Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (1185928), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Тогда ! 0 т, п=О, -(-1, ...; р=О, 1, ..., (Т/т1 — 1 )чл> = зр(х, у„), т, и = О, (- 1 289 экоиомичные Рйзностные схемы % 321 в прямоугольной области О ( х, у < 1 с границей Г. Будем пользоваться обычной сеткой (х, ул, 1р) = (тЬ, п)ь, рт), т,п=1,2, ..., Мить=1/й(. Разностная схема расщепления, которую мы приведем, в некоторых отношениях обладает принципиальными преимушествами перед простейшей явной цтл — цтл РЬ~ Р кк тл+ уу тл' (2) = ф(х, у„), =О ио тл ир ( и простейшей неявной цр-~- цр " =Л ир+' + Л ир+' кк тл уу Рт и' =-ф(х, у ), ир 1=0 (3) Разностная схема расщепления, которую мы построим, является экономичной и безусловно устойчивой, т.
е. соединяет достоинства явной (2) и неявной (3) схем. 19 С, К. Годунов, Н С. Рвбввькнй разностными схемами. Вычисления по явной схеме (2) очень просты. Для перехода от уже известного иР к неизвестному ир+' =(ир+') требуется проделать арифметические действия в количестве, пропорциональном числу (Л1 — 1)' неизвестных значений (ирь1). В этом смысле явная схема неулучшаема. Разностные схемы, в которых число арифметических действий для перехода от ир к ир+' =(ир+') пропорционально числу неизвестных значений, называются экономичными. Однако, будучи экономичной, явная схема устойчива лишь при жестком ограничении т ( ггхг4 на шаг т сетки. Приведенная выше простейшая неявная разностная схема (3), как мы уже знаем ($27, п.
3), абсолютно устойчива. Но она далеко не является экономичной. Для неизвестных (ир „') приходится решать сложную (нерасшепляющуюся) систему линейных уравнений. Как известно из алгебры, для этого требуется произвести арифметические действия в количестве, пропорциональном не первой степени числа неизвестных, как в экономичных схемах, но кубу числа неизвестных, если пользоваться каким-либо методом исключения неизвестных.
Заметим, что сейчас ведутся поиски более экономичных способов точного решения общих линейных систем. Штрассеном указан алгоритм, требующий числа действий, пропорционального не третьей, а !ев 7 степени числа неизвестных. понятна о рхзностных схвмхх рлсшепления !гл.
м 290 Относительно решения и(х, у,/) задачи (1) мы будем прел- полагать, что оно имеет непрерывные вплоть до границы Г производные всех порядков, которые по ходу дела потребуются. Отметим, что на границе Г все производные по пространственным переменным четного порядка (до того порядка, ло которого они существуют и непрерывны) обращаются в нуль: и„„! =и„„„„! = „„„! =О.
(4) дира — = я,„рр + ирр„р . Но иа стороне х = 0 границы Г будет дррр и =О, и =0 — =О, УР РРРР ' дГ а значит, в силу дифференциального уравнения также и„„„,=О. Переходим к построению разностной схемы расщепления для задачи (!). Задаче (1) н а отрезке Ьр ( / ( !р+~ поставим в соответствие две задачи: до Д2~, ! дг=дх ' о(х, у, /„) =и(х, у, /), о !г=.О ддм дд'м дГ ду' и !г = О, го (х, у, ! ) = о (х, у, /р+,). (6) Сеточную функцию и~"'=(иР ), и»„=ф(х, у), иР„) =0 будем определять последовательно при р = 1, 2, ..., (Г/т) из уравнений гп, и =1, 2, ..., /!/ — 1 р й~»» им» = Л»»йм», й»~» !г = О! ! ог,п=1,2,...,У вЂ” 1, ! ) .
(8) р+~ »» " =Л ир+' т рр и»' и"'! =О. и» Так, на стороне х = 0 границы Г квадрата 0 (х,у < ! обращаются в нуль ди/дг и д'и/ду'. Поэтому в силу уравнения и~ = и»„+ ирр также и»» = О. Дифференцируя уравнение по у дважды, получим экономичнь|е РАзностные схемы $321 Задача (7) аналогична задаче (5), а задача (8) — задаче (6). При этом ПР = иР, и!Р = ил+! = — й и2'Р! =ил+!.
л!л а!л' 2ал !Ра !аа' 2ал л!л ' а-!- ! — ил+ ! КК Л2Л для одномерного уравнения теплопроводности (5) на отрезке, 0 < х ( 1, в которое у входит только как параметр. Разностная задача (7) при каждом фиксированном п решается прогонкой в направлении оси Ох. Точно так же разностная задача (8) прн каждом фиксированном т решается прогонкой по направлению оси Оу. Подчеркнем, что в силу свойств алгоритма прогонки общее число арифметических действий для вычисления и'+' = (2„'+„!) оказывается пропорционально числу неизвестных значений, т. е. разностная схема (7), (8) является экономичной. Для точного формулирования понятия аппроксимации и устойчивости запишем разностную схему (7), (8) в принятом нами на протяжении всей книги виде 7.
им! Г!л! (9) Для этого положим Р+! " — Л и"+' РР !ла ' т, и=1,2,..., Л/ — 1, 7 „и(А! = (1О) !г' иО ща где й „вЂ” решение вспомогательной задачи, й — ил мл =Лк„й „, т, и=1, 2, ..., Л/ — 1, й 1„=0. (11) В соответствии с разностной схемой расщепления (7), (8) сначала по известным значениям ил = (ил„) вычисляется вспомогательная функция йм„а потом из (8) вычисляется ил+' = (илл„!). Заметим, что разностная задача (7) для отыскания й „, при каждом фиксированном п, п = 1, ..., У вЂ” 1, в точности совпадает с неявной разностной схемой 292 ПОНЯТИЕ О РЛЗНОСТНЫХ СХЕМЛХ РЛСЩСПЛГНИЯ ИЛ 1Л (12) !! гов )!ил ~~ с !! и' !!Рлэ где с не зависит от и. Запишем задачу т.»а~»~ = у<»> в развернутом виде: г'+ ' — г " — Л гп-»' =фа+' т и =1 2, ...
)У вЂ” 1 Рл тп та ' ' ' ' ''"' (13) гп+1 =- гп+1 — 0 Ол Уа где г,— решение вспомогательной задачи т, п = 1, 2, ..., йг — 1, (14) и гтл гтп Лппгта~ гт, о = гт, л —— 0 причем г' =й тл тл' В силу принципа максимума, доказанного в 5 28 для одномерной неявной разностной схемы, аппроксимирующей одно- За ~~л> надо принять в таком случае О, т,п=1,2,...,йà — 1, )тю= О, (х, уа) ЕЕГ, зр(х, уа). В качестве нормы в Ул примем !!и<л>!!и„= гпах !ип„). т,а,л К пространству г» отнесем элементы йлл~ вида Р пта' у(л) =1 О, и норму в гл определим равенством )! У® !!„л — — гпах ~ <Р" „! + шах ~ пт „!.
т,л,лт,л Сначала докажем безусловную устойчивость разностной схемы (9), задаваемой уравнениями (10), (12), а аппроксимацию до- кажем позже. Ввиду линейности разностной схемы (9) для до- казательства устойчивости надо показать, что задача Е»ЕМ =, л) ~= д(ч имеет решение при произвольном у~л' = о ~ енР», причем ! !тп! ввз экономичные РАзностные схемы Но из (14) следует, что гпах~г ~~ (гпах ~г" „~. щл ° л Поэтому шах ) гл+~ ~ ( шах ~ г1 1+ т шах ) фмлл ~.
Отсюда гпах)гр+'~ <гпах)гр„'!+ 2тшах)К„~< <гпах ~ ф „1+ Т шах ) ф" „~ < лл л лл л, р ( (1 + Т) (шах ~ ф „~ + гп ах ~ фр „~ ) = (1 + Т) 1 йим!)р„. Выписанное неравенство шах~ р-Р ~<(1+Т)Уй~А)~!р„ лл л справедливо при любом р, поэтому 1!г 1па<(1+Т)1д )!РА при произвольном соотношении шагов т и Ь. Это и означает, что рассматриваемая схема расщепления безусловно устойчива. Перейдем к проверке аппроксимации.
Будем предполагать, как обычно, что задача (1) имеет достаточно гладкое решение и(х, у, Г). Вычислим невязку Л~(А), ТА(и), = ~(А)+ Л~~А), возникающую при подстановке (и)А в левую часть уравнения (9), и покажем, что!! Ь1НА'!ЬА = 0(т+ Ь'). В соответствии с тем, как мы определили оператор Т.А, будет с .,И.= т, и=1,..., йг — 1, ! 0 в точках Г, и(х„„ул, 0), лт, и = 1, ..., йà — 1, (15) мерное уравнение теплопроводиости, из уравнений (13) следует, что гпах ~ гр+' ~ ( шах ~ й „~ + т шах ~ ф" „~. ллл ллл ллл,р 294 ПОНЯТИЕ О РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХ РАСЩЕПЛЕНИЯ [Гл.
и где й — решение вспомогательной задачи а „вЂ” л(х, ул, Гр) — Л„„й =О,т,и=1,2,...,У вЂ” 1,1 йтл !г йтл = и (хтю Ул~ Тр) + ТЛххи(хт> Улю !Р) + 0 (т'), й л !г =и(х, ул, гр) )с =О. (17) Подставляя это выражение йтл в (15), получим л (х, У„, 2~,) — ат„ — Л„„и(х, ул, !рлл) = л(х, ул, ! А 2) — [л(х, ул, 2 ) + тлх„л (х, ул, Г ) + О (т~)) Гр+ 1) л (хт ул 2р) л(х, ул, Лрри(Хт~ улз ГРЛ-~)— ул, !Рл,) + 0 (т) = — Л,„и(х, у„, ! ) — Л„„и(х, «т рл + 0 (т+ 62) = 0 (т + Ь2). Таким образом, О + 0(т+ Ь~) 7.„(и)„= — О + Π— )хл! ! Лрл! 29(х, ул)+ О где 0(т+ 62) в точках (х, у„, !р), Д1(л] = О, р=О, 1, ..., !Дт) — 1, О, т,и=1,2,..., у — 1.
Отсюда )! Ь!(л! !(Р» 0 (т + Ьз) Осталось доказать приближенное представление (!7) для решения й задачи (16). Сначала выскажем эвристические соображения, подсказавшие представление (!7). Ясно, что при малых т выполняется приближенное равенство й „= и(х, ул, !р). Решение йтл вспомогательной задачи (!6), как мы покажем ниже, имеет вид % зи ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 295 При замене на этом основании в уравнении (16)' выражения Лххйтп выРажением Лххи (хт, Уп, !Р) возникло бы УРавнение Й вЂ” и — — Л и=О хх гв = — и(х уа,!р)+тЛх,и(хт, уа, !р) вместо й в уравнение (!6), Получим тта — и (хт У„!р) т Лххшта— (и (х,», Уа, гр) + тЛ»хи (хт У», р)) и (хт, У», ~р) — Л„и(х, уа, ! ) — тЛх»Лх,и(х, уа, 1р) = = — тЛ,,Лихи(х, уа, 1,).
В предположении, что д'и/дх» непрерывна и ограничена, и Дги учитывая, что —. = О, легко видеть, что Л Лххи(хт, Уп, (р) их' !г ограничено. Поэтому м „вЂ” и(х,У», 1р) ЛххГУта О (т)1 шта !г = О. Вычитая из этих уравнений уравнения (!6) почленно, для раз- НОСТИ зтп = Штп Йтп ПОЛУЧИМ хта ТЛххата = О (т )ю хта!Е=О.
(18) или в развернутом виде Гат, „— 2 (Г + 9 ) ата + тат+ Ь а = О (т ), гл, и=1, ..., йà — 1, (18') их = ема = О г = ТР~ ° ИЗ КотОрОГО СЛЕдуЕт раВЕНСтВО й = и+тЛ.„»и, ЛИШЬ ОСтатОЧНЫМ членом 0(т') отличающееся от (17). Переходим к доказательству справедливости (17). Лоопределим Л,и(х,у»,1р) в точках Г, положив Лххи1г = О. Подставим Юб ПОНЯТИЕ О РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХ РАСШЕПЛЕНИЯ !гл, ю Но эта задача для (а „) имеет вид а,„и, + Ь и + с и +! = д, т = 1, ..., «1/ — 1, ио — — и„= О, а >О, с >О, )Ь„)>а„+с„+6, 6=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
