~~гпах! оп+' ~+ шах! ш"+')~( т т т т (тах[тах! лр, (ец)~, гпах~ лр„®~, тах!лу,(х )!)+ + Т т ах ! сР (х„, 1и) ! ( с !! Р~ !!РАЗ т, л (10) где (11) с =2тах(1, Т).
Неравенство справедливо при всех п. Поэтому (12) !!цно!!о (с!!)чь'!!г, н устойчивость имеет место. 2. Неявная разностная схема. Теперь рассмотрим неявную разностную схему цп+1 цл цл+~ 2«п+' 1 цл+1 (13) Т.пи А Для того, чтобы, зная значения и'„', пг = О, 1, ..., М, вычислить значения й+', ги = О, 1, ..., М, надо решить задачу Эта радача после умножения обеих частей разностного урав- нения на — т примет вид а о,+Ь о +с„о +,=д, лт=!,2,...,М вЂ” 1, (15) со=а. им =р где о =ип"' а =а'(х, 1„)г, Ь = — 2а'(х, 8„)г — 1, с =а'(х„, 1«)г, д = — ип — эР(х, Фп), а=-лР,(8„~,), О =лР,(1«ы).
й =$„(х ), и,", = пр, (1«), цп = 1р (1 ) ил+1 «+1 2„«+~ — — -(, 1и) и„"~' = лр, (1и+,), ил+~ цл + ~р (хт 1~) (14) ил+1 — лР (1 ) йети пвивыы исслвдовлнин ястоичивости 1гл. в Коэффициенты а, Ь, с удовлетворяют условиям а >О, с >О, !Ь !>а +с +б (Ь>0). Поэтому, как показано в Я 4, 5, задача имеет единственное решение (и о о ) (ил+1 ил+1 ил+1) которое можно найти методом прогонки.
Для доказательства устойчивости осталось показать выпал. нение неравенства (12). Для этого докажем, что имеет место неравенство (5) (принцип максимума), из которого оценки (!2), (10) выводятся дословно так же, как для явной схемы (2). Из всех значенийй„'~', по модулю равных шах)и"+'~, возьт мем то, у которого индекс т принимает наименьшее значение т = лп", Если т» = 0 или лн» = М, то в силу (8) выполнение неравенства (5) очевидно. Пусть пг» ~ 0 и т' ~ М. Выпишем отвечающее этому значению гп = гп» уравнение (!4): га»(х 1 ) ил+1 (1+ 2газ(х „1 )) ил+1+ газ(х „1 ) ил+1 = — ил, — т<р(х ~ 1).
Пусть для определенности и"„+,' > О. Тогда левую часть этого равенства оценим так: га'(х „1л)ил+' — (1+ 2га'(х „(л))и"+'+ го'(х „1л)ил"' = а'(х „, 1 ) Цил+', — и"+') + (и"++', — и"+')Д вЂ” ил+.' и~; — и"+'. Поэтому — ил+1 > — ил — тгр Гх л»» т» ( л»»' л)' гпах(ил» ! ил»» «~(ил»*+т»р(хл»"» (л)! л ~шахи" (+тгпах~ р(х, 1„)~. л» »Л л 3. Сопоставление явной и неявной разностных схем. Таким образом, неравенство (5), означающее справедливость принципа максимума, доказано.
Вместе с тем доказана и устойчивость неявной разностной схемы (14) в нормах (4). Подчеркнем существенную разницу между явной и неявной разностными схемами (2) и (14). Первая из них требует для ПРИНЦИП МАКСИМУМА 267 устойчивости ограничения на шаг т~ ! й' 2 шах а' (х, !) которое становится очень жестким, если коэффициент а'(х, 1) принил!ает большие значения хотя бы в малой окрестности какой-либо одной точки, Вторая, неявная разностная схема остается устойчивой при произвольном соотношении шагов й и т. Разностные схемы, которые подобно неявной схеме (14) остаются устойчивыми при произвольном соотношении шагов сетки, называют абсолютно устойчивыми или безусловно устойчивыми. Явная схема (2) не является абсолютно устойчивой. ГЛАВА 9 ПОНЯТИЕ О РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХ ДЛЯ РАСЧЕТА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИИ $29. Обобщенное решение Во всех рассмотренных до сих пор примерах мы предполагали, что существуют достаточно гладкие решения дифференциальных краевых задач, а в основу построения разностных схем клали приближенную замену производных в дифференциальном уравнении разностными отношениями.
Однако днфференцируемых функций недостаточно для описания многих важных процессов физики. Так, например, физические эксперименты показывают, что распределения давления, плотности и температуры в сверхзвуковом течении невязкого газа описываются функциями, имеющими скачки — ударные волны. Скачки могут возникать с течением времени при гладких начальных данных. Соответствующие дгефференциальные краевые задачи не имеют гладких решений. Приходится расширить понятие решения и некоторым естественным способом ввести обобщенные решения, которые могут быть и разрывными. Для этого сушествуют два основных способа. Первый способ состоит в том, чтобы записывать физические законы сохранения (массы, импульса, энергии и т. д.) не в дифференциальной, а в интегральной форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
